2021学年22.3 实际问题与二次函数当堂检测题

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专题22.6 实际问题与二次函数-重难点题型
【人教版】

【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】
【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）

【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；
（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．
【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，
整理得：AB＝3﹣5x；
根据3﹣5x＞0，
所以x的取值范围是：0＜x＜35；
（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=-172x2+6x=-172（x-617）2+1817，
当x=617时，S最大=1817．
【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．
（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；
（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．

【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，
∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，
∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，
∵S矩形LJHF＝FL•LJ，
∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；
（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，
∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，
∴6＜x＜8，
∵a＝﹣4＜0，
∴当x＝7时，y的最大值＝4；
故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．
【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？
（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．

【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；
（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．
【解答过程】解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x），
当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，
即x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；
（2）由题意可得出：
S＝x（28﹣x）
＝﹣x2+28x
＝﹣（x﹣14）2+196，
答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；
（3）依题意得：
28-x≥ax≥6，
解得：6≤x≤28﹣a，
S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，
又6≤x≤28﹣a，
∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．
【变式1-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．

【解题思路】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解答过程】解：（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，
根据题意得，x（20﹣3x）＝25，
解得：x1＝5，x2=53，
当x=53时，AD＝15＞6，
∴x＝5，
∴AD＝5，
答：AD的长是5米；
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]=263-23x，
根据题意得，y＝x（263-23x）=-23x2+263x=-23(x-132)2+1696（x＞6），
∴当x=132时，y有最大值为1696．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；
（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝x×20-x3=-13x2+203x=-13(x-10)2+1003，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S=-13(n-10)2+1003；
按图乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x=-23(x-a+204)2+(a+20)224，
∴当x=a+204时，S的值最大为S=(a+20)224，此时a取最大值n时，S的值最大为S=(n+20)224；
∵(n+20)224-[-13（n﹣10）2+1003]=9n2-120n+40024＞0，
∴(n+20)224＞-13(n-10)2+1003，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【知识点2 销售问题中的常用公式】
（1）利润=售价-进价=进价×利润率
（2）利润率 = 利润 进价×100%
（3）总利润=总售价-总进价=销售量×（单件售价-单件成本）
【题型2 利用二次函数解决销售利润问题】
【例2】2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y（千克）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？

【解题思路】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案．
【解答过程】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
根据图象可得方程组30k+b=14050k+b=100，
解得：k=-2b=200，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+200，x的取值范围是：30≤x≤60；
（2）设日利润为w，则可以列出函数关系式为：
w＝（﹣2x+200）（x﹣30）﹣450
＝﹣2x2+260x﹣6450，
当x=-b2a=65，
又∵30≤x≤60，
∴当x＝60时，w取得最大值，w＝1950，
答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．
【变式2-1】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
该产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．
【解答过程】解；（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
85k+b=17595k+b=125，得k=-5b=600，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，
当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，
w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，
故答案为：80，100，2000；
（3）设科技创新后成本为b元，
当x＝90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．
【变式2-2】（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
【解题思路】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．
【解答过程】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，
解得：a=110，
故y与x之间的关系式为y=110x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z＝kx+b，则100k+b=20b=30，
解得：k=-110b=30，
故z与x之间的关系式为z=-110x+30；
（2）W＝zx﹣y=-110x2+30x-110x2
=-15x2+30x
=-15（x2﹣150x）
=-15（x﹣75）2+1125，
∵-15＜0，
∴当x＝75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；
（3）令y＝360，得110x2＝360，
解得：x＝±60（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，
由W=-15（x﹣75）2+1125的性质可知，
当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x＝60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．
【变式2-3】（2020•邢台二模）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：
①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；
②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．
（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；
（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．
【解题思路】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．
（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．
【解答过程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，
解得a＝20．
y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．
（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．
∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，
即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，
∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．
答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．
（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴x=80+n2．
∵a＝﹣10＜0，
∵当n≤x≤48时，该商品利润G随x的增大而增大，
∴80+n2≥48，
解得n≥16．
∵进价是降低的，
∴n的取值范围是16≤n＜20．
【题型3 利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】
【例3】（2020秋•渑池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距83米．
（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点，并说明理由．

【解题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；
（2）OA与水平方向OC的夹角为30°，OA＝83米，解直角三角形可求点A的坐标，把点A的横坐标x＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．
【解答过程】解：（1）∵顶点B的坐标是（9，12），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）2+12，
∵点O的坐标是（0，0）
∴把点O的坐标代入得：0＝a（0﹣9）2+12，
解得a=-427，
∴抛物线的解析式为y=-427（x﹣9）2+12
即y=-427x2+83x；
（2）在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝30°，OA＝83，
∴AC＝OA•sin30°＝83×12=43，
OC＝OA•cos30°＝83×32=12．
∴点A的坐标为（12，43），
∵当x＝12时，y=323≠43，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？

【解题思路】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
（3）当y＝3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.2（m）．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
（3）由题意可得出：y＝3.3，
则3.3＝﹣0.2x2+3.5
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）
∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．
【变式3-2】（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．
【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；
（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．
【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，
把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，
解得a=-19，
则抛物线是y=-19（x﹣6）2+4.4；
（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，
则有2.44=-19（x﹣6）2+4.4，
解得：x1＝10.2，x2＝1.8，
从题干图2中，发现球门在CD右边，
∴x＝10.2，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
∴往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当y＝0时，
有0=-19（x﹣6）2+4.4，
解得：x1＝6+35110，x2＝6-35110，
取正值，x＝6+35110，
∴后退的距离需小于6+35110-10.2＝（35110-4.2）米
故0＜m＜35110-4.2．
【变式3-3】（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：2取1.4）

【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
（2）当y＝0时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝62=8.4，即可求解．
【解答过程】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=-150，
故抛物线的表达式为：y=-150（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，

在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，-150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝62=8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【题型4 利用二次函数解决车过隧道问题】
【例4】（2020秋•海淀区校级月考）小宇遇到了这样一个问题：
如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）
为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．
（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；
（2）求出抛物的表达式；
（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．

【解题思路】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；
（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；
（3）在y=-14x2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；
（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：
4a+c=3c=4，
解得：a=-14c=4，
∴抛物的表达式为y=-14x2+4；
（3）在y=-14x2+4中，令x＝1.2，得：
y=-14×1.22+4＝3.64，
∴点D的坐标为（1.2，3.64），即点D与地面的距离为3.64m，
∵卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，
∴点E离地面的距离不超过3.04m，
∴卡车载物后的限高应是3.0m．
【变式4-1】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m，求两排灯之间的水平距离．
（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．

【解题思路】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，将点C（0，1）代入所设解析式求出a的值即可得出函数解析式；
（2）将y＝5代入解析式求出x的值，将所求x的值相减可得答案；
（3）求出x＝2时y的值，再减去13可得答案．
【解答过程】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，
将点C（0，1）代入上式，36a+7＝1，
解得a=-16，
∴该抛物线所对应的函数表达式为y=-16(x-6)2+7．
（2）把y＝5代入y=-16(x-6)2+7中，-16(x-6)2+7=5，
解得x1=6+23，x2=6-23，
6+23-(6-23)=43，
所以两排灯之间的水平距离为43m；
（3）把x＝2代入y=-16(x-6)2+7中，y=-16(2-6)2+7=133，
133-13=4，
所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．
【变式4-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．
（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？

【解题思路】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．
（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．
【解答过程】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，
得a=-350，c＝6．
∴y=-350x2+6．
（2）当x＝5时，y=-350×52+6=92，
∴EF＝10-92=112，CD＝10﹣6＝4，
支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）．
（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，-350x2+6＝3，
解得：x＝±52，
∵7＜52＜8，坦克宽为2米，
∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），
坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，
∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．
【变式4-3】（2020秋•海州区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

【解题思路】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式，即可求解；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；
（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，则AB＝y=-18（x﹣8）2+8＝8-18m2，w＝AB+AD+DC＝2m+2AB=-14m2+2m+16，即可求解．
【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），
则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，
将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a=-18，
故函数的表达式为：y=-18（x﹣8）2+8，即y=-18x2+2x（0≤x≤16）；
（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，
当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，
5.8＜6，故该车辆能通行；
（3）设点B（m，0），则点A（m，-18m2+2m），
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝8，则BC＝2（8﹣m）＝16﹣2m＝AD，
则AB=-18m2+2m，
则设：w＝AB+AD+DC＝2m+2AB=-14m2+2m+16，
∵-14＜0，故w有最大值，
当m＝4时，w的最大值为20，
故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．
【题型5 利用二次函数解决拱桥形问题】
【例5】（2020秋•渝水区校级月考）某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m时，水面宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为34m．以拱顶O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A、B为抛物线与水面的交点．
（1）B点的坐标为　 　；
（2）求抛物线解析式；
（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？

【解题思路】（1）当水面距拱顶5m时，水面宽8m，则B（4，﹣5）；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，将点B的坐标代入上式即可求解；
（3）将x＝2代入上式，得y=-516x2=-54，则54+34=2，而1.8＜2，即可求解．
【解答过程】解：（1）当水面距拱顶5m时，水面宽8m，
则点B（4，﹣5），
故答案为（4，﹣5）；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，
将点B的坐标代入上式得﹣5＝a×42，解得a=-516，
∴该抛物线的解析式为y=-516x2；
（3）将x＝2代入上式，得y=-516x2=-54，
∵54+34=2，
而1.8＜2，
当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．
【变式5-1】（2020秋•泗阳县期末）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m时，水面离桥拱顶部3m．
（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4m．现因暴雨河水水位上升了1m，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．

【解题思路】（1）根据题意可以知道A、B的坐标，在利用点C得坐标从而求出抛物线的解析式．
（2）代入x＝2求出y的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．
【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3）．
y＝a（x+3）（x﹣3）．
在将点C（0，3）带入y＝a（x+3）（x﹣3）中的得a=-13，
所以抛物线的解析式为y=-13x2+3，
（2）小船可以通过，
理由：当x＝2时，y=-13×22+3=53，
∵53-1=23＞0.5，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
【变式5-2】（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

【解题思路】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可；
【解答过程】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1═a1x2．
将F（6，﹣1.5）代入y1═a1x2有：﹣1.5═36a1，求得a1═-124，
∴y1═-124x2，
当x═12时，y1═-124×122═﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2═a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4═a2（0﹣6）2+1，求得a2═112，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2═112（x﹣6）2+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y3═112（x+6）2+1
②设彩带的长度为Lm，
则L═y2﹣y1═112（x﹣6）2+1﹣（-124x2）═18x2-x+4═18(x-4)2+2，
∴当x═4时，L最小值═2，
答：彩带长度的最小值是2m．
【变式5-3】（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

【解题思路】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围．
【解答过程】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a=-14，
∴二次函数的表达式为y=-14（x﹣4）2+4，
即y=-14x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2＝1，
∴将＝1代入y=-14x2+2x，
解得：y=74=1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y=-14x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，

∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
【题型6 利用二次函数解决路程-速度问题】
【例6】（2021春•拱墅区期中）一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：h＝vt-12gt2（不计空气阻力），其中h是物体距离地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以10m/s的初速度从地面竖直向上抛．
（1）当小球的高度为1.8米时，求时间t的值；
（2）小球的高度能达到5.4米吗？请作出判断，并说明理由；
（3）若方方在圆圆抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为4.2米，求方方与圆圆抛球的时间差．
【解题思路】（1）把v＝10，g＝10，代入所给关系式求出二次函数解析式，再h＝1.8代入解析式求t的值即可；
（2）把h＝5.4代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可；
（3）把h＝4.2代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求．
【解答过程】解：（1）把v＝10，g＝10代入h＝vt-12gt2得：
h＝﹣5t2+10t，
当h＝1.8时，
1.8＝﹣5t2+10t，
即5t2﹣10t+1.8＝0，
解得：t1＝0.2，t2＝1.8
答：小球的高度为1.8米时，所用时间为0.2s或1.8s；
（2）小球的高度不能达到5.4米，
理由如下：
把t＝5.4代入h＝﹣5t2+10t得：
5.4＝﹣5t2+10t，
∴5t2﹣10t+5.4＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×5×5.4＝﹣8＜0，
∴5.4＝﹣5t2+10t无实数解，
∴小球的高度不能达到5.4米；
（3）由题意得：4.2＝﹣5t2+10t，
∴5t2﹣10t+4.2＝0，
解得：t1＝＝0.6，t2＝1.4，
t2﹣t1＝0.8，
答：方方与圆圆抛球的时间差为0.8s．
【变式6-1】（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

【解题思路】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v＝9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出当v＝10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【解答过程】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则8=8k+c16=c，解得：k=-1c=16，
∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，
令v＝9，则t＝7，
∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则4a+2b=3016a+4b=56，解得：a=-12b=16，
∴二次函数表达式为s=-12t2+16t，
令t＝7，则s=-492+16×7=87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，
∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，
将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，
将t＝6代入s=-12t2+16t中，得s＝78，
此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2m，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
【变式6-2】（2020•龙泉驿区模拟）随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆千米）的一次函数．当该道路的车流密度达到220辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米小时；当车流密度为95辆千米时，车流速度为50千米/小时．
（1）当20≤x≤220时，求车流速度v（千米/小时）与车流密度x（辆/千米）的函数关系式；
（2）为使该道路上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制该道路上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆小时）是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求该道路上车流量y的最大值．此时车流速度为多少？
【解题思路】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时表示出函数关系，由函数的性质就可以求出结论．
【解答过程】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得
95k+b=50220k+b=0，
解得：k=-25b=88，
∴当20≤x≤220时，v=-25x+88；
（2）由题意，得
-25x+88＞40-25x+88＜60，
解得：70＜x＜120，
∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时，
y＝（-25x+88）x=-25（x﹣110）2+4840，
∴当x＝110时，y最大＝4840，
此时v=-25×110+88＝44km/h，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆，此时v＝44km/h．
【变式6-3】（2020•定海区模拟）在长、宽均为45米的十字路口，现遇到红灯，有10辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每两辆车间隔为2.5米，每辆车长5米，每辆车的速度v（米/秒）关于时间t（秒）的函数（如图1）所示，当绿灯亮起，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间t（秒）的函数解析式为s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如图2所示当前车启动后，后面一辆车在1秒后也启动．
（1）求a的值；
（2）当t＞4时，求第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式；
（3）当t＞4时，求第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距；（第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦）
（4）绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．

【解题思路】（1）将（4，22.5）代入s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），解得a的值即可；
（2）由图1可知，当t＝4时车的速度v，则当t＞4时，第一辆车的车头与交通白线的距离s等于4秒时的距离加上4秒以后行驶的距离；
（3）由图可得t＞4时车辆的速度，第一辆车再行驶45﹣22.5＝22.5（米），即通过路口所需要的时间为4+22.515，行驶两车间隔5米所需要的时间为515，再考虑到第二辆车1秒后开始启动，则第二辆车在第一辆车通过路口时已经通过交通白线的距离可得，则用45减去该距离即可得出答案；
（4）这十辆车从交通白线至第十辆车车尾的距离为10×5+9×2.5+s，由（2）可知第十辆车需行驶（t﹣13）个15米加上s与9个车辆间隔，该距离大于等于这十辆车从交通白线至第十辆车车尾的距离，据此列不等式求解即可．
【解答过程】解：（1）∵s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4）过（4，22.5），
∴9a＝22.5，
解得：a=52；
（2）由图1可知，当t＝4时，v＝15，t＞4时，s＝22.5+（t﹣4）×15＝15t﹣37.5，
∴当t＞4时，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式为s＝15t﹣37.5；
（3）当t＞4时，v1＝v2＝15，45﹣22.5＝22.5，
∴t＝4+22.515+515=4+32+515=356（秒），
∴s2＝15×（356-1）﹣37.5﹣（2.5+5）＝27.5（米），
∴最大间距是45﹣27.5＝17.5（米）．
∴当t＞4时，第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距是17.5米；
（4）间隔为10×5+9×2.5+s，由题意得：
s+9×2.5+15（t﹣13）≥10×5+9×2.5+s，
解得：t≥493．
∴绿灯持续时间至少要设置493秒才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．