2019-2020学年上海市浦东新区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年上海市浦东新区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是
A. 6B. 9C. 13D. 18

2. 关于反比例函数 y=−4x，下列说法正确的是
A. 函数图象经过点 2,2
B. 函数图象位于第一、三象限
C. 当 x>0 时，函数值 y 随着 x 的增大而增大
D. 当 x>1 时，y<−4

3. 下列方程中，没有实数根的是
A. x2−2x−3=0B. x2−2x+3=0C. x2−2x+1=0D. x2−2x−1=0

4. 下列四组点中，可以在同一个反比例函数图象上的一组点是
A. 2,−1，1,−2B. 2,−1，1,2
C. 2,−1，2,1D. 2,−1，−2,−1

5. 下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是
A. 1，1，2B. 1，2，3C. 1，3，2D. 3，4，5

6. 下列命题的逆命题是假命题的是
A. 全等三角形的面积相等
B. 等腰三角形两个底角相等
C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D. 在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 分母有理化：11+2= ．

8. 方程 x2=0 的根是 ．

9. 如果关于 x 的二次三项式 x2−4x+m 在实数范围内不能因式分解，那么 m 的值可以是 ．（填出符合条件的一个值）

10. 某校六年级去年招生人数为 200 人，计划明年招收 288 人，设该校每年招生的平均增长率是 x；由题意列出关于 x 的方程： ．

11. 已知反比例函数 y=2k+1x 的图象经过点 2,−1，那么 k 的值是 ．

12. 已知 ab<0，那么函数 y=abx 的图象经过第 象限．

13. 如果点 A 的坐标为 −4,0，点 B 的坐标为 0,3，则 AB= ．

14. 经过定点 A 且半径为 2 cm 的圆的圆心的轨迹是 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=15∘，DE 垂直平分 AB 交 AC 于 E，若 BC=1，则 AC= ．

16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=2，以 △ABC 的边 AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在 △ABC 的斜边 AB 上，则这个等腰三角形的腰长为 ．

17. 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图 1，△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则 DE∥BC，且 DE=12BC．试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图 2，函数 y=12xx>0 的图象经过 △OAB 的顶点和边的 AB 中点 C，分别过 B，C 作 BD⊥x 轴，CE⊥x 轴，垂足分别为 D，E，CE 是 △ABD 的中位线．如果点 B 的横坐标为 3，则点 C 的坐标为 ．

18. 如图，已知：钝角 △ABC 中，∠A=30∘，CD 是 AB 边上的中线，将 △ACD 绕着点 D 旋转，点 C 落在 BC 边的 Cʹ 处，点 A 落在点 Aʹ 处，连接 BAʹ．如果点 A，C，Aʹ 在同一直线上，那么 ∠BAʹCʹ 的度数为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：233+1+27−13．

20. 2x−12=x2x−1．

21. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90∘，AC=10，BC=6，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于 D，求 AD 的长．

22. 浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲，乙两个施工队同时进行施工，如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度 y（米）与施工时间 x（时）之间关系的部分图象．请根据题意回答下列问题：
（1）甲队每小时施工 米．
（2）乙队在 0≤x≤2 时段内，y 与 x 之间的函数关系式是 ．
（3）在 2≤x≤6 时段内，甲队比乙队每小时快 米．
（4）如果甲队施工速度不变，乙队在 6 小时后，施工速度增加到 12 米时，结果两队同时完成了任务．则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为 米．

23. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45∘，AD⊥BC，BE⊥AC 于 D，垂足分别为点 D，E，AD 与 BE 相交于点 F．求证：DF=DC．

24. 已知：如图，∠DAE=60∘，B 是 AE 上一点，以 A 为圆心，12AB 长为半径作弧，交 AD 于点 C，连接 BC．求证：∠ACB=90∘．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 内，函数 y=axa≠0 和 y=bxb≠0 交于 A，B 两点，已知 A−1,4．
（1）求这两个函数的解析式，并直接写出点 B 的坐标．
（2）点 C 在 x 轴上，且 ∠ACB=90∘ 时，求点 C 的坐标．

26. 已知：如下图，△ABC 和 △BCD 中，∠BAC=∠BDC=90∘，E 为 BC 的中点，连接 DE，AE．若 DC∥AE，在 DC 上取一点 F，使得 DF=DE，连接 EF 交 AD 于 O．
（1）求证：EF⊥DA．
（2）若 BC=4，AD=23，求 EF 的长．

27. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AB=2，点 D 在斜边 AB 上，将 △ABC 沿着过点 D 的一条直线翻折，使点 B 落在射线 BC 上的点 Bʹ 处，连接 DBʹ 并延长，交射线 AC 于 E．
（1）当点 Bʹ 与点 C 重合时，求 BD 的长．
（2）当点 E 在 AC 的延长线上时，设 BD 为 x，CE 为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域．
（3）连接 ABʹ，当 △ABʹD 是直角三角形时，请直接写出 BD 的长．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. B
4. A
5. D
6. A
第二部分
7. 2−1
【解析】原式=1−21+21−2=1−2−1=2−1.
8. x1=x2=0
【解析】x2=0，
x1=x2=0．
9. 5（答案不唯一）
【解析】关于 x 的二次三项式 x2−4x+m 在实数范围内不能分解因式，
就是对应的二次方程 x2−4x+m=0 无实数根，
∴Δ=−42−4m=16−4m<0，
∴m>4．那么 m 的值可以是 5．
10. 2001+x2=288
11. −32
【解析】把 2,−1 代入 y=2k+1x，
2k+12=−1，
2k+1=−2，
2k=−3，
k=−32．
12. 二、四
【解析】∵ab<0，
∴ab<0，
∴ 函数 y=abx 的图象经过第二、四象限．
13. 5
【解析】由两点间的距离公式可得 AB=0+42+3−02=5．
14. 点 A 为圆心，2 cm 为半径的圆
【解析】所求圆心的轨迹，就是到 A 点的距离等于 2 厘米的点的集合，
因此应该是一个以点 A 为圆心，2 cm 为半径的圆．
15. 2+3
【解析】∵DE 垂直平分 AB，
∴∠BAE=∠B=15∘，
∴∠BEC=∠ABE+∠A=15∘+15∘=30∘，
∴AE=BE=2BC=2，
CE=3BC=3，
∴AC=2+3．
故答案为：2+3．
16. 23 或 2
【解析】∵∠C=90∘，∠A=30∘，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AC=AB2−BC2=16−4=12=23．
又 ∵ 以 AC 为一边作等腰三角形，它的第三个顶点在斜边 AB 上，
∴AC=AD=23，
∴ 腰长为 23，
当 CD=AD 时，△ACD 是等腰三角形，此时 D 为 AB 的中点，
∴CD=AD=2，
∴ 腰长为 2．
综上所求，这个等腰三角形的腰长为 23 或 2．
17. 6,2
【解析】把 x=3 代入 y=12xx>0 中，得 y=4，
∴B3,4，
∵CE 是 △ABD 的中位线，
∴C 点的纵坐标为：4÷2=2，
把 y=2 代入 y=12xx>0 中，得 x=6，
∴C6,2．
18. 30∘
【解析】如图，
将 △ADC 绕着点 D 顺时针旋转，点 C 落在 BC 边上的点 Cʹ 处，点 A 落在点 Aʹ 处，
则 DA=DAʹ，∠DAʹCʹ=∠A=30∘，
∴∠DAʹA=∠A=30∘，
∴∠AʹDB=60∘，
∵CD 为边 AB 上的中线，
∴DA=DB，
∴DAʹ=DB，
∴∠DAʹB=∠DBAʹ=60∘，
∴∠BAʹCʹ=30∘．
故答案为：30∘．
第三部分
19. 原式=33−1+33−33=3−3+33−33=3+533.
20. 2x−1x−1=0，
∴ x1=12，x2=1．
故答案为：x1=12，x2=1．
21. 过 D 作 DE⊥AC 于点 E．
∵△ABC 中，∠ABC=90∘，AC=10，BC=6，
∴AB=AC2−BC2=8，
∵DB⊥BC，DE⊥AC，CD 平分 ∠ACB，
∴DE=DB，
∵∠DBC=∠DEC=90∘，CD=CD，
∴Rt△CBD≌Rt△CEDHL，
∴BC=EC=6，
∴AE=4，
设 AD=x，则 DE=DB=8−x，
在 Rt△ADB 中，AD2=AE2+DE2，
解得 AD=5，
故 AD 的长是 5．
22. （1） 10
【解析】甲队每小时施工速度为：60÷6=10 （米/时）．
故答案为：10．
（2） y=15x
【解析】30÷2=15 （米/时），
∴ 乙队在 0≤x≤2 时段内，y 与 x 之间的函数关系式是 y=15x．
故答案为：y=15x．
（3） 5
【解析】在 2≤x≤6 时段内，乙的速度为：50−30÷6−2=5 （米/时），10−5=5 （米）．
故答案为：5．
（4） 110
【解析】由图可知，甲队速度是：60÷6=10 （米/时），
设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为 z 米，
依题意，得 z−6010=z−5012，
解得 z=110，
所以甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为 110 米．
故答案为：110．
23. ∵∠ABC=45∘，AD⊥BC，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴BD=AD，
∵BE⊥AC，
∴∠C+∠DBF=∠C+∠DAC=90∘，
∴∠DBF=∠DAC，
在 △BDF 和 △ADC 中，
∠BDF=∠ADC=90∘,BD=AD,∠DBF=∠DAC,
∴△BDF≌△ADCASA，
∴DF=DC．
24. 连接 CF，
∵AF=12AB=AC，∠DAE=60∘，
∴△CFA 是等边三角形，
∴∠CFA=∠ACF=60∘，AF=CF，
又 ∵BF=AF，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB=12∠CFA=30∘，
∴∠ACB=∠ACF+∠FCB=90∘，即 ∠ACB=90∘．
25. （1） 由题意得：4=−a,4=−b,
∴ 这两个函数解析式分别为 y=−4x，y=−4x，
点 B 的坐标是 1,−4．
（2） 设点 C 的坐标为 c,0，
∵∠ACB=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
∵A−1,4，B1,−4，
∴x+12+42+c−12+42=22+82，解得：c=±17，
∴ 点 C 的坐标是 17,0 或 −17,0．
26. （1） ∵△ABC 和 △BCD 中，∠BAC=∠BDC=90∘，E 为 BC 的中点，
∴BE=AE=12BC，
∴∠EDA=∠EAD，
∵DC∥AE，
∴∠ADC=∠EAD，
∴∠ADC=∠EDA，
∵DF=DE，
∴EF⊥DA．
（2） ∵BC=4，DE=12BC=2，
∵DE=AE，EF⊥DA，AD=23，
∴DO=12AD=3，
在 Rt△DEO 中，EO=DE2−DO2=1，
∵DF=DE，
∴EF=2EO=2．
27. （1） 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AB=2，
∴AC=12AB=1，根据勾股定理得，BC=3，
∵ 由折叠知，DBʹ=DB，
∴∠B=∠BBʹD=30∘，
∴∠ADBʹ=∠B+∠BBʹD=60∘，
当点 Bʹ 与点 C 重合时，DC=DB，∠A=∠ADC=60∘，
∴△ADC 是等边三角形，
∴AD=AC=1，
∴BD=AB−AD=1．
（2） 如图 1，过 D 作 DH⊥BC 于 H，
在 Rt△BDH 中，BD=x，∠B=30∘，则 BH=32x，BBʹ=3x，
在 Rt△BʹEC 中，EC=y，∠EBʹC=30∘，则 BʹC=3y，
∴BC=3x+3y=3，
∴y=−x+10 （3） BD=23 或 43．
【解析】设 DH=a，在 Rt△ADH 中，BD=2a，BH=3a，
∴DBʹ=BD=2a，BBʹ=2BH=23，
由（1）知，∠ADBʹ=60∘，
∵△ABʹD 是直角三角形，
∴ ①当 ∠ABʹD=90∘ 时，如图 2，
在 Rt△ABʹD 中，∠BʹAD=90∘−∠ADBʹ=30∘，
∴AD=2BʹD=4a，ABʹ=3BʹD=23a，
在 Rt△ACBʹ 中，BʹC=BC−BBʹ=3−23a，
根据勾股定理得，ABʹ2=BʹC2+AC2，
∴23a2=3−23a2+1，
∴a=13，
∴BD=2a=23；
②当 ∠BʹAD=90∘ 时，如图 3，
同①的方法得，BD=43，
即：满足条件的 BD=23 或 43．