2018-2019学年山东省青岛市李沧区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年山东省青岛市李沧区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示的几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

2. 在下列命题中，正确的是
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

3. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获 20 条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞 100 条鱼，如果在这 100 条鱼中有 5 条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为
A. 300 条B. 380 条C. 400 条D. 420 条

4. 【测试 3 】如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的坡比 1:3（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度 BC 为 米．
A. 6B. 63C. 43D. 4

5. 若 Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3 是反比例函数 y=3x 图象上的点，且 x1A. y3>y1>y2B. y1>y2>y3C. y2>y1>y3D. y3>y2>y1

6. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是
A. 5601+x2=315B. 5601−x2=315
C. 5601−2x2=315D. 5601−x2=315

7. 如图，四边形 ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF，若 CD=6，则 AF 等于
A. 43B. 33C. 42D. 8

8. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y=bxb≠0 与二次函数 y=ax2+bxa≠0 的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 方程 xx−2=0 的根是 ．

10. 在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，同时测得一建筑物的影长为 10m，那么这个建筑物的高度为 m．

11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为 ．

12. 如图，边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 6，菱形的面积为 ．

13. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45∘ 和 30∘．若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 米（结果保留根号）．

14. 如图，已知 A1，A2，A3，⋯，An，⋯ 是 x 轴上的点，且 OA1=A1A2=A2A3=⋯=An−1An=⋯=1，分别过点 A1，A2，A3，⋯，An，⋯ 作 x 轴的垂线交反比例函数 y=1xx>0 的图象于点 B1，B2，B3，⋯，Bn，⋯，过点 B2 作 B2P1⊥A1B1 于点 P1，过点 B3 作 B3P2⊥A2B2 于点 P2，⋯，记 △B1P1B2 的面积为 S1，△B2P2B3 的面积为 S2⋯，△BnPnBn+1 的面积为 Sn．则 S1+S2+S3+⋯+S20= ．

三、解答题（共11小题；共143分）
15. 已知：矩形 ABCD，求作：菱形 AECF，使点 E，F 分别在边 BC，AD 上．

16. 解答下列各题．
（1）用配方法解方程：x2+8x−9=0．
（2）求二次函数 y=−2x2+6x+8 的图象与 x 轴的交点坐标．

17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和 △AʹBʹCʹ 是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B3,1，Bʹ6,2．
（1）请你根据位似的特征并结合点 B 的坐标变化回答下列问题：
①若点 A52,3，则 Aʹ 的坐标为 ；
② △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的相似比为 ；
（2）若 △ABC 的面积为 m，求 △AʹBʹCʹ 的面积．（用含 m 的代数式表示）

18. 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘 A，B 分别分成 4 等份，3 等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为奇数，则甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为偶数，则乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗?试说明理由．

19. 作为青岛市和李沧区的重点民生工程，经过 8 年不懈努力，李村河从一条城市臭水沟变成了一个美不胜收的湿地公园，因其卓越的治理效果，李村河上游综合治理工程荣获了住建部“中国人居环境范例奖”．下图是我区李村河上一座拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是 1m，拱桥的跨度为 10m．桥洞与水面的最大距离是 5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

20. 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上试航任务．某日航母在南海海域试航，如图，海中有一个小岛 A，并测得该岛四周 10 海里内有暗礁，航母由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55∘ 的 B 处，往东行驶 20 海里后到达该岛的南偏西 25∘ 的 C 处，之后如果航母继续向东航行，途中会有触礁的危险吗?（参考数据：sin55∘=0.8，cs55∘=0.6，tan55∘=1.4，sin25∘=0.4，cs25∘=0.9，tan25∘=0.5）

21. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 AB，BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：
（1）分别求出线段 AB 和曲线 CD 的函数关系式；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中?
（3）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?

22. 在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E，F 满足 BE=DF，连接 AE，AF，CE，CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．

23. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那么销售单价应控制在什么范围内?（每天的总成本 = 每件的成本 × 每天的销售量）

24. 计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理．
问题 1．从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达．如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有 3 班，火车有 4 班，汽车有 8 班，轮船有 5 班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有种不同的走法：
问题 2．从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 4 条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有种不同的走法：
方法探究
加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有 m 种不同的方法，在第二类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有 m 种不同的方法，做第二步有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．
实践应用 1
问题 3．如图 1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从 A 点出发开车到 B 点办事（规定必须向北走，或向东走，不走回头路），问他共有多少种不同的走法?其中从 A 点出发到某些交叉点的走法数已在图 2 填出．
（1）根据以上原理和图 2 的提示，算出从 A 出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图 2 的空圆中，便可以借助所填数字回答：从 A 点出发到 B 点的走法共有 种；
（2）根据上面的原理和图 3 的提示，请算出从 A 点出发到达 B 点，并禁止通过交叉点 C 的走法有 种．
（3）现由于交叉点 C 道路施工，禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法，从 A 点出发能顺利开车到达 B 点（无返回）概率是 ．
（4）实践应用 2
问题 4．小明打算用用 5 种颜色给如图的 5 个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有种不同的染色方法．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=10 cm，长为 4 cm 的线段 DE 在边 AC 上，且点 D 与点 A 重合，点 F 是 DE 的中点，线段 DE 从点 A 出发，沿 AC 方向向点 C 匀速运动，直到点 E 与点 C 重合，速度 1 cm/s．过点 F 作 PF⊥AC，交 AB 于点 P，过点 P 作 PQ∥AC，交 BC 于点 Q，连接 PD，PE，QE，设线段 DE 的运动时间为 ts0≤t≤6．
（1）请分别用含有 t 的代数式表示线段 PF，BQ；
（2）当 t 为何值时，四边形 PFCQ 为正方形?
（3）设四边形 PDEQ 的面积为 ycm2．请求出 y 与 t 之间的函数关系式，并求出当 t 为何值时，四边形 PDEQ 的面积最大，最大是多少?
（4）是否存在某一时刻 t，使得 EP 平分 ∠AEQ?若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线．
2. C
3. C
4. A【解析】∵ 自动扶梯 AB 的坡比 1:3，
设 BC=x，
∴AB=AC2+BC2=x2+3x2=2x=12，
解得：x=6，
∴BC=6．
5. A
【解析】∵Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3 是反比例函数 y=3x 图象上的点，
∴x1⋅y1=3，x2⋅y2=3，x3⋅y3=3，
∵x3>0，
∴y3>0，
∵x1 ∴0>y1>y2，
∴y3>y1>y2．
6. B
7. A【解析】由折叠的性质得 BF=EF，AE=AB，
∵CD=6，E 为 CD 中点，故 ED=3，
又 ∵AE=AB=CD=6，
∴∠EAD=30∘，
则 ∠FAE=1290∘−30∘=30∘，
设 FE=x，则 AF=2x，
在 △AEF 中，根据勾股定理，2x2=62+x2，
x2=12，x1=23，x2=−23（舍去）．
AF=23×2=43．
8. D【解析】A．抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a>0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b<0．
∴ 反比例函数 y=bx 的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B．抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a>0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a，b 同号，即 b>0．
∴ 反比例函数 y=bx 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C．抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a<0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b>0．
∴ 反比例函数 y=bx 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D．抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a<0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a，b 异号，即 b>0．
∴ 反比例函数 y=bx 的图象位于第一、三象限，故本选项正确．
第二部分
9. 0，2
【解析】xx−2=0，即：x=0 或 x−2=0，解得 x=0 或 x=2．
10. 6
【解析】设这栋建筑物的高度为 xm，
由题意得 1.83=x10，
解得 x=6，即这栋建筑物的高度为 6m．
11. 108
12. 24
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AO=CO=12AC=3，BO=DO=12BD，AC⊥BD，AB=5．
在 Rt△ABO 中，BO=AB2−AO2=4，
∴BD=8，
∴S菱形ABCD=12×AC×BD=24．
13. 12003−1200
14. 1021
【解析】∵OA1=A1A2=A2A3=⋯=An−1An=1，
∴ 设 B11,y1，B22,y2，B33,y3，⋯，Bnn,yn，
∵B1，B2，B3⋯，Bn 在反比例函数 y=1xx>0 的图象上，
∴y1=1，y2=12，y3=13，⋯，yn=1n，
∴S1=12×1×y1−y2=12×1×1−12=121−12；
∴S2=12×1×y2−y3=12×12−13；
∴S3=12×1×y3−y4=12×13−14，
⋯
∴S20=12×y20−y21=12×120−121=1840，
∴ S1+S2+S3+⋯+S20=121−12+12−13+13−14+⋯+120−120+1=2021+20=2042=1021.
第三部分
15. 如图，四边形 AECF 为所作．
16. （1）
x2+8x=9x2+8x+16=25x+42=25x+4=±5.
∴x1=1,x2=−9.
（2） 当 y=0 时，
−2x2+6x+8=0,
整理得：
x2−3x−4=0,x−4x+1=0,
解得：
x1=4,x2=−1.
所以二次函数 y=−2x2+6x+8 的图象与 x 轴的交点坐标为 4,0，−1,0．
17. （1） 5,6；1:2
【解析】① ∵ 点 B3,1，Bʹ6,2，
∴ 位似比为 2，
∴ 若点 A52,3，则 Aʹ 的坐标 5,6；
（2） ∵△ABC 与 △AʹBʹCʹ 的相似比为 1:2，
∴S△ABCS△AʹBʹCʹ=14，
而 △ABC 的面积为 m，
∴△AʹBʹCʹ的面积=4m．
18. 公平，理由如下：
如图所示：
所有的可能为：4，5，6，5，6，7，6，7，8，7，8，9，
由图可知共有 12 种等可能的结果，其中数字之和为奇数的有 6 种结果，数字之和为偶数的有 6 种，则甲获胜的概率为 12 、乙获胜的概率为 12，
所以这个游戏规则对甲、乙双方公平．
19. （1） 抛物线的顶点坐标为 5,5，与 y 轴交点坐标是 0,1，
设抛物线的解析式是 y=ax−52+5，
把 0,1 代入 y=ax−52+5，得 a=−425，
∴y=−425x−52+50≤x≤10．
（2） 由已知得两景观灯的纵坐标都是 4，
∴4=−425x−52+5，
∴425x−52=1，
∴x1=152，x2=52，
∴ 两景观灯间的距离为 152−52=5（米）．
20. 如图，作 AD⊥BC 于点 D，设 AD=x 海里，
在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90∘，∠CAD=25∘，
∴CD=AD⋅tan25∘=tan25∘⋅x．
在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90∘，∠BAD=55∘，
∴BD=AD⋅tan55∘=tan55∘⋅x．
∵BD−CD=BC，
∴tan55∘⋅x−tan25∘⋅x=20，
∴x=20tan55∘−tan25∘≈201.4−0.5=2009>10，
因为 A 岛到货轮的航线的最短距离大于 10，所以不可能触礁．
21. （1） 设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1=k1x+20，
把 B10,40 代入得，k1=2，
∴y1=2x+20．
设 C，D 所在双曲线的解析式为 y2=k2x，
把 C25,40 代入得，k2=1000，
∴y2=1000x．
（2） 当 x1=5 时，y1=2×5+20=30，
当 x2=30 时，y2=100030=1003，
∴y1 ∴ 第 30 分钟注意力更集中．
（3） 令 y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令 y2=36，
∴36=1000x，
∴x2=100036≈27.8
∵27.8−8=19.8>19，
∴ 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
22. （1） ∵ 正方形 ABCD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在 △ABE 与 △ADF 中，
AB=AD,∠ABE=∠ADF,BE=DF,
∴△ABE≌△ADFSAS．
（2） 连接 AC．
四边形 AECF 是菱形．理由：
∵ 正方形 ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，即 OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴ 四边形 AECF 是菱形．
23. （1） y=x−5050+5100−x=x−50−5x+550=−5x2+800x−27500,
∴y=−5x2+800x−27500（50≤x≤100）．
（2） y=−5x2+800x−27500=−5x−802+4500,，
∵a=−5<0，
∴ 抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线 x=80，
∴ 当 x=80 时，y最大值=4500．
（3） 当 y=4000 时，−5x−802+4500=4000，
解得 x1=70，x2=90．
∴ 当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元．
由每天的总成本不超过 7000 元，得 50−5x+550≤7000，
解得 x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴ 销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间．
24. （1） 20
【解析】3+4+5+8=20 种．
（2） 12
【解析】3×4=12 种．
（3） 1735
【解析】共有 35 种走法，
C 处禁止通行，共有 17 种走法，
∴ 从 A 点出发能顺利开车到达 B 点（无返回）概率是 1735．
（4） A 有 5 种涂法，B 有 4 种涂法（与 A 相邻），C 有 3 种涂法（与 A，B 相邻），E 有 2 种涂法（与 A，B，C 相邻），D 有 2 种涂法（与 A，C，E 相邻但与 B 不相邻，可以涂与 B 相同的颜色）．
∴ 共有 5×4×3×2×2=240 种涂法．
25. （1） ∵AC=BC，∠C=90∘，
∴∠B=∠A=45∘，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C=90∘，
∴∠B=∠QPB=45∘，
∴BQ=PQ，
∵DF=FE=2，PF⊥DE，AD=t，
∴AF=t+2，∠PFC=∠C=∠PQC=90∘，
∴ 四边形 PFCQ 是矩形，
∴PQ=CF=10−t+2=8−t，
∵∠A=∠APF=45∘，
∴PF=AF=t+2．
（2） 当 PF=PQ 时，四边形 PFCQ 是正方形，
∴t+2=8−t，
∴t=3，
∴t=3s 时，四边形 PFCQ 是正方形．
（3） 由题意四边形 PDEQ 是梯形，
∴y=124+8−t×t+2=−12t2+5t+12=−12t−52+24.5,
∵−12<0，
∴t=5 时，y 有最大值，最大值为 24.5 cm2．
（4） 假设存在．
∵EP 平分 ∠AEQ，
∴∠AEP=∠PEQ，
∵PQ∥AC，
∴∠PEQ=∠QPE，
∴PQ=EQ，
∴8−t2=10−t−42+t+22，
整理得：t2+8t−24=0，
解得 t=210−4 或 −210−4（舍弃），
∴ 存在，当 t=210−4s 时，EP 平分 ∠AEQ．