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2018-2019学年广东省佛山市南海区八下期末数学试卷
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这是一份2018-2019学年广东省佛山市南海区八下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 如果 a>b，那么下列各式正确的是
A. a+5
3. 使分式 2x+2 有意义的 x 的取值范围是
A. x≠−2B. x≠2C. x>−2D. x<−2
4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是
A. x−yx+y=x2−y2B. 2x2+4xy=2xx+2y
C. x2+2x+3=xx+2+3D. m−22=m2−4m+4
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是
A. ∠1=∠2B. AB⊥AC
C. AB=CDD. ∠BAD+∠ABC=180∘
6. 下面的平面图形中，不能镶嵌平面的图形是
A. 正三角形B. 正六边形C. 正四边形D. 正五边形
7. 若不等式组的解集为 −1≤x<3，则图中表示正确的是
A. B.
C. D.
8. 一个多边形的每个内角都等于 135∘，则这个多边形的边数为
A. 5B. 6C. 7D. 8
9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，∠B=30∘，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，若 AE=1，则 BE 的长为
A. 2B. 3C. 2D. 1
10. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=22.5∘，将 △ABC 绕着点 C 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 D 落在边 BC 上，点 B 的对应点是点 E，连接 BE．下列说法中，正确的有
① DE⊥AB；
② ∠BCE 是旋转角；
③ ∠BED=30∘；
④ △BDE 与 △CDE 面积之比是 2:1．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：x3−x= ．
12. 若分式 x−2x+5 的值为 0，则 x 的值是 ．
13. 已知实数 x，y 满足 x−3+y−8=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
14. 如图是一次函数 y=kx+b 的图象，当 y<0 时，x 的取值范围是 ．
15. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，点 F，G 分别是 BE，BC 的中点，若 AB=6，BC=4，则 FG 的长为 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为 4 的等边三角形，OD 是 AB 边上的高，点 P 是 OD 上的一个动点，若点 C 的坐标是 0,−3，则 PA+PC 的最小值是 ．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 2x+1>0, ⋯⋯①2−x2≥x+33. ⋯⋯②
18. 先化简，再求值：1−1a+1÷a2−aa+1，其中 a=1+3．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF．求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上．
（1）先将 △ABC 向上平移 4 个单位后得到的 △A1B1C1，再将 △A1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90∘ 后所得到的 △A2B2C1，在图中画出 △A1B1C1 和 △A2B2C1；
（2）△A2B2C1 能由 △ABC 绕着点 O 旋转得到，请在网格上标出点 O．
21. 某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长 3600 米道路的任务，按原计划完成总任务的 13 后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了 50%，一共用了 10 小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的 13 时，已抢修道路 米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米?
22. 如图 1，在 △ABC 中，∠A=80∘，BD，CE 分别平分 ∠ABC，∠ACB，BD 与 CE 交于点 F．
（1）求 ∠BFC 的度数；
（2）如图 2，EG，DG 分别平分 ∠AEF，∠ADF，EG 与 DG 交于点 G，求 ∠EGD 的度数．
23. 如图所示，点 P 的坐标为 1,3，把点 P 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到点 Q．
（1）写出点 Q 的坐标是 ；
（2）若把点 Q 向右平移 a 个单位长度，向下平移 a 个单位长度后，得到的点 Mm,n 落在第四象限，求 a 的取值范围；
（3）在（2）条件下，当 a 取何值，代数式 m2+2n+5 取得最小值．
24. 已知 △ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在直线 AB，BC 上，且 AD=BE．
（1）如图 1，若点 D，E 分别是 AB，CB 边上的点，连接 AE，CD 交于点 F，过点 E 作 ∠AEG=60∘，使 EG=AE，连接 GD，则 ∠AFD= （填度数）；
（2）在（1）的条件下，猜想 DG 与 CE 存在什么关系，并证明；
（3）如图 2，若点 D，E 分别是 BA，CB 延长线上的点，（2）中结论是否仍然成立?请给出判断并证明．
25. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 O 在对角线 AC 上，且 OA=OB=OC，点 P 是边 CD 上的一个动点，连接 OP，过点 O 作 OQ⊥OP，交 BC 于点 Q．
（1）求 OB 的长度；
（2）设 DP=x，CQ=y，求 y 与 x 的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）若 △OCQ 是等腰三角形，求 CQ 的长度．
答案
第一部分
1. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
2. D【解析】（A）∵a>b，
∴a+5>b+5，故A错误；
（B）∵a>b，
∴5a>5b，故B错误；
（C）∵a>b，
∴a−5>b−5，故C错误．
3. A【解析】∵ 分式 2x+2 有意义，
∴x+2≠0，解得 x≠−2．
4. B【解析】A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、是整式的乘法，故D错误．
5. B
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠1=∠2，故选项A正确，不合题意；
四边形 ABCD 是平行四边形，无法得出 AB⊥AC，故选项B错误，符合题意；
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，故选项C正确，不合题意；
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180∘，故选项D正确，不合题意．
6. D【解析】A、正三角形的一个内角度数为 180−360÷3=60∘，是 360∘ 的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为 180−360÷6=120∘，是 360∘ 的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为 180−360÷4=90∘，是 360∘ 的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为 180−360÷5=108∘，不是 360∘ 的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
7. C【解析】∵ 不等式组解集为 −1≤x<3，
∴ 在数轴上表示为：
8. D【解析】因为一个正多边形的每个内角都为 135∘，
所以这个正多边形的每个外角都为：180∘−135∘=45∘，
所以这个多边形的边数为：360∘÷45∘=8．
9. A【解析】∵ 在 △ABC 中，∠B=30∘，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，BE=2，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCE=30∘，
∵CE 平分 ∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60∘，∠ACE=∠DCE=30∘，
∴∠A=180∘−∠B−∠ACB=90∘．
在 Rt△CAE 中，
∵∠A=90∘，∠ACE=30∘，
∴CE=2AE=2，
∴BE=2．
10. C
【解析】如图，连接 AD，延长 ED 交 AB 于点 F．
∵ 将 △ABC 绕着点 C 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 D 落在边 BC 上，
∴AC=DC，BC=CE，∠ABC=∠CED=22.5∘，∠BCE 是旋转角，
∵∠ABC+∠BAC=90∘，
∴∠BAC+∠CED=90∘，
∴∠AFE=90∘，
∴DE⊥AB，故①②正确；
∵∠BCE=90∘，BC=CE，
∴∠BEC=45∘，
∴∠BED=∠BEC−∠CED=22.5∘，故③错误；
∵AC=CD，
∴AD=2CD，∠DAC=∠ADC=45∘，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ABC=∠BAD=22.5∘，
∴AD=BD=2CD，
∴△BDE 与 △CDE 面积之比是 2:1，故④正确．
第二部分
11. xx+1x−1
【解析】原式=xx2−1=xx+1x−1．
12. 2
【解析】依题意得：x−2=0 且 x+5≠0．
解得 x=2．
13. 19
【解析】由题意可知：x−3=0，y−8=0，
∴x=3，y=8，
当腰长为 3，底边长为 8 时，
∵3+3<8，
∴ 不能围成三角形，
当腰长为 8，底边长为 3 时，
∵3+8>8，
∴ 能围成三角形，
∴ 周长为：8+8+3=19．
14. x<2
【解析】由图象可知，
当 x=2 时，y=0，该函数图象 y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 y<0 时，x 的取值范围是 x<2．
15. 1
【解析】∵ 平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线 AE 交 CD 于 E，
∴∠DAE=∠EAB，∠DEA=∠EAB，AD=BC=4，
∴∠DEA=∠DAE，
∴AD=DE=4，
∴EC=6−4=2，
∵ 点 F，G 分别是 BE，BC 的中点，
∴FG 是 △EBC 的中位线，
∴FG=12EC=1．
16. 31
【解析】如图，过 B 作 BE⊥y 轴于 E，连接 BP．
∵△OAB 是边长为 4 的等边三角形，OD 是 AB 边上的高，
∴OD 是中线，
∴OD 垂直平分 AB，
∴AP=BP，
∴PA+PC=BP+PC，
当 C，P，B 三点共线时，PA+PC 的最小值等于 BC 的长，
∵∠BOE=90∘−60∘=30∘，OB=4，
∴BE=2，OE=23，
又 ∵ 点 C 的坐标是 0,−3，
∴OC=3，CE=33，
∴Rt△BCE 中，BC=BE2+CE2=22+332=31，
即 PA+PC 的最小值是 31．
第三部分
17. 解不等式 ①，得：
x>−12.
解不等式 ②，得：
x≤0.∴
不等式组的解集为
−1218. 原式=a+1−1a+1⋅a+1aa−1=1a−1.
当 a=1+3 时，原式=1a−1=13=33．
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，且 AB=CD，
又 ∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴BE∥DF 且 BE=DF，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形．
20. （1）如图所示，△A1B1C1 和 △A2B2C1 为所求．
（2）点 O 为所求．
21. （1） 1200
【解析】按原计划完成总任务的 13 时，已抢修道路 3600×13=1200 米．
（2） 设原计划每小时抢修道路 x 米，
根据题意得：
1200x+3600−12001+50%x=10.
解得：
x=280.
经检验：x=280 是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路 280 米．
22. （1） ∵BD，CE 分别平分 ∠ABC，∠ACB，
∴∠CBD=12∠CBA，∠BCE=12∠ACB，
∵∠CBA+∠BCA=180∘−80∘=100∘，
∴∠BFC=180∘−12∠CBA+∠ACB=130∘．
（2） ∵EG，DG 分别平分 ∠AEF，∠ADF，
∴∠GEF=12∠AEF，∠GDF=12∠ADF，
∵∠AEF+∠ADF=360∘−80∘−130∘=150∘，
∴∠GEF+∠GDF=12×150∘=75∘，
∴∠EGD=360∘−∠GEF+∠GDF−∠EFD=360∘−75∘−130∘=155∘．
23. （1） −3,1
【解析】由题意：Q−3,1．
（2） 把点 Q−3,1 向右平移 a 个单位长度，向下平移 a 个单位长度后，
得到的点 M 的坐标为 −3+a,1−a，而 M 在第四象限，
则有 −3+a>0,1−a<0, 解得 a>3，即 a 的范围为 a>3．
（3） 由（2）得，m=−3+a，n=1−a．
∴m2+2n+5=a−32+21−a+5=a2−6a+9+2−2a+5=a2−8a+16=a−42.
∵a−42≥0，
∴ 当 a=4 时，代数式 m2+2n+5 的最小值为 0．
24. （1） 60∘
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB，∠DAC=∠ABE=60∘，
在 △ADC 和 △BEA 中，
∵AC=AB,∠DAC=∠ABE,AD=BE,
∴△ADC≌△BEASAS，
∴∠ACD=∠BAE，
∵∠AFD=∠FAC+∠ACD=∠FAC+∠BAE=∠BAC=60∘．
（2） DG=CE，DG∥CE；
证明：
由（1）知：△DAC≌△EBA，∠AFD=60∘，
∴CD=AE，
∵∠AFD=∠AEG=60∘，
∴GE∥CD，
∵GE=AE=CD，
∴ 四边形 GECD 是平行四边形，
∴DG=CE，DG∥CE．
（3） 如图 2，（2）中结论是否仍然成立，理由是：
延长 EA 交 CD 于点 F，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠ABC=60∘，
∴∠DAC=∠ABE=120∘，
在 △ACD 和 △BAE 中，
AD=BE,∠DAC=∠ABE,AC=AB,
∴△ACD≌△BAESAS，
∴∠ACD=∠BAE，CD=AE，∠AEB=∠ADC，
∴∠EFC=∠DAF+∠BDC=∠BAE+∠AEB=∠ABC=60∘，
∴∠EFC=∠GEF，
∴GE∥CD，
∵GE=AE=CD，
∴ 四边形 GECD 是平行四边形，
∴DG=CE，DG∥CE．
25. （1） 在 Rt△ABC 中，AC=62+82=10，
∴OB=OA=OC=12AC=12×10=5．
（2） 如图 1，延长 QO 交 AD 于点 E，连接 PE，PQ．
在 △COQ 和 △AOE 中，
∵OA=OC,∠AOE=∠COQ,∠AEO=∠CQO,
∴△AEO≌△CQOAAS，
∴OE=OQ，AE=CQ=y，
∵OP⊥OQ，
∴OP 垂直平分 EQ，
∴PE=PQ，
∴EP2=PQ2，
在 Rt△EDP 中，EP2=8−y2+x2，
在 Rt△PCQ 中，PQ2=y2+6−x2，
∴8−y2+x2=y2+6−x2，
∴y=34x+74．
（3） 分三种情况考虑：
①如图 2，若 CQ=CO 时，此时 CQ=5；
②如图 3，若 OQ=CQ 时，作 OF⊥BC，垂足为点 F，
则 BF=CF=4（三线合一），
∴OF=52−42=3，
∵OQ=CQ，
∴OQ2=CQ2，
∴4−y2+32=y2，
∴y=258，
∴CQ=258；
③若 OQ=OC 时，此时点 Q 与点 B 重合，点 P 在 DC 延长线上，此情况不成立．
综上所示，当 CQ=258 或 5 时，△OCQ 是等腰三角形．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 如果 a>b，那么下列各式正确的是
A. a+5
3. 使分式 2x+2 有意义的 x 的取值范围是
A. x≠−2B. x≠2C. x>−2D. x<−2
4. 下列从左到右的变形，是因式分解的是
A. x−yx+y=x2−y2B. 2x2+4xy=2xx+2y
C. x2+2x+3=xx+2+3D. m−22=m2−4m+4
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是
A. ∠1=∠2B. AB⊥AC
C. AB=CDD. ∠BAD+∠ABC=180∘
6. 下面的平面图形中，不能镶嵌平面的图形是
A. 正三角形B. 正六边形C. 正四边形D. 正五边形
7. 若不等式组的解集为 −1≤x<3，则图中表示正确的是
A. B.
C. D.
8. 一个多边形的每个内角都等于 135∘，则这个多边形的边数为
A. 5B. 6C. 7D. 8
9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，∠B=30∘，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，若 AE=1，则 BE 的长为
A. 2B. 3C. 2D. 1
10. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=22.5∘，将 △ABC 绕着点 C 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 D 落在边 BC 上，点 B 的对应点是点 E，连接 BE．下列说法中，正确的有
① DE⊥AB；
② ∠BCE 是旋转角；
③ ∠BED=30∘；
④ △BDE 与 △CDE 面积之比是 2:1．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：x3−x= ．
12. 若分式 x−2x+5 的值为 0，则 x 的值是 ．
13. 已知实数 x，y 满足 x−3+y−8=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
14. 如图是一次函数 y=kx+b 的图象，当 y<0 时，x 的取值范围是 ．
15. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，点 F，G 分别是 BE，BC 的中点，若 AB=6，BC=4，则 FG 的长为 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为 4 的等边三角形，OD 是 AB 边上的高，点 P 是 OD 上的一个动点，若点 C 的坐标是 0,−3，则 PA+PC 的最小值是 ．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 2x+1>0, ⋯⋯①2−x2≥x+33. ⋯⋯②
18. 先化简，再求值：1−1a+1÷a2−aa+1，其中 a=1+3．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF．求证：四边形 BFDE 是平行四边形．
20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上．
（1）先将 △ABC 向上平移 4 个单位后得到的 △A1B1C1，再将 △A1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90∘ 后所得到的 △A2B2C1，在图中画出 △A1B1C1 和 △A2B2C1；
（2）△A2B2C1 能由 △ABC 绕着点 O 旋转得到，请在网格上标出点 O．
21. 某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长 3600 米道路的任务，按原计划完成总任务的 13 后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了 50%，一共用了 10 小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的 13 时，已抢修道路 米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米?
22. 如图 1，在 △ABC 中，∠A=80∘，BD，CE 分别平分 ∠ABC，∠ACB，BD 与 CE 交于点 F．
（1）求 ∠BFC 的度数；
（2）如图 2，EG，DG 分别平分 ∠AEF，∠ADF，EG 与 DG 交于点 G，求 ∠EGD 的度数．
23. 如图所示，点 P 的坐标为 1,3，把点 P 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到点 Q．
（1）写出点 Q 的坐标是 ；
（2）若把点 Q 向右平移 a 个单位长度，向下平移 a 个单位长度后，得到的点 Mm,n 落在第四象限，求 a 的取值范围；
（3）在（2）条件下，当 a 取何值，代数式 m2+2n+5 取得最小值．
24. 已知 △ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在直线 AB，BC 上，且 AD=BE．
（1）如图 1，若点 D，E 分别是 AB，CB 边上的点，连接 AE，CD 交于点 F，过点 E 作 ∠AEG=60∘，使 EG=AE，连接 GD，则 ∠AFD= （填度数）；
（2）在（1）的条件下，猜想 DG 与 CE 存在什么关系，并证明；
（3）如图 2，若点 D，E 分别是 BA，CB 延长线上的点，（2）中结论是否仍然成立?请给出判断并证明．
25. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 O 在对角线 AC 上，且 OA=OB=OC，点 P 是边 CD 上的一个动点，连接 OP，过点 O 作 OQ⊥OP，交 BC 于点 Q．
（1）求 OB 的长度；
（2）设 DP=x，CQ=y，求 y 与 x 的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）若 △OCQ 是等腰三角形，求 CQ 的长度．
答案
第一部分
1. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
2. D【解析】（A）∵a>b，
∴a+5>b+5，故A错误；
（B）∵a>b，
∴5a>5b，故B错误；
（C）∵a>b，
∴a−5>b−5，故C错误．
3. A【解析】∵ 分式 2x+2 有意义，
∴x+2≠0，解得 x≠−2．
4. B【解析】A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、是整式的乘法，故D错误．
5. B
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠1=∠2，故选项A正确，不合题意；
四边形 ABCD 是平行四边形，无法得出 AB⊥AC，故选项B错误，符合题意；
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，故选项C正确，不合题意；
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180∘，故选项D正确，不合题意．
6. D【解析】A、正三角形的一个内角度数为 180−360÷3=60∘，是 360∘ 的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为 180−360÷6=120∘，是 360∘ 的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正四边形的一个内角度数为 180−360÷4=90∘，是 360∘ 的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为 180−360÷5=108∘，不是 360∘ 的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
7. C【解析】∵ 不等式组解集为 −1≤x<3，
∴ 在数轴上表示为：
8. D【解析】因为一个正多边形的每个内角都为 135∘，
所以这个正多边形的每个外角都为：180∘−135∘=45∘，
所以这个多边形的边数为：360∘÷45∘=8．
9. A【解析】∵ 在 △ABC 中，∠B=30∘，BC 的垂直平分线交 AB 于 E，BE=2，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCE=30∘，
∵CE 平分 ∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60∘，∠ACE=∠DCE=30∘，
∴∠A=180∘−∠B−∠ACB=90∘．
在 Rt△CAE 中，
∵∠A=90∘，∠ACE=30∘，
∴CE=2AE=2，
∴BE=2．
10. C
【解析】如图，连接 AD，延长 ED 交 AB 于点 F．
∵ 将 △ABC 绕着点 C 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 D 落在边 BC 上，
∴AC=DC，BC=CE，∠ABC=∠CED=22.5∘，∠BCE 是旋转角，
∵∠ABC+∠BAC=90∘，
∴∠BAC+∠CED=90∘，
∴∠AFE=90∘，
∴DE⊥AB，故①②正确；
∵∠BCE=90∘，BC=CE，
∴∠BEC=45∘，
∴∠BED=∠BEC−∠CED=22.5∘，故③错误；
∵AC=CD，
∴AD=2CD，∠DAC=∠ADC=45∘，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ABC=∠BAD=22.5∘，
∴AD=BD=2CD，
∴△BDE 与 △CDE 面积之比是 2:1，故④正确．
第二部分
11. xx+1x−1
【解析】原式=xx2−1=xx+1x−1．
12. 2
【解析】依题意得：x−2=0 且 x+5≠0．
解得 x=2．
13. 19
【解析】由题意可知：x−3=0，y−8=0，
∴x=3，y=8，
当腰长为 3，底边长为 8 时，
∵3+3<8，
∴ 不能围成三角形，
当腰长为 8，底边长为 3 时，
∵3+8>8，
∴ 能围成三角形，
∴ 周长为：8+8+3=19．
14. x<2
【解析】由图象可知，
当 x=2 时，y=0，该函数图象 y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 y<0 时，x 的取值范围是 x<2．
15. 1
【解析】∵ 平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线 AE 交 CD 于 E，
∴∠DAE=∠EAB，∠DEA=∠EAB，AD=BC=4，
∴∠DEA=∠DAE，
∴AD=DE=4，
∴EC=6−4=2，
∵ 点 F，G 分别是 BE，BC 的中点，
∴FG 是 △EBC 的中位线，
∴FG=12EC=1．
16. 31
【解析】如图，过 B 作 BE⊥y 轴于 E，连接 BP．
∵△OAB 是边长为 4 的等边三角形，OD 是 AB 边上的高，
∴OD 是中线，
∴OD 垂直平分 AB，
∴AP=BP，
∴PA+PC=BP+PC，
当 C，P，B 三点共线时，PA+PC 的最小值等于 BC 的长，
∵∠BOE=90∘−60∘=30∘，OB=4，
∴BE=2，OE=23，
又 ∵ 点 C 的坐标是 0,−3，
∴OC=3，CE=33，
∴Rt△BCE 中，BC=BE2+CE2=22+332=31，
即 PA+PC 的最小值是 31．
第三部分
17. 解不等式 ①，得：
x>−12.
解不等式 ②，得：
x≤0.∴
不等式组的解集为
−12
当 a=1+3 时，原式=1a−1=13=33．
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，且 AB=CD，
又 ∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴BE∥DF 且 BE=DF，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形．
20. （1）如图所示，△A1B1C1 和 △A2B2C1 为所求．
（2）点 O 为所求．
21. （1） 1200
【解析】按原计划完成总任务的 13 时，已抢修道路 3600×13=1200 米．
（2） 设原计划每小时抢修道路 x 米，
根据题意得：
1200x+3600−12001+50%x=10.
解得：
x=280.
经检验：x=280 是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路 280 米．
22. （1） ∵BD，CE 分别平分 ∠ABC，∠ACB，
∴∠CBD=12∠CBA，∠BCE=12∠ACB，
∵∠CBA+∠BCA=180∘−80∘=100∘，
∴∠BFC=180∘−12∠CBA+∠ACB=130∘．
（2） ∵EG，DG 分别平分 ∠AEF，∠ADF，
∴∠GEF=12∠AEF，∠GDF=12∠ADF，
∵∠AEF+∠ADF=360∘−80∘−130∘=150∘，
∴∠GEF+∠GDF=12×150∘=75∘，
∴∠EGD=360∘−∠GEF+∠GDF−∠EFD=360∘−75∘−130∘=155∘．
23. （1） −3,1
【解析】由题意：Q−3,1．
（2） 把点 Q−3,1 向右平移 a 个单位长度，向下平移 a 个单位长度后，
得到的点 M 的坐标为 −3+a,1−a，而 M 在第四象限，
则有 −3+a>0,1−a<0, 解得 a>3，即 a 的范围为 a>3．
（3） 由（2）得，m=−3+a，n=1−a．
∴m2+2n+5=a−32+21−a+5=a2−6a+9+2−2a+5=a2−8a+16=a−42.
∵a−42≥0，
∴ 当 a=4 时，代数式 m2+2n+5 的最小值为 0．
24. （1） 60∘
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB，∠DAC=∠ABE=60∘，
在 △ADC 和 △BEA 中，
∵AC=AB,∠DAC=∠ABE,AD=BE,
∴△ADC≌△BEASAS，
∴∠ACD=∠BAE，
∵∠AFD=∠FAC+∠ACD=∠FAC+∠BAE=∠BAC=60∘．
（2） DG=CE，DG∥CE；
证明：
由（1）知：△DAC≌△EBA，∠AFD=60∘，
∴CD=AE，
∵∠AFD=∠AEG=60∘，
∴GE∥CD，
∵GE=AE=CD，
∴ 四边形 GECD 是平行四边形，
∴DG=CE，DG∥CE．
（3） 如图 2，（2）中结论是否仍然成立，理由是：
延长 EA 交 CD 于点 F，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠ABC=60∘，
∴∠DAC=∠ABE=120∘，
在 △ACD 和 △BAE 中，
AD=BE,∠DAC=∠ABE,AC=AB,
∴△ACD≌△BAESAS，
∴∠ACD=∠BAE，CD=AE，∠AEB=∠ADC，
∴∠EFC=∠DAF+∠BDC=∠BAE+∠AEB=∠ABC=60∘，
∴∠EFC=∠GEF，
∴GE∥CD，
∵GE=AE=CD，
∴ 四边形 GECD 是平行四边形，
∴DG=CE，DG∥CE．
25. （1） 在 Rt△ABC 中，AC=62+82=10，
∴OB=OA=OC=12AC=12×10=5．
（2） 如图 1，延长 QO 交 AD 于点 E，连接 PE，PQ．
在 △COQ 和 △AOE 中，
∵OA=OC,∠AOE=∠COQ,∠AEO=∠CQO,
∴△AEO≌△CQOAAS，
∴OE=OQ，AE=CQ=y，
∵OP⊥OQ，
∴OP 垂直平分 EQ，
∴PE=PQ，
∴EP2=PQ2，
在 Rt△EDP 中，EP2=8−y2+x2，
在 Rt△PCQ 中，PQ2=y2+6−x2，
∴8−y2+x2=y2+6−x2，
∴y=34x+74．
（3） 分三种情况考虑：
①如图 2，若 CQ=CO 时，此时 CQ=5；
②如图 3，若 OQ=CQ 时，作 OF⊥BC，垂足为点 F，
则 BF=CF=4（三线合一），
∴OF=52−42=3，
∵OQ=CQ，
∴OQ2=CQ2，
∴4−y2+32=y2，
∴y=258，
∴CQ=258；
③若 OQ=OC 时，此时点 Q 与点 B 重合，点 P 在 DC 延长线上，此情况不成立．
综上所示，当 CQ=258 或 5 时，△OCQ 是等腰三角形．
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