2018-2019学年广东省佛山市禅城区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省佛山市禅城区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=x+22+3 的顶点坐标是
A. −2,−3B. −2,3C. 2,−3D. 2,3

2. 一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体是
A. 圆柱B. 棱柱C. 圆锥D. 球

3. 两个相似多边形的面积之比是 1:4，则这两个相似多边形的周长之比是
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16

4. 已知 m 是方程 x2−x−1=0 的一个根，则代数式 m2−m 的值等于
A. 2B. 1C. 0D. −1

5. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=10，BC=8，则 sin∠A=
A. 45B. 35C. 43D. 34

6. 若 3x=2yxy≠0，则下列比例式成立的是
A. x3=y2B. x3=2yC. xy=32D. x2=y3

7. 一元二次方程 x2−2x+m=0 没有实数根，则 m 应满足的条件是
A. m<1B. m>1C. m=1D. m≤1

8. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 E．已知 ∠EAD=3∠BAE，求 ∠EAO 的度数
A. 22.5∘B. 67.5∘C. 45∘D. 60∘

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的高，下列线段的比值等于 csA 的值的有 个．
（1）ADAC；（2）ACAB；（3）BDBC；（4）CDBC．
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 如图，A，B 是反比例函数 y=kxk>0 上得两个点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D，连接 AD，BC，则 △ABD 与 △ACB 的面积大小关系是
A. S△ADB>S△ACBB. S△ADB
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 tan∠AOB 的值为 ．

12. 在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有 10 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小刚通过多次摸球试验后发现摸到黄色球的频率在 40%，则布袋中白色球的个数有可能是 个．

13. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60 元降至到现在 48.6 元，设平均每次降价的百分率为 x，则列方程为 ．

14. 反比例函数 y=−3x，当 y≤3 时，x 的取值范围是 ．

15. 已知二次函数 y=−x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 −x2+2x+m=0 的解为 ．

16. 将边长分别为 2，3，5 的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 请回答：
（1）计算：−tan245∘+4sin60∘；
（2）解方程：3x2=6x．

18. 在数字 1，2，3 中任选两个数组成一个两位数，请借助树状图或表格组成两位数能被 3 整除的概率．

19. 如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱．AB=4 m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC=3 m．
（1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影．
（2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 8 m，请你计算 DE 的长．

20. 某种服装，平均每天可销售 20 件，每件利润是 44 元，经市场调查发现，该品牌服装在每件降价幅度不超过 10 元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多销售 5 件．
（1）如果每件降价 x 元，平均每天销售的服装为 y1 件，试写出 x 与 y1 之间的函数关系（用 x 表示 y1）；
（2）如果每天该服装销售的利润总金额记为 y2（元），求当 y2=1600，每件应降价多少元?

21. 如图，BC 是路边坡角为 30∘，长为 10 米的一道斜坡，在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯，射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角 ∠DAN 和 ∠DBN 分别是 37∘ 和 60∘（图中的点 A，B，C，D，M，N 均在同一平面内，CM∥AN）．
（参考数据：3=1.73，sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）
（1）求灯杆 CD 的高度；
（2）求 AB 的长度（结果精确到 0.1 米）．

22. 如图，BD 是 △ABC 的角平分线，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 BC 于点 F．
（1）求证：四边形 BEDF 为菱形；
（2）如果 ∠A=90∘，∠C=30∘，BD=6，求菱形 BEDF 的面积．

23. 已知一次函数 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于第一象限内的 P12,8，Q4,m 两点，与 x 轴交于 A 点．
（1）写出点 P 关于原点的对称点 P′ 的坐标；
（2）分别求出这两个函数的表达式；
（3）求 ∠P′AO 的正切值．

24. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CF=CA，连接 AF，∠ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M．
（1）求证：BN=BF；
（2）求证：CN=2CM；
（3）若正方形 ABCD 的边长为 2，求 OM 的长．

25. 已知在平面直角坐标系中，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，直线 y=x+4 经过 A，C 两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点 P，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且 PQ∥AO，PQ=2AO，求 P，Q 的坐标；
（3）动点 M 在直线 y=x+4 上，且 △ABC 与 △COM 相似，求点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】二次函数 y=x+22+3 的图象的顶点坐标为 −2,3．
2. A【解析】如图，该几何体的三视图中两个视图是矩形，一个视图是个圆，故该几何体为圆柱．
3. A【解析】∵ 两个相似多边形的面积之比是 1:4，
∴ 这两个相似多边形的相似比是 1:2，
则这两个相似多边形的周长之比是 1:2，故选：A．
4. B【解析】把 x=m 代入方程 x2−x+1=0 可得：m2−m−1=0，即 m2−m=1．
5. A
【解析】∵∠C=90∘，AB=10，BC=8，
∴ 在 Rt△ABC 中，sinA=BCAB=810=45．
6. D【解析】A．由 x3=y2 得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B．由 x3=2y 得，xy=6，故本选项不符合题意；
C．由 xy=32 得，2x=3y，故本选项不符合题意；
D．由 x2=y3 得，3x=2y，故本选项符合题意．
7. B【解析】∵ 一元二次方程 x2−2x+m=0 没有实数根，
∴ Δ=−22−4×1×m<0，
∴ m>1．
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴∠BAD=90∘，OA=OB，
∵∠EAD=3∠BAE，
∴4∠BAE=90∘，
∴∠BAE=22.5∘，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE=90∘−∠BAE=67.5∘，
∴∠BAO=67.5∘，
∴∠EAO=∠BAO−∠BAE=67.5∘−22.5∘=45∘．
9. C【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的高，
∴∠A+∠ACD=90∘，∠ACD+∠BCD=90∘，
∴∠A=∠BCD，
∴csA=ACAB=ADAC=CDBC，
故（1），（2），（4）正确．
10. C
【解析】设 A 的横坐标是 a，则纵坐标是 ka，
当 B 的横坐标是 b 时，则纵坐标是：kb．
则 △ABD 的面积是：12b⋅ka−kb=b2k−abk2ab=b−ak2a；
△ACB 的面积是：12⋅kab−a=b−ak2a．
故 △ABD 的面积 =△ACB 的面积．
故选：C．
第二部分
11. 2
【解析】tan∠AOB=CDDO=2．
12. 6
【解析】根据题意摸到黄色球的概率为 40%，
则摸到白色球的概率 =1−40%=60%，
∴ 口袋中白色球的个数 =10×60%=6，
即布袋中白色球的个数很可能是 6 个．
13. 601−x2=48.6
【解析】第一次降价后的价格为 60×1−x，二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为 60×1−x×1−x，
所以可列方程为 601−x2=48.6．
14. x≤−1 或 x>0
【解析】∵k=−3<0，
∴ 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，
又当 x=−1，y=3，
∴ 当 x≤−1 或 x>0 时，y≤3．
15. x1=−1 或 x2=3
【解析】依题意得二次函数 y=−x2+2x+m 的对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点为 3,0，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标为 1−3−1=−1，
∴ 交点坐标为 −1,0，
∴ 当 x=−1 或 x=3 时，函数值 y=0，即 −x2+2x+m=0，
∴ 关于 x 的一元二次方程 −x2+2x+m=0 的解为 x1=−1 或 x2=3．
16. 154
【解析】∵VB∥ED，三个正方形的边长分别为 2，3，5，
∴VB:DE=AB:AD，即 VB:5=2:2+3+5=1:5，
∴VB=1，
∵CF∥ED，
∴CF:DE=AC:AD，即 CF:5=5:10
∴CF=2.5，
∵S梯形VBFC=12BV+CF⋅BC=214，
∴ 阴影部分的面积 =S正方形BCQW−S梯形VBCF=154．
第三部分
17. （1） 原式=−12+4×32=−1+23.
（2）
3x2=6x.3x2−6x=0.3xx−2=0.
解得，
x1=0,x2=2.
18. 画树状图：
共有 6 种等可能的结果数，其中组成两位数能被 3 整除的结果数为 2，
∴ 组成两位数能被 3 整除的概率 =26=13．
19. （1） 连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交直线 BC 于点 F，线段 EF 即为 DE 的投影．
（2） ∵ AC∥DF，
∴ ∠ACB=∠DFE．
∵ ∠ABC=∠DEF=90∘，
∴ △ABC∽△DEF．
∴ AB:DE=BC:EF，
∵ AB=4 m，BC=3 m，EF=8 m，
∴ 4:3=DE:8，
∴ DE=323m．
20. （1） 设每件降价 x 元，平均每天销售的服装为 y1 件，
则 x 与 y1 之间的函数关系（用 x 表示 y1）为：y1=20+5x．
（2） 由题意可得：1600=44−x20+5x．
则 1600=−5x2+200x+880，
解得：x1=4，x2=36（不合题意舍去）．
答：每件应降价 4 元．
21. （1） 延长 DC 交 AN 于 H，
∵∠DBH=60∘，∠DHB=90∘，
∴∠BDH=30∘，
∵∠CBH=30∘，
∴∠CBD=∠BDC=30∘，
∴BC=CD=10（米）．
（2） 在 Rt△BCH 中，CH=12BC=5，BH=53≈8.65，
∴DH=15，
在 Rt△ADH 中，AH=DHtan37∘=150.75=20，
∴AB=AH−BH=20−8.65≈11.4（米）．
答：AB 的长度约为 11.4 米．
22. （1） ∵DE∥BC，DF∥AB，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形．
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBF．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠DBF=12∠ABC．
∴∠ABD=∠EDB．
∴DE=BE 且四边形 BEDF 为平行四边形．
∴ 四边形 BEDF 为菱形．
（2） 如图，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H．
∵∠A=90∘，∠C=30∘，
∴∠ABC=60∘．
∴∠DBC=30∘=∠C．
∴DB=DC=6．
∵DH⊥BC，∠C=30∘，
∴DC=2DH=6．
∴DH=3．
∵DF∥AB，
∴∠A=∠FDC=90∘，且 ∠C=30∘，DC=6．
∴DC=3DF．
∴DF=23．
∵ 四边形 BEDF 为菱形，
∴BF=DF=23．
∴S四边形BEDF=BF×DH=23×3=63．
23. （1） 点 P 关于原点的对称点 P′ 的坐标是 −12,−8．
（2） 因为 P12,8 在 y=k2x 的图象上，
所以 k2=12×8=4，
所以反比例函数的表达式是：y=4x，
因为 Q4,m 在 y=4x 的图象上，
所以 4×m=4，
即 m=1，
所以 Q4,1，
因为 y=k1x+b 过 P12,8，Q4,1 两点，
所以 12k1+b=8，
所以 k1=−2，4k1+b=1，b=9，
所以一次函数的解析式是 y=−2x+9．
（3） 作 P′B⊥x 轴于 B，则 P′B=8，BO=12，
对于 y=−2x+9，令 y=0，则 x=92，
所以 AB=12+92=5，
在 Rt△ABP′ 中，
tan∠P′AO=P′BAB=85．
24. （1） 在正方形 ABCD 中，∠ABC=∠ABF=90∘，BC=AB，
∵CF=CA，连接 AF，∠ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，
∴CE⊥AF，
∴∠BAF+∠ANE=90∘，
∵∠ANE=∠BNC，
∴∠BAF+∠BNC=90∘，
∵∠BCN+∠BNC=90∘，
∴∠BAF=∠BCN，
在 △BCN 和 △BAF 中，
∠BCN=∠BAF,BC=AB,∠CBN=∠FBA,
∴△BCN≌△BAF，
∴BN=BF．
（2） 设正方形的边长为 m，则 BD=AC=2m，
∵AC=CF=BC+BF=m+BF=2m，
∴BN=BF=2−1m，
∵BN∥CD，
∴MNCM=BNCD=2−1mm=2−1，
∴MN+CMCM=2−1+11=2，
∴CN=2CM．
（3） ∵BN∥CD，
∴BMDM=BNCD=2−1，
∴BM=2−1DM，
∵BM+DM=BD=2m，
∴DM=m，
∵ 点 O 是正方形的对角线的交点，
∴OD=12BD=22m，
∵ 正方形的边长为 2，
∴m=2，
∴OM=DM−OD=m−22m=2−1．
25. （1） 当 x=0 时，y=4，即 C0,4；
当 y=0 时，x+4=0，解得 x=−4，即 A−4,0．
将 A，C 点坐标代入函数解析式，
得 −12×−42−4b+4=0,c=4, 解得 b=−1,c=4,
抛物线的表达式为 y=−12x2−x+4．
（2） PQ=2AO=8，
又 PQ∥AO，即 P，Q 关于对称轴 x=−1 对称，
PQ=8，−1−4=−5，
当 x=−5 时，y=−12×−52−−5+4=−72，即 P−5,−72；
−1+4=3，即 Q3,−72；
P 点坐标 −5,−72，Q 点坐标 3,−72．
（3） ∠MCO=∠CAB=45∘．
①当 △MCO∽△CAB 时，OCBA=CMAC，
即 46=CM42，CM=823．
如图 1，过 M 作 MH⊥y 轴于 H，MH=CH=22CM=83，
当 x=−83 时，y=−83+4=43，
∴M−83,43；
②当 △OCM∽△CAB 时，OCCA=CMAB，即 442=CM6，解得 CM=32，
如图 2，过 M 作 MH⊥y 轴于 H，MH=CH=22CM=3，
当 x=−3 时，y=−3+4=1．
∴M−3,1．
综上所述：M 点的坐标为 −83,43，−3,1．