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2020-2021学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
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2020-2021学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C． D．7
2．（3分）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．（3分）＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
4．（3分）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．3、5、7 C．6、8、10 D．8、15、17
5．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
6．（3分）估算在哪两个整数之间？（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
7．（3分）如图，OA＝OB，则数轴上点B所表示的数是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．3+
8．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
10．（3分）如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△CDE＝（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）填空．
（1）＝ ．
（2）＝ ．
12．（4分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围为 ．
13．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若直角三角形的短直角边长2，小正方形面积为4，则大正方形面积为 ．
14．（4分）如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（9分）计算．
（1）﹣+．
（2）×﹣+（﹣1）0．
（3）÷﹣4+．
（4）（﹣2）2+（）﹣1﹣（）2．
16．（9分）解方程．
（1）（x﹣2）2＝9．
（2）3x3﹣81＝0．
17．（9分）已知：a＝+2，b＝﹣2．
（1）求ab．
（2）求a2+b2﹣ab．
18．（9分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
19．（9分）如图，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．
（1）求证：DG＝DH．
（2）若AB＝2，AD＝4．求AG的长．
20．（9分）等边△ABC中，AB＝6，P、Q分别是AB、BC两边上的动点且AP＝BQ，CP、AQ交于点M．
（1）如图1，求证：△ACP≌△BAQ．
（2）如图1，求∠AMP的度数．
（3）如图2，连接PQ，当PQ⊥BC时，求AQ和CM的值．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝﹣1，则x2+2x﹣1＝ ．
22．（4分）规定a⊗b＝•+，a*b＝ab﹣b2，则（2⊗4）*＝ ．
23．（4分）已知a，b，c在数轴上位置如图：则|a﹣b|﹣+＝ ．
24．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+a2﹣2ab+b2＝0，若c＝+2，则S△ABC＝ ．
25．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，D为AC中点，将△CBD沿AB翻折，得到△EBF，过F作FG⊥BD于G．则FG＝ ，＝ ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）解答题．
（1）若实数x，y满足y＝+18，求2x+y的平方根．
（2）已知：x＝，y＝，若x的整数部分是m，y的小数部分是n．
①求m﹣nx的值．
②化简求值：﹣．
27．（10分）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
28．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．
（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．
（2）如图2，当E为BC中点时．
①求CG的长．
②连接EF，求GF+EF的值．
（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为 ．
2020-2021学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C． D．7
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数；
B、3.14是有限小数，属于有理数；
C、是无理数；
D、7是整数，属于有理数；
故选：C．
2．（3分）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【分析】根据算术平方根的概念分别求出两个正方形的边长，根据勾股定理求出正方形A的边长，求出正方形A的面积．
【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，
由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，
∴正方形A的面积为36，
故选：B．
3．（3分）＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【分析】根据开方运算，可得答案．
【解答】解：＝﹣4，
故选：C．
4．（3分）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．3、5、7 C．6、8、10 D．8、15、17
【分析】求出较小两边平方的和，将其与最大边的平方比较后即可得出结论．
【解答】解：A、∵32＝9，42＝16，52＝25，9+16＝25，
∴32+42＝52，
∴长为3，4，5的三条边，能组成直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵32＝9，52＝25，72＝49，9+25＝34≠49，
∴32+52≠72，
∴长为3，5，7的三条边，不能组成直角三角形，选项B符合题意；
C、∵62＝36，82＝64，102＝100，36+64＝100，
∴62+82＝102，
∴长为6，8，10的三条边，能组成直角三角形，选项C不符合题意；
D、∵82＝64，152＝225，172＝289，64+225＝289，
∴82+152＝172，
∴长为8，15，17的三条边，能组成直角三角形，选项D不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
【分析】根据勾股定理求出BC的长，将AB和BC相加即可得到大树的实际高度．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
6．（3分）估算在哪两个整数之间？（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【分析】根据4＜6＜9，＝2，，即可得出答案．
【解答】解：因为4＜6＜9，
所以2，
所以在2和3之间．
故选：A．
7．（3分）如图，OA＝OB，则数轴上点B所表示的数是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．3+
【分析】根据图中的直角三角形的三边关系（勾股定理）求得OA的长，再根据OA═OB得出B点所表示的数．
【解答】解：由题意可知：OA══，
∵OA═OB，
∴点B所表示的数，
故选：B．
8．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，得到y的值，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得，x＝4，
∴y＝3，
∴＝，
故选：A．
9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝；
②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5；
即第三边长是5或，
故选：D．
10．（3分）如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△CDE＝（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据翻折变换可得BD＝DE，AB＝AE，在直角三角形DEC中，可求出DE，由三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝8，
由翻折变换的性质可知，
AB＝AE＝6，∠B＝∠AED＝90°，
∴EC＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，
设DE＝x，则BD＝x，DC＝8﹣x，
由勾股定理得，
DE2+EC2＝CD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即DE＝3，
∴S△DEC＝DE•EC
＝×3×4
＝6，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）填空．
（1）＝ 2 ．
（2）＝ ．
【分析】（1）根据二次根式的化简解答即可；
（2）根据二次根式的化简解答即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
故答案为：（1）2；（2）．
12．（4分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围为 x≥3 ．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
13．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若直角三角形的短直角边长2，小正方形面积为4，则大正方形面积为 20 ．
【分析】由小正方形的面积为4得到小正方形的边长为2，由此得到直角三角形的长直角边为4，根据勾股定理求出斜边等于，由正方形面积公式即可得到结果．
【解答】解：∵小正方形的面积为4，
∴小正方形的边长为2，
∴直角三角形的长直角边为：2+2＝4，
∴斜边＝＝，
∴大正方形的面积为：（）2＝20，
故答案为：20．
14．（4分）如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ．
【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．
【解答】解：将正方体展开，连接A、M，
根据两点之间线段最短，AM＝＝．
答：蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（9分）计算．
（1）﹣+．
（2）×﹣+（﹣1）0．
（3）÷﹣4+．
（4）（﹣2）2+（）﹣1﹣（）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则和零指数幂的意义计算，然后化简后合并即可；
（3）先利用二次根式的除法法则和二次根式的性质计算，然后化简后合并即可；
（4）利用完全平方公式、负整数指数幂和二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+3
＝2；
（2）原式＝﹣+1
＝2﹣+1
＝+1；
（3）原式＝﹣2+2
＝2﹣2+2
＝2；
（4）原式＝5﹣4+4+5﹣5
＝9﹣4．
16．（9分）解方程．
（1）（x﹣2）2＝9．
（2）3x3﹣81＝0．
【分析】（1）根据平方根解答方程即可；
（2）根据立方根解答方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9．
x﹣2＝±3，
x1＝5，x2＝﹣1．
（2）3x3﹣81＝0，
3x3＝81，
x3＝27，
x＝3．
17．（9分）已知：a＝+2，b＝﹣2．
（1）求ab．
（2）求a2+b2﹣ab．
【分析】（1）根据平方差公式、二次根式的乘法法则计算；
（2）根据二次根式的加法法则求出a+b，根据完全平方公式把原式变形，把a+b、ab的值代入计算即可．
【解答】解：（1）ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝5﹣4＝1；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，
∴a2+b2﹣ab
＝a2+2ab+b2﹣3ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2）2﹣3×1
＝17．
18．（9分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）根据S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE可求出答案；
（3）过点A作AH⊥BC于点H，由三角形的面积可求出答案．
【解答】解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
19．（9分）如图，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．
（1）求证：DG＝DH．
（2）若AB＝2，AD＝4．求AG的长．
【分析】（1）根据翻折变换的性质可知，∠BHG＝∠DHG，由矩形的性质可知AD∥BC，进而得出∠BHG＝∠DGH，再根据等腰三角形的判定可得DG＝DH；
（2）根据翻折变换的性质可知DE＝DC＝AB，在直角三角形DEG中，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）由翻折变换的性质可知，
DC＝DE，∠BHG＝∠DHG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BHG＝∠DGH，
∴∠DHG＝∠DGH，
∴DH＝DG；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝90°，
由翻折变换可得，AG＝GE，DC＝DE＝2，∠E＝∠C＝90°，
在Rt△DEG中，设AG＝x，则DG＝4﹣x，由勾股定理得，
GE2+DE2＝DG2，
x2+（2）2＝（4﹣x）2，
解得x＝1，
即AG＝1．
20．（9分）等边△ABC中，AB＝6，P、Q分别是AB、BC两边上的动点且AP＝BQ，CP、AQ交于点M．
（1）如图1，求证：△ACP≌△BAQ．
（2）如图1，求∠AMP的度数．
（3）如图2，连接PQ，当PQ⊥BC时，求AQ和CM的值．
【分析】（1）由SAS证明△ACP≌△BAQ即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAQ＝∠ACP，再由三角形的外角性质得∠AMP＝∠ACP+∠CAQ＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（3）过点Q作QH⊥PC于H，先由全等三角形的性质得CP＝AQ，再由含30°角的直角三角形的性质得BP＝2BQ，则BQ＝2，BP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝4，然后由勾股定理得PQ＝2，CP＝2，则AQ＝CP＝2，由三角形面积求出QH＝，最后由直角三角形的性质得出MH、CH的长，进而得出CM的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△ACP和△BAQ中，
，
∴△ACP≌△BAQ（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACP≌△BAQ，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠AMP＝∠ACP+∠CAQ＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（3）解：过点Q作QH⊥PC于H，如图所示：
则∠QHM＝90°，
由（1）得：△ACP≌△BAQ，
∴CP＝AQ，
由（2）得：∠QMH＝∠AMP＝60°，
∴∠MQH＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，
∵AB＝6，AP＝BQ，
∴BQ＝2，BP＝4，
∴CQ＝BC﹣BQ＝6﹣2＝4，
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝2，
在Rt△PCQ中，CP＝＝＝2，
∴AQ＝CP＝2，
∵△PCQ的面积＝PQ×CQ＝CP×QH，
∴×2×4＝×2×QH，
解得：QH＝，
∵∠MQH＝30°，∠QHM＝90°，
∴MH＝QH＝×＝，
在Rt△CQH中，CH＝＝＝，
∴CM＝CH+MH＝+＝．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝﹣1，则x2+2x﹣1＝ 0 ．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可．
【解答】解：x2+2x﹣1
＝x2+2x+1﹣2
＝（x+1）2﹣2，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1+1）2﹣2＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
22．（4分）规定a⊗b＝•+，a*b＝ab﹣b2，则（2⊗4）*＝ 3 ．
【分析】先利用a⊗b＝•+得到2⊗4＝，然后根据a*b＝ab﹣b2，计算*即可．
【解答】解：∵2⊗4＝×+＝2+＝，
∴（2⊗4）*＝*＝×﹣（）2＝5﹣2＝3．
故答案为3．
23．（4分）已知a，b，c在数轴上位置如图：则|a﹣b|﹣+＝ 2b﹣c ．
【分析】直接利用数轴得出各式的符号，再化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣b＜0，c﹣b＞0，
原式＝b﹣a﹣（c﹣b）+a
＝b﹣a﹣c+b+a
＝2b﹣c．
故答案为：2b﹣c．
24．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+a2﹣2ab+b2＝0，若c＝+2，则S△ABC＝ ．
【分析】先利用非负数的性质得出a2+b2＝c2，且a＝b，那么a2＝c2＝5+2，进而求出面积．
【解答】解：∵+a2﹣2ab+b2＝0，
∴+（a﹣b）2＝0，
∴a2+b2﹣c2＝0，且a﹣b＝0，
∴a2+b2＝c2，且a＝b，即△ABC是等腰直角三角形，
∴c2＝a2+b2＝2a2，
∴a2＝c2＝×（+2）2＝（6+4+4）＝5+2，
∴S△ABC＝ab＝a2＝．
故答案为：．
25．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，D为AC中点，将△CBD沿AB翻折，得到△EBF，过F作FG⊥BD于G．则FG＝ ，＝ ．
【分析】连接FD交AB于点H，根据折叠的性质，可知BF＝BD，FD⊥AB，结合已知，可解得BC＝4，AC＝4，再由中点性质，求得AD、BD、BF的长，根据三角形面积公式及勾股定理可解得FG、BG的长，进而求DG即可解题．
【解答】解：如图，
连接FD交AB于点H，
由折叠得BF＝BD，FD⊥AB，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝4，AC＝＝4，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD＝AC＝2，BD＝＝＝2，BF＝BD＝2，
∵AD＝2，∠A＝30°，
∴DH＝，BH＝＝＝5，FD＝2，
∴S△BDF＝•FD•BH＝•BD•FG，
×2×5＝×2•FG，
FG＝＝，
在Rt△BFG中，BG＝
＝
＝，
∴DG＝BD﹣BG＝2﹣＝，
∴＝＝，
故答案为：；．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）解答题．
（1）若实数x，y满足y＝+18，求2x+y的平方根．
（2）已知：x＝，y＝，若x的整数部分是m，y的小数部分是n．
①求m﹣nx的值．
②化简求值：﹣．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性及分母不等于0求出x、y的值，根据平方根的概念解答．
（2）先化简x与y的值，再求得m，n的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，x2﹣9≥0，9﹣x2≥0，x+3≠0，
∴x＝3，
∴y＝+18＝18，
∴2x+y＝2×3+18＝24，
∴2x+y的平方根为：±＝±2．
（2）∵x＝，y＝，
∴x＝+2，y＝﹣2，
∵x的整数部分是m，y的小数部分是n，
∴m＝4，n＝﹣2，
①m﹣nx＝4﹣（﹣2）（+2）＝4﹣1＝3，
②﹣
＝﹣
＝2+﹣（+）
＝2+﹣﹣
＝，
将m＝4代入得：原式＝＝＝2．
27．（10分）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．
【解答】解：如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴AC＝OA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC＝（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t＝＝24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．
28．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．
（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．
（2）如图2，当E为BC中点时．
①求CG的长．
②连接EF，求GF+EF的值．
（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为 2﹣2 ．
【分析】（1）由角平分线的性质得出，由直角三角形的性质得出AB＝AC＝4，则可求出答案；
（2）①由勾股定理求出AE的长，由S△ACE＝AE•CG＝AC•CE可求出CG的长；
②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，证明△CBM≌△ACE（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝CM＝2，CE＝BM，证明△EBF≌△MBF（SAS），得出EF＝MF，则可求出答案；
（3）取AC的中点N，连接NG，BN，由勾股定理可求出BN的长，当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵AE平分∠CAB，
∴点E到AC，AB的距离相等，
∴，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝4，
∴，
∴，
∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，
即BE＝8﹣4；
（2）①∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝BC＝2，
∴AE＝＝2，
∵CF⊥AE，
∴S△ACE＝AE•CG＝AC•CE，
∴CG＝．
②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，
∵BM⊥BC，
∴∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠ACE＝90°，
∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，
∴∠BCM＝∠CAE，
在△CBM和△ACE中，
，
∴△CBM≌△ACE（ASA），
∴AE＝CM＝2，CE＝BM，
∵CE＝BE，
∴BM＝BE，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝∠MBF＝45°，
在△EBF和△MBF中，
，
∴△EBF≌△MBF（SAS），
∴EF＝MF，
∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．
∴GF+EF＝．
（3）取AC的中点N，连接NG，BN，
∵点N是AC的中点，
∴AN＝CN＝AC＝2，
∴BN＝＝2，
∵CF⊥AE，
∴∠AGC＝90°，
∴NE＝AC＝2，
∴BG≥BN﹣NG，
当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，
∴BG的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
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日期：2021/8/16 23:14:32；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C． D．7
2．（3分）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．（3分）＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
4．（3分）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．3、5、7 C．6、8、10 D．8、15、17
5．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
6．（3分）估算在哪两个整数之间？（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
7．（3分）如图，OA＝OB，则数轴上点B所表示的数是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．3+
8．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
10．（3分）如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△CDE＝（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）填空．
（1）＝ ．
（2）＝ ．
12．（4分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围为 ．
13．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若直角三角形的短直角边长2，小正方形面积为4，则大正方形面积为 ．
14．（4分）如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（9分）计算．
（1）﹣+．
（2）×﹣+（﹣1）0．
（3）÷﹣4+．
（4）（﹣2）2+（）﹣1﹣（）2．
16．（9分）解方程．
（1）（x﹣2）2＝9．
（2）3x3﹣81＝0．
17．（9分）已知：a＝+2，b＝﹣2．
（1）求ab．
（2）求a2+b2﹣ab．
18．（9分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
19．（9分）如图，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．
（1）求证：DG＝DH．
（2）若AB＝2，AD＝4．求AG的长．
20．（9分）等边△ABC中，AB＝6，P、Q分别是AB、BC两边上的动点且AP＝BQ，CP、AQ交于点M．
（1）如图1，求证：△ACP≌△BAQ．
（2）如图1，求∠AMP的度数．
（3）如图2，连接PQ，当PQ⊥BC时，求AQ和CM的值．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝﹣1，则x2+2x﹣1＝ ．
22．（4分）规定a⊗b＝•+，a*b＝ab﹣b2，则（2⊗4）*＝ ．
23．（4分）已知a，b，c在数轴上位置如图：则|a﹣b|﹣+＝ ．
24．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+a2﹣2ab+b2＝0，若c＝+2，则S△ABC＝ ．
25．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，D为AC中点，将△CBD沿AB翻折，得到△EBF，过F作FG⊥BD于G．则FG＝ ，＝ ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）解答题．
（1）若实数x，y满足y＝+18，求2x+y的平方根．
（2）已知：x＝，y＝，若x的整数部分是m，y的小数部分是n．
①求m﹣nx的值．
②化简求值：﹣．
27．（10分）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
28．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．
（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．
（2）如图2，当E为BC中点时．
①求CG的长．
②连接EF，求GF+EF的值．
（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为 ．
2020-2021学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C． D．7
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数；
B、3.14是有限小数，属于有理数；
C、是无理数；
D、7是整数，属于有理数；
故选：C．
2．（3分）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【分析】根据算术平方根的概念分别求出两个正方形的边长，根据勾股定理求出正方形A的边长，求出正方形A的面积．
【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，
由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，
∴正方形A的面积为36，
故选：B．
3．（3分）＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【分析】根据开方运算，可得答案．
【解答】解：＝﹣4，
故选：C．
4．（3分）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．3、5、7 C．6、8、10 D．8、15、17
【分析】求出较小两边平方的和，将其与最大边的平方比较后即可得出结论．
【解答】解：A、∵32＝9，42＝16，52＝25，9+16＝25，
∴32+42＝52，
∴长为3，4，5的三条边，能组成直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵32＝9，52＝25，72＝49，9+25＝34≠49，
∴32+52≠72，
∴长为3，5，7的三条边，不能组成直角三角形，选项B符合题意；
C、∵62＝36，82＝64，102＝100，36+64＝100，
∴62+82＝102，
∴长为6，8，10的三条边，能组成直角三角形，选项C不符合题意；
D、∵82＝64，152＝225，172＝289，64+225＝289，
∴82+152＝172，
∴长为8，15，17的三条边，能组成直角三角形，选项D不符合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
【分析】根据勾股定理求出BC的长，将AB和BC相加即可得到大树的实际高度．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
6．（3分）估算在哪两个整数之间？（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【分析】根据4＜6＜9，＝2，，即可得出答案．
【解答】解：因为4＜6＜9，
所以2，
所以在2和3之间．
故选：A．
7．（3分）如图，OA＝OB，则数轴上点B所表示的数是（ ）
A．4 B． C．﹣ D．3+
【分析】根据图中的直角三角形的三边关系（勾股定理）求得OA的长，再根据OA═OB得出B点所表示的数．
【解答】解：由题意可知：OA══，
∵OA═OB，
∴点B所表示的数，
故选：B．
8．（3分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，得到y的值，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得，x＝4，
∴y＝3，
∴＝，
故选：A．
9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝；
②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5；
即第三边长是5或，
故选：D．
10．（3分）如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△CDE＝（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据翻折变换可得BD＝DE，AB＝AE，在直角三角形DEC中，可求出DE，由三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝8，
由翻折变换的性质可知，
AB＝AE＝6，∠B＝∠AED＝90°，
∴EC＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，
设DE＝x，则BD＝x，DC＝8﹣x，
由勾股定理得，
DE2+EC2＝CD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即DE＝3，
∴S△DEC＝DE•EC
＝×3×4
＝6，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）填空．
（1）＝ 2 ．
（2）＝ ．
【分析】（1）根据二次根式的化简解答即可；
（2）根据二次根式的化简解答即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
故答案为：（1）2；（2）．
12．（4分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围为 x≥3 ．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
13．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若直角三角形的短直角边长2，小正方形面积为4，则大正方形面积为 20 ．
【分析】由小正方形的面积为4得到小正方形的边长为2，由此得到直角三角形的长直角边为4，根据勾股定理求出斜边等于，由正方形面积公式即可得到结果．
【解答】解：∵小正方形的面积为4，
∴小正方形的边长为2，
∴直角三角形的长直角边为：2+2＝4，
∴斜边＝＝，
∴大正方形的面积为：（）2＝20，
故答案为：20．
14．（4分）如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ．
【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．
【解答】解：将正方体展开，连接A、M，
根据两点之间线段最短，AM＝＝．
答：蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（9分）计算．
（1）﹣+．
（2）×﹣+（﹣1）0．
（3）÷﹣4+．
（4）（﹣2）2+（）﹣1﹣（）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则和零指数幂的意义计算，然后化简后合并即可；
（3）先利用二次根式的除法法则和二次根式的性质计算，然后化简后合并即可；
（4）利用完全平方公式、负整数指数幂和二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+3
＝2；
（2）原式＝﹣+1
＝2﹣+1
＝+1；
（3）原式＝﹣2+2
＝2﹣2+2
＝2；
（4）原式＝5﹣4+4+5﹣5
＝9﹣4．
16．（9分）解方程．
（1）（x﹣2）2＝9．
（2）3x3﹣81＝0．
【分析】（1）根据平方根解答方程即可；
（2）根据立方根解答方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9．
x﹣2＝±3，
x1＝5，x2＝﹣1．
（2）3x3﹣81＝0，
3x3＝81，
x3＝27，
x＝3．
17．（9分）已知：a＝+2，b＝﹣2．
（1）求ab．
（2）求a2+b2﹣ab．
【分析】（1）根据平方差公式、二次根式的乘法法则计算；
（2）根据二次根式的加法法则求出a+b，根据完全平方公式把原式变形，把a+b、ab的值代入计算即可．
【解答】解：（1）ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝5﹣4＝1；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，
∴a2+b2﹣ab
＝a2+2ab+b2﹣3ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2）2﹣3×1
＝17．
18．（9分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）根据S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE可求出答案；
（3）过点A作AH⊥BC于点H，由三角形的面积可求出答案．
【解答】解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
19．（9分）如图，将矩形纸片ABCD沿GH折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．
（1）求证：DG＝DH．
（2）若AB＝2，AD＝4．求AG的长．
【分析】（1）根据翻折变换的性质可知，∠BHG＝∠DHG，由矩形的性质可知AD∥BC，进而得出∠BHG＝∠DGH，再根据等腰三角形的判定可得DG＝DH；
（2）根据翻折变换的性质可知DE＝DC＝AB，在直角三角形DEG中，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）由翻折变换的性质可知，
DC＝DE，∠BHG＝∠DHG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BHG＝∠DGH，
∴∠DHG＝∠DGH，
∴DH＝DG；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝90°，
由翻折变换可得，AG＝GE，DC＝DE＝2，∠E＝∠C＝90°，
在Rt△DEG中，设AG＝x，则DG＝4﹣x，由勾股定理得，
GE2+DE2＝DG2，
x2+（2）2＝（4﹣x）2，
解得x＝1，
即AG＝1．
20．（9分）等边△ABC中，AB＝6，P、Q分别是AB、BC两边上的动点且AP＝BQ，CP、AQ交于点M．
（1）如图1，求证：△ACP≌△BAQ．
（2）如图1，求∠AMP的度数．
（3）如图2，连接PQ，当PQ⊥BC时，求AQ和CM的值．
【分析】（1）由SAS证明△ACP≌△BAQ即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAQ＝∠ACP，再由三角形的外角性质得∠AMP＝∠ACP+∠CAQ＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（3）过点Q作QH⊥PC于H，先由全等三角形的性质得CP＝AQ，再由含30°角的直角三角形的性质得BP＝2BQ，则BQ＝2，BP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝4，然后由勾股定理得PQ＝2，CP＝2，则AQ＝CP＝2，由三角形面积求出QH＝，最后由直角三角形的性质得出MH、CH的长，进而得出CM的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△ACP和△BAQ中，
，
∴△ACP≌△BAQ（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACP≌△BAQ，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠AMP＝∠ACP+∠CAQ＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（3）解：过点Q作QH⊥PC于H，如图所示：
则∠QHM＝90°，
由（1）得：△ACP≌△BAQ，
∴CP＝AQ，
由（2）得：∠QMH＝∠AMP＝60°，
∴∠MQH＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，
∵AB＝6，AP＝BQ，
∴BQ＝2，BP＝4，
∴CQ＝BC﹣BQ＝6﹣2＝4，
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝2，
在Rt△PCQ中，CP＝＝＝2，
∴AQ＝CP＝2，
∵△PCQ的面积＝PQ×CQ＝CP×QH，
∴×2×4＝×2×QH，
解得：QH＝，
∵∠MQH＝30°，∠QHM＝90°，
∴MH＝QH＝×＝，
在Rt△CQH中，CH＝＝＝，
∴CM＝CH+MH＝+＝．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x＝﹣1，则x2+2x﹣1＝ 0 ．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可．
【解答】解：x2+2x﹣1
＝x2+2x+1﹣2
＝（x+1）2﹣2，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1+1）2﹣2＝2﹣2＝0，
故答案为：0．
22．（4分）规定a⊗b＝•+，a*b＝ab﹣b2，则（2⊗4）*＝ 3 ．
【分析】先利用a⊗b＝•+得到2⊗4＝，然后根据a*b＝ab﹣b2，计算*即可．
【解答】解：∵2⊗4＝×+＝2+＝，
∴（2⊗4）*＝*＝×﹣（）2＝5﹣2＝3．
故答案为3．
23．（4分）已知a，b，c在数轴上位置如图：则|a﹣b|﹣+＝ 2b﹣c ．
【分析】直接利用数轴得出各式的符号，再化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣b＜0，c﹣b＞0，
原式＝b﹣a﹣（c﹣b）+a
＝b﹣a﹣c+b+a
＝2b﹣c．
故答案为：2b﹣c．
24．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+a2﹣2ab+b2＝0，若c＝+2，则S△ABC＝ ．
【分析】先利用非负数的性质得出a2+b2＝c2，且a＝b，那么a2＝c2＝5+2，进而求出面积．
【解答】解：∵+a2﹣2ab+b2＝0，
∴+（a﹣b）2＝0，
∴a2+b2﹣c2＝0，且a﹣b＝0，
∴a2+b2＝c2，且a＝b，即△ABC是等腰直角三角形，
∴c2＝a2+b2＝2a2，
∴a2＝c2＝×（+2）2＝（6+4+4）＝5+2，
∴S△ABC＝ab＝a2＝．
故答案为：．
25．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，D为AC中点，将△CBD沿AB翻折，得到△EBF，过F作FG⊥BD于G．则FG＝ ，＝ ．
【分析】连接FD交AB于点H，根据折叠的性质，可知BF＝BD，FD⊥AB，结合已知，可解得BC＝4，AC＝4，再由中点性质，求得AD、BD、BF的长，根据三角形面积公式及勾股定理可解得FG、BG的长，进而求DG即可解题．
【解答】解：如图，
连接FD交AB于点H，
由折叠得BF＝BD，FD⊥AB，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝4，AC＝＝4，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD＝AC＝2，BD＝＝＝2，BF＝BD＝2，
∵AD＝2，∠A＝30°，
∴DH＝，BH＝＝＝5，FD＝2，
∴S△BDF＝•FD•BH＝•BD•FG，
×2×5＝×2•FG，
FG＝＝，
在Rt△BFG中，BG＝
＝
＝，
∴DG＝BD﹣BG＝2﹣＝，
∴＝＝，
故答案为：；．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）解答题．
（1）若实数x，y满足y＝+18，求2x+y的平方根．
（2）已知：x＝，y＝，若x的整数部分是m，y的小数部分是n．
①求m﹣nx的值．
②化简求值：﹣．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性及分母不等于0求出x、y的值，根据平方根的概念解答．
（2）先化简x与y的值，再求得m，n的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，x2﹣9≥0，9﹣x2≥0，x+3≠0，
∴x＝3，
∴y＝+18＝18，
∴2x+y＝2×3+18＝24，
∴2x+y的平方根为：±＝±2．
（2）∵x＝，y＝，
∴x＝+2，y＝﹣2，
∵x的整数部分是m，y的小数部分是n，
∴m＝4，n＝﹣2，
①m﹣nx＝4﹣（﹣2）（+2）＝4﹣1＝3，
②﹣
＝﹣
＝2+﹣（+）
＝2+﹣﹣
＝，
将m＝4代入得：原式＝＝＝2．
27．（10分）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．
【解答】解：如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴AC＝OA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC＝（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t＝＝24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．
28．（10分）在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．
（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．
（2）如图2，当E为BC中点时．
①求CG的长．
②连接EF，求GF+EF的值．
（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为 2﹣2 ．
【分析】（1）由角平分线的性质得出，由直角三角形的性质得出AB＝AC＝4，则可求出答案；
（2）①由勾股定理求出AE的长，由S△ACE＝AE•CG＝AC•CE可求出CG的长；
②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，证明△CBM≌△ACE（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝CM＝2，CE＝BM，证明△EBF≌△MBF（SAS），得出EF＝MF，则可求出答案；
（3）取AC的中点N，连接NG，BN，由勾股定理可求出BN的长，当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵AE平分∠CAB，
∴点E到AC，AB的距离相等，
∴，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝4，
∴，
∴，
∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，
即BE＝8﹣4；
（2）①∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝BC＝2，
∴AE＝＝2，
∵CF⊥AE，
∴S△ACE＝AE•CG＝AC•CE，
∴CG＝．
②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，
∵BM⊥BC，
∴∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠ACE＝90°，
∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，
∴∠BCM＝∠CAE，
在△CBM和△ACE中，
，
∴△CBM≌△ACE（ASA），
∴AE＝CM＝2，CE＝BM，
∵CE＝BE，
∴BM＝BE，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝∠MBF＝45°，
在△EBF和△MBF中，
，
∴△EBF≌△MBF（SAS），
∴EF＝MF，
∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．
∴GF+EF＝．
（3）取AC的中点N，连接NG，BN，
∵点N是AC的中点，
∴AN＝CN＝AC＝2，
∴BN＝＝2，
∵CF⊥AE，
∴∠AGC＝90°，
∴NE＝AC＝2，
∴BG≥BN﹣NG，
当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，
∴BG的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
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日期：2021/8/16 23:14:32；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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