2018_2019学年常州市九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年常州市九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如表：
尺码3940414243平均每天销售数量件1012201212
该店主决定本周进货时，增加了一些 41 尺码的衬衫，影响该店主决策的统计量是
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数

2. 如图，是小明的练习，则他的得分是
A. 0 分B. 2 分C. 4 分D. 6 分

3. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ．已知 OB=3OBʹ，则 △AʹBʹCʹ 与 △ABC 的面积比为
A. 1:3B. 1:4C. 1:8D. 1:9

4. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=1，BC=2，则 csA 的值是
A. 12B. 5C. 55D. 255

5. 如图，圆锥的底面半径 r 为 6 cm，高 ℎ 为 8 cm，则圆锥的侧面积为
A. 30π cm2B. 48π cm2C. 60π cm2D. 80π cm2

6. 已知关于 x 的方程 x2+x−a=0 的一个根为 2，则另一个根是
A. −3B. −2C. 3D. 6

7. 半径为 r 的圆的内接正三角形的边长是
A. 2rB. 3rC. 2rD. 3r2

8. 如图，在 △ABC 中，∠B=60∘，BA=3，BC=5，将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. tan60∘= ．

10. 已知 x3=2y，则 xy= ．

11. 一组数据 6，2，−1，5 的极差为 ．

12. 如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是 ．

13. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ∠OAB=32∘，则 ∠C= ∘．

14. 某超市今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 2.88 万元，从 1 月份到 3 月份，该超市销售额平均每月的增长率是 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为 D．给出下列四个结论：① sinα=sinB；② sinβ=sinC；③ sinB=csC；④ sinα=csβ．其中正确的结论有 ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 0,2，4,0，点 P 是直线 y=2x+2 上的一动点，当以 P 为圆心，PO 为半径的圆与 △AOB 的一条边所在直线相切时，点 P 的坐标为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. （1）解方程：xx+3=−2；
（2）计算：2sin45∘+3cs60∘−4tan45∘．

18. 体育老师对九年级甲、乙两个班级各 10 名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班13,11,10,12,11,13,13,12,13,12乙班12,13,13,13,11,13,6,13,13,13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；
（2）哪个班的成绩比较整齐?

19. 校园歌手大赛中甲乙丙 3 名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．

20. 如图，△ABC 和 △DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，△ABC 和 △DEF 相似吗?为什么?

21. 已知关于 x 的方程 x−1x−4=k2，k 是实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当 k 的值取 时，方程有整数解．（直接写出 3 个 k 的值）

22. 如图，为了测得旗杆 AB 的高度，小明在 D 处用高为 1 m 的测角仪 CD，测得旗杆顶点 A 的仰角为 45∘，再向旗杆方向前进 10 m，又测得旗杆顶点 A 的仰角为 60∘，求旗杆 AB 的高度．

23. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，矩形 DEFG 的顶点 D，G 分别在 AC，BC 上，边 EF 在 AB 上．
（1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形 DEFG 的面积为 4，求 AE 的长．

24. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 E 在 ⊙O 上，C 为 BE 的中点，过点 C 作直线 CD⊥AE 于 D，连接 AC，BC．
（1）试判断直线 CD 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由．
（2）若 AD=2，AC=6，求 ⊙O 的半径．

25. 如图，平面直角坐标系中有 4 个点：A0,2，B−2,−2，C−2,2，D3,3．
（1）在正方形网格中画出 △ABC 的外接圆 ⊙M，圆心 M 的坐标是 ；
（2）若 EF 是 ⊙M 的一条长为 4 的弦，点 G 为弦 EF 的中点，求 DG 的最大值；
（3）点 P 在直线 MB 上，若 ⊙M 上存在一点 Q，使得 P，Q 两点间距离小于 1，直接写出点 P 横坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
2. C【解析】（1）x2=1，∴x=±1，∴ 方程 x2=1 的解为 x=±1，∴（1）错误；
（2）sin30∘=0.5，∴（2）正确；
（3）等圆的半径相等，∴（3）正确；
这三道题，小亮答对 2 道，得分：2×2=（4 分）．
3. D
4. C【解析】在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，AC=1，BC=2，
∴AB=AC2+BC2=12+22=5，
∴csA=ACAB=15=55．
5. C
6. A
7. B【解析】如图所示，
OB=OA=r；
∵△ABC 是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，
∴BO 是 ∠ABC 的平分线；∠OBD=60∘×12=30∘，BD=r⋅cs30∘=r⋅32；
根据垂径定理，BC=2×32r=3r．
8. D【解析】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
第二部分
9. 3
10. 6
【解析】∵x3=2y，
∴xy=6．
11. 7
【解析】极差 =6−−1=7．
12. 23
【解析】指针停止后指向图中阴影的概率是：360∘−120∘360∘=23．
13. 58
14. 20%
【解析】设该超市销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 21+x 万元，三月份销售额为 21+x2 万元，
根据题意得：21+x2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）．
答：该超市销售额平均每月的增长率是 20%．
15. ①②③④
【解析】∵∠BAC=90∘，AD⊥BC，
∴α+β=90∘，∠B+β=90∘，∠B+∠C=90∘，
∴α=∠B，β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；
∵ 在 Rt△ABC 中 sinB=ACBC，csC=ACBC，
∴sinB=csC，故③正确；
∵sinα=sinB，csβ=csC，
∴sinα=csβ，故④正确．
16. 0,2 或 −1,0 或 −12,1
【解析】因为点 A，B 的坐标分别是 0,2，4,0，
所以直线 AB 的解析式为 y=−12x+2，
因为点 P 是直线 y=2x+2 上的一动点，
所以两直线互相垂直，即 PA⊥AB，且 C−1,0，
当圆 P 与边 AB 相切时，PA=PO，
所以 PA=PC，即 P 为 AC 的中点，
所以 P−12,1；
当圆 P 与边 AO 相切时，PO⊥AO，即 P 点在 x 轴上，
所以 P 点与 C 重合，坐标为 −1,0；
当圆 P 与边 BO 相切时，PO⊥BO，即 P 点在 y 轴上，
所以 P 点与 A 重合，坐标为 0,2；
故符合条件的 P 点坐标为 0,2 或 −1,0 或 −12,1．
第三部分
17. （1） 方程整理，得
x2+3x+2=0,
因式分解，得
x+2x+1=0,
于是，得
x+2=0或x+1=0,
解得
x1=−2,x2=−1.
（2） 原式=2×22+3×12−4×1=1+1.5−4=−1.5.
18. （1） x甲=11013+11+10+12+11+13+13+12+13+12=12（分），
x乙=11012+13+13+13+11+13+6+13+13+13=12（分）．
故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为 12 分．
（2） s甲2=110×4×13−122+3×12−122+2×11−122+10−122=1，
s乙2=110×7×13−122+12−122+11−122+6−122=4.4，
∵s甲2 ∴ 甲班的成绩比较整齐．
19. （1） ∵ 甲、乙、丙三位学生进入决赛，
∴P甲第一个出场=13．
（2） 画出树状图得：
∵ 共有 6 种等可能的结果，甲比乙先出场的有 3 种情况，
∴P甲比乙出场=36=12．
20. △ABC 和 △DEF 相似．理由如下：
由勾股定理，得 AB=2，AC=25，BC=22，DE=2，DF=10，EF=2，
∵ABDE=22，ACDF=2510=22，BCEF=222=22，
∴ABDE=ACDF=ACDF=22，
∴△ABC∽△DEF．
21. （1） 原方程可变形为 x2−5x+4−k2=0．
∵Δ=−52−4×1×4−k2=4k2+9>0，
∴ 不论 k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2） 0，2，−2
【解析】原方程可化为 x2−5x+4−k2=0．
∵ 方程有整数解，
∴x=5±4k2+92 为整数，
∴k 取 0，2，−2 时，方程有整数解．
22. 设 AE=x m，
在 Rt△AFE 中，
∵tan∠AFE=AEEF，tan∠AFG=AGFG，
∴EF=x3，
在 Rt△AGE 中，
∵∠AGE=45∘，
∴AE=EG=x，
∵DE=10，
∴x−x3=10，
解得：x=15+53，
∴AB=15+53+1=16+53m．
答：电视塔的高度 AB 约为 16+53 米．
23. （1） 因为 △ABC 是等腰直角三角形，∠C=90∘，
所以 ∠B=∠A=45∘，
因为四边形 DEFG 是正方形，
所以 ∠AED=∠DEF=90∘，DG∥AB，
所以 ∠CDG=∠A，
因为 ∠C=90∘，
所以 ∠AED=∠C，
所以 △AED∽△DCG．
（2） 设 AE 的长为 x，
因为等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，
所以 ∠A=∠B=45∘，AB=42，
因为矩形 DEFG 的面积为 4，
所以 DE⋅FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90∘，
所以 △ADE，△BFG 都是等腰直角三角形，
所以 BF=FG=DE=AE=x，
所以 EF=42−2x，
即 x42−2x=4，
解得 x1=x2=2．
所以 AE 的长为 2．
24. （1） 相切，连接 OC，
∵C 为 BE 的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴ 直线 CD 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 CE，
∵AD=2，AC=6，∠ADC=90∘，
∴CD=AC2−AD2=2，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴CD2=AD⋅DE，
∴DE=1，
∴CE=CD2+DE2=3，
∵C 为 BE 的中点，
∴BC=CE=3，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=3．
∴⊙O 的半径为 1.5．
25. （1） 如图所示：
−1,0
（2） 连接 MD，MG，ME，
∵ 点 G 为弦 EF 的中点，EM=FM=5，
∴MG⊥EF，
∵EF=4，
∴EG=FG=2，
∴MG=ME2−EG2=1，
∴ 点 G 在以 M 为圆心，1 为半径的圆上，
∴ 当点 G 在线段 DM 延长线上时，DG 最大，此时 DG=DM+GM，
∵DM=32+42=5，
∴DG 的最大值为 5+1=6．
（3） 点 P 横坐标的取值范围为 −55【解析】设 P 点的横坐标为 x，
当 P 点位于线段 MB 的延长线上且 P，Q 两点间距离等于 1 时，MPMB=xP−1xB−1，
∴5+15=xP−12−1 或 5−15=xP−12−1，解得 xP=2+55或2−55，
∵ 此时 P 点在第三象限，
∴x<0，
∴x=−2−55或−2+55，
即当 P，Q 两点间距离小于 1 时点 P 横坐标的取值范围为 −2−55当 P 点位于线段 BM 的延长线上且 P，Q 两点间距离等于 1 时，
则 PQ:AM=x:xM，15=x1，解得 x=55，
∵ 此时 P 点在第一或二象限，
∴x=±55，
即当 P，Q 两点间距离小于 1 时，点 P 横坐标的取值范围为 −55综上所述，点 P 横坐标的取值范围为 −55