2018_2019学年北京市房山区八上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市房山区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果分式 x−2x+1 的值为 0，那么 x 的值是
A. 1B. −1C. 2D. −2

2. 4 的平方根是
A. 2B. ±2C. ±2D. −2

3. 在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列事件中，属于不可能事件的是
A. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是红球
B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是 3
C. 随时打开电视机，正在播新闻
D. 通常情况下，自来水在 10∘C 就结冰

5. 化简 ∣3−1∣ 的结果是
A. 1B. 3C. 3−1D. 1−3

6. 如果分式 a2a+b 中的 a，b 都同时扩大 2 倍，那么该分式的值
A. 不变B. 缩小 2 倍C. 扩大 2 倍D. 扩大 4 倍

7. 已知 m=10−2，估计 m 的值所在的范围是
A. 0
8. 如表，以 a，b，c 为边构成的 5 个三角形中，a，b，c 三边存在“两边的平方和等于第三边平方的 2 倍”关系的三角形是
编号abc①111②345③254④153⑤231
A. ①②③B. ①④⑤C. ②③④D. ③④⑤

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 如果二次根式 x−2 在实数范围内有意义，那么 x 的取值范围是 .

10. 计算：
（1）−a2b2= ；
（2）3−8= ；
（3）−52= ．

11. 在每个小正方形边长均为 1 的 1×2 的网格格点（格点即每个小正方形的顶点）上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其余格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的可能性为 ．

12. 用一条长为 16 cm 的细绳围成一个等腰三角形，已知其中有一边的长为 4 cm，那么该等腰三角形的腰长为 cm．

13. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有 对．

14. 观察下列等式：
第 1 个等式：a1=11×3=12×1−13；
第 2 个等式：a2=13×5=12×13−15；
第 3 个等式：a3=15×7=12×15−17；
⋯
请按以上规律解答下列问题：
（1）列出第 5 个等式：a5= ；
（2）求 a1+a2+a3+⋯+an=4999，那么 n 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 计算下列各题：
（1）a+1+1a−1⋅a−1a；
（2）12×236−18．

16. 解方程：1x−3−2=x−13−x．

17. 已知：如图，C 为线段 BE 上一点，AB∥DC，AB=EC，BC=CD．求证：∠A=∠E．

18. 如图，在 10×10 正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位，将 △ABC 向下平移 3 个单位，得到 △A1B1C1，再把 △A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90∘，得到 △A2B2C1，请你画出 △A1B1C1 和 △A2B2C1．（不要求写画法）．

19. 已知 x=2−2，求 1x−2+1x+2÷2xx2−4x+4 的值．

20. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，AD⊥BC 于点 D，过点 C 作 CF∥AB，过点 A 作 AE⊥CF 于点 E．
（1）请在图中补全图形；
（2）求证：AE=AD．

21. 列方程解应用题：
一列火车从车站开出，预计行程 450 千米，当他开出 3 小时后，因抢救一位病危旅客而多停了一站，耽误了 30 分钟，为了不影响其他旅客的行程，后来把车速提高了 0.2 倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度?

22. 如图，点 P 是 ∠AOB 外的一点，点 Q 是点 P 关于 OA 的对称点，点 R 是点 P 关于 OB 的对称点，直线 QR 分别交 ∠AOB 两边 OA，OB 于点 M，N，连接 PM，PN，PQ，PR，如果 ∠PMO=33∘，∠PNO=70∘，求 ∠QPN 的度数．

23. 在 △ABC 中，AB=13，BC=14．
（1）如图 1，AD⊥BC 于点 D，且 BD=5，则 △ABC 的面积为 ；
（2）在（1）的条件下，如图 2，点 H 是线段 AC 上任意一点，分别过点 A，C 作直线 BH 的垂线，垂足为 E，F，设 BH=x，AE=m，CF=n，请用含 x 的代数式表示 m+n，并求 m+n 的最大值和最小值．

24. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，AB=2，现将一块三角板的直角顶点放在 AB 的中点 D 处，两直角边分别与直线 AC，直线 BC 相交于点 E，F，我们把 DE⊥AC 时的位置定为起始位置（如图 1），将三角板绕点 D 顺时针方向旋转一个角度 α0∘<α<90∘．
（1）如图 2，在旋转过程中，当点 E 在线段 AC 上时，试判别 △DEF 的形状，并说明理由；
（2）设直线 ED 交直线 BC 于点 G，在旋转过程中，是否存在点 G，使得 △EFG 为等腰三角形?若存在，求出 CG 的长，若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】根据题意，得，
分子 x−2=0，且分母 x+1≠0．
解得，x=2．
2. B
3. A【解析】A．是轴对称图形，故此选项正确；
B．不是轴对称图形，故此选项错误；
C．不是轴对称图形，故此选项错误；
D．不是轴对称图形，故此选项错误．
4. D【解析】A、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是红球是必然事件，故A不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是 3 是随机事件，故B不符合题意；
C、随时打开电视机，正在播新闻是随机事件，故C不符合题意；
D、通常情况下，自来水在 10∘C 就结冰是不可能事件，故D符合题意．
5. C
【解析】∣3−1∣=3−1．
6. C【解析】∵ 分式 a2a+b 中的 a，b 都同时扩大 2 倍，
∴2a22a+2b=2a2a+b，
∴ 该分式的值扩大 2 倍．
7. B【解析】由 9<10<16，得 3<10<4，3−2<10−2<4−2，即 18. B【解析】∵12+12=2=2×12，
∴ 编号 ① 符合题意；
∵32=9，42=16，52=25，
∴9+16≠2×25，9+25≠2×16，16+25≠2×9，
∴ 编号 ② 不符合题意；
∵22=4，52=5，42=16，
∴4+5≠2×16，4+16≠2×5，16+5≠2×4，
∴ 编号 ③ 不符合题意；
∵12+32=10=2×52，
∴ 编号 ④ 符合题意；
∵32+12=4=2×22，
∴ 编号 ⑤ 符合题意．
第二部分
9. x≥2
10. a24b2，−2，5
【解析】（1）原式=a24b2；
（2）原式=−2；
（3）原式=∣−5∣=5．
11. 34
【解析】∵ 第三枚棋子共有 4 个格点可以放，放在其中三个格点可以以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形，
∴ 这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是 34．
12. 6
【解析】4 cm 是腰长时，底边为 16−4×2=8cm，
∵4+4=8cm，
∴4 cm，4 cm，8 cm 不能组成三角形；
4 cm 是底边时，腰长为 12×16−4=6cm，
4 cm，6 cm，6 cm 能够组成三角形；
综上所述，等腰三角形的腰长为 6 cm．
13. 3
【解析】△BDC 与 △BEC，△BDC 与 △BAC，△BEC 与 △BAC 共三对．
14. 19×11=12×19−111，49
【解析】（1）观察等式，可得以下规律：an=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
∴a5=19×11=12×19−111．
（2）
a1+a2+a3+⋯+an=12×1−13+12×13−15+12×15−17+⋯+1212n−1−12n+1=121−12n+1=4999,
解得：n=49．
第三部分
15. （1） 原式=a+1a−1+1a−1⋅a−1a=a2a−1⋅a−1a=a.
（2） 原式=2312×6−12×18=233−3.
16. 原式变形得
1−2x+6=1−x.
解得：
x=6.
经检验：x=6 是原方程的解，
则原方程的解是
x=6.
17. ∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECD，
在 △ABC 和 △ECD 中，
AB=EC,∠B=∠ECD,BC=CD,
∴△ABC≌△ECD，
∴∠A=∠E．
18. 如图所示，
△A1B1C1 和 △A2B2C1 即为所求．
19. 原式=x+2+x−2x+2x−2⋅x−222x=2xx+2x−2⋅x−222x=x−2x+2,
当 x=2−2 时，
原式=2−2−22−2+2=2−42=1−22.
20. （1） 如图所示：
（2） ∵CF∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=∠CAB=60∘，
∴∠ECA=∠ACB，
∵AE⊥CF，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90∘，
在 △AEC 和 △ADC 中，
∠AEC=∠ADC=90∘,∠ACE=∠ACD,AC=AC,
∴AE=AD．
21. 设这列火车原来的速度为每小时 x 千米．
由题意得：
450−3xx−450−3xx+0.2x=12.
整理得：
12x=900.
解得：
x=75.
经检验：x=75 是原方程的解，并且满足题意．
答：这列火车原来的速度为每小时 75 千米．
22. ∵ 点 Q 和点 P 关于 OA 的对称，
点 R 和点 P 关于 OB 的对称，
∴ 直线 OA，OB 分别是 PQ，PR 的中垂线，
∴MP=MQ，NP=NR，
∴∠PMO=∠QMO，∠PNO=∠RNO，
∵∠PMO=33∘，∠PNO=70∘，
∴∠PMO=∠QMO=33∘，∠PNO=∠RNO=70∘，
∴∠PMQ=66∘，∠PNR=140∘，
∴∠MQP=57∘，
∴∠PQN=123∘，∠PNQ=40∘，
∴∠QPN=17∘．
23. （1） 84
【解析】在 Rt△ABD 中，AB=13，BD=5，
∴AD=AB2−BD2=132−52=12．
∵BC=14，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×14×12=84．
（2） ∵S△ABC=S△ABH+S△BHC，
∴12BH⋅AE+12BH⋅CF=84，
∴xm+xn=168．
∴m+n=168x，
∵AD=12，DC=14−5=9，
∴AC=AD2+CD2=15．
∵m+n 与 x 成反比，
∴ 当 BH⊥AC 时，此时 x 为最小值，m+n 有最大值．
∴m+nBH=AC⋅BH．
∴m+n=AC=15．
∵m+n 与 x 成反比例函数关系，
∴ 当 BH 值最大时，m+n 有最小值．
∴ 当点 H 与点 C 重合时 m+n 有最小值．
∴m+n=16814，
∴m+n=12．
∴m+n 的最大值为 15，最小值为 12．
24. （1） △DEF 等腰直角三角形．
证明：如图 2，
∵AC=BC，∠C=90∘，D 为 AB 中点，连接 CD，
∴CD 平分 ∠C，CD⊥AB，
∵∠DCB=∠B=45∘，
∴CD=DB=1，
∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90∘，
∴∠EDC=∠FDB，
在 △DCE 和 △DBF 中，
∠EDC=∠FDB,CD=BD,∠DCE=∠B,
∴△DCE≌△DBFASA，
∴DE=DF，
∴△DEF 是等腰直角三角形．
（2） 如图 3a，
当 G 在线段 CB 延长线上时，
∵∠FGE<45∘，∠FEG=45∘，∠EFG>90∘，
∴△EFG 不可能是等腰三角形；
如图 3b，
当 G 与 C 重合时，E 与 A 重合，F 与 C 重合，
此时 FE=FG，CG=2，
如图 3c，
当 G 在线段 BC 上时，
∵∠EGF>45∘，∠EFG>45∘，∠FEG=45∘，
∴ 只能 EF=EG，
∵EC⊥FG，
∴FC=CG，
∵∠EDF=90∘，
∴∠FDG=90∘，
∴DC=12FG=CG，
∴CG=1；
综上，CG 的值为 2 或 1．