2018_2019学年北京市西城区八下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市西城区八下期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 使二次根式 x−3 有意义的 x 的取值范围是
A. x<3B. x≥3C. x≥0D. x≠3

2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 两组对角分别相等D. 一组对边平行且另一组对边相等

4. 若点 A1,m，B4,n 都在反比例函数 y=−8x 的图象上，则 m 与 n 的大小关系是
A. mnC. m=nD. 无法确定

5. 如图，菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AC，DC 的中点．若 EF=3，则菱形 ABCD 的周长为
A. 12B. 16C. 20D. 24

6. 近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计 2015 年手机支付用户约为 3.58 亿人，连续两年增长后，2017 年手机支付用户达到约 5.27 亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为 x，则根据题意可以列出方程为
A. 3.581+x=5.27B. 3.581+2x=5.27
C. 3.581+x2=5.27D. 3.581−x2=5.27

7. 甲、乙两位射击运动员的 10 次射击练习成绩的折线统计图如图所示，则下列关于甲、乙这 10 次射击成绩的说法中正确的是
A. 甲的成绩相对稳定，其方差小B. 乙的成绩相对稳定，其方差小
C. 甲的成绩相对稳定，其方差大D. 乙的成绩相对稳定，其方差大

8. 已知 △ABC 的三边长分别是 a，b，c，且关于 x 的一元二次方程 x2−2ax+c2−b2=0 有两个相等的实数根，则可推断 △ABC 一定是
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形

9. 如图，在 △OAB 中，∠AOB=55∘，将 △OAB 在平面内绕点 O 顺时针旋转到 △OAʹBʹ 的位置，使得 BBʹ∥AO，则旋转角的度数为
A. 125∘B. 70∘C. 55∘D. 15∘

10. 已知某四边形的两条对角线相交于点 O．动点 P 从点 A 出发，沿四边形的边按 A→B→C 的路径匀速运动到点 C．设点 P 运动的时间为 x，线段 OP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 计算：35−2×10= ．

12. 若平行四边形中两个内角的度数比为 1:2，则其中一个较小的内角的度数是 ∘．

13. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高 3 m 处折断，若木杆折断前的高度为 8 m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为 m．

14. 将一元二次方程 x2+8x+13=0 通过配方转化成 x+n2=p 的形式（n，p 为常数），则 n= ，p= ．

15. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 ∠AOD=120∘，AB=2，则 BC 的长为 ．

16. 已知一个反比例函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象有交点，请写出一个满足上述条件的反比例函数的表达式： ．

17. 某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了调查，这两款汽车的各项得分如表所示：
汽车型号安全性能省油效能外观吸引力内部配备A3123B3222
（得分说明：3 分——极佳，2 分——良好，1 分——尚可接受）
（1）技术员认为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为 30%，30%，20%，20%，并由此计算得到A型汽车的综合得分为 2.2，B型汽车的综合得分为 ；
（2）请你写出一种各项的占比方式，使得A型汽车的综合得分高于B型汽车的综合得分．（说明：每一项的占比大于 0，各项占比的和为 100%）
答：安全性能： ，省油效能： ，外观吸引力： ，内部配备： ．

18. 已知三角形纸片 ABC 的面积为 48，BC 的长为 8．按下列步骤将三角形纸片 ABC 进行裁剪和拼图：
第一步：如图 1，沿三角形 ABC 的中位线 DE 将纸片剪成两部分．在线段 DE 上任意取一点 F，在线段 BC 上任意取一点 H，沿 FH 将四边形纸片 DBCE 剪成两部分；
第二步：如图 2，将 FH 左侧纸片绕点 D 旋转 180∘，使线段 DB 与 DA 重合；将 FH 右侧纸片绕点 E 旋转 180∘，使线段 EC 与 EA 重合，再与三角形纸片 ADE 拼成一个与三角形纸片 ABC 面积相等的四边形纸片．
（1）当点 F，H 在如图 2 所示的位置时，请按照第二步的要求，在图 2 中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程：
（1）x2−4x−5=0；
（2）2x2−2x−1=0．

20. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，将 BD 向两个方向延长，分别至点 E 和点 F，且使 BE=DF．
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）若 AC=4，BE=1，直接写出菱形 AECF 的边长．

21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−k+1x+2k−2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于 0 且小于 1，求 k 的取值范围．

22. 小梅在浏览某电影评价网站时，搜索了最近关注到的甲、乙、丙三部电影，网站通过对观众的抽样调查，得到这三部电影的评分数据统计图分别如下：
根据以上材料回答下列问题：
（1）小梅根据所学的统计知识，对以上统计图中的数据进行了分析，并通过计算得到这三部电影抽样调查的样本容量，观众评分的平均数、众数、中位数，请你将下表补充完整：
甲、乙、丙三部电影评分情况统计表
电影样本容量平均数众数中位数甲1003.455乙3.665丙10033.5
（2）根据统计图和统计表中的数据，可以推断其中 电影相对比较受欢迎，理由是 ．（至少从两个不同的角度说明你推断的合理性）

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，Rt△ABC 的直角边 AB 在 x 轴上，∠ABC=90∘．点 A 的坐标为 1,0，点 C 的坐标为 3,4，M 是 BC 边的中点，函数 y=kxx>0 的图象经过点 M．
（1）求 k 的值；
（2）将 △ABC 绕某个点旋转 180∘ 后得到 △DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点 D，E，F），且 EF 在 y 轴上，点 D 在函数 y=kxx>0 的图象上，求直线 DF 的表达式．

24. 在矩形 ABCD 中，BE 平分 ∠ABC 交 CD 边于点 E．点 F 在 BC 边上，且 FE⊥AE．
（1）如图 1，
① ∠BEC= ∘；
②在图 1 已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
结论：△ ≌△ ；
证明：
（2）如图 2，FH∥CD 交 AD 于点 H，交 BE 于点 M．NH∥BE，NB∥HE，连接 NE．若 AB=4，AH=2，求 NE 的长．

25. 当 k 值相同时，我们把正比例函数 y=1kx 与反比例函数 y=kx 叫做“关联函数”，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以 y=12x 与 y=2x 为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整．
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为 A，B，则点 A 的坐标为 −2,−1，点 B 的坐标为 ；
（2）点 P 是函数 y=2x 在第一象限内的图象上一个动点（点 P 不与点 B 重合），设点 P 的坐标为 t,2t，其中 t>0 且 t≠2．
①结论 1：作直线 PA，PB 分别与 x 轴交于点 C，D，则在点 P 运动的过程中，总有 PC=PD．
证明：设直线 PA 的解析式为 y=ax+b，将点 A 和点 P 的坐标代入，得 −1=−2a+b, . 解得 a=1t,b=2−tt. 则直线 PA 的解析式为 y=1tx+2−tt．
令 y=0，可得 x=t−2，则点 C 的坐标为 t−2,0．
同理可求，直线 PB 的解析式为 y=−1tx+t+2t，点 D 的坐标为 ．
请你继续完成证明 PC=PD 的后续过程：
②结论 2：设 △ABP 的面积为 S，则 S 是 t 的函数．请你直接写出 S 与 t 的函数表达式．

四、填空题（共2小题；共13分）
26. 观察下面的表格，探究其中的规律并填空：
一元二次方程方程的两个根二次三项式分解因式x2−x−2=0x1=−1,x2=2x2−x−2=x+1x−2x2+3x−4=0x1=1,x2=−4x2+3x−4=x−1x+43x2+x−2=0x1=23,x2=−13x2+x−2=3x−23x+14x2+9x+2=0x1=−14,x2=−24x2+9x+2=4x x 2x2−7x+3=0x1= ,x2= 2x2−7x+3= ax2+bx+c=0x1=m,x2=nax2+bx+c=

27. 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形 —— 同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．
（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：
① 如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，四边形 ADEC，四边形 BCFG，四边形 ABPQ 都是正方形．延长 QA 交 DE 于点 M，过点 C 作 CN∥AM 交 DE 的延长线于点 N，可得四边形 AMNC 的形状是 ；
② 在图 1 中利用“等积变形”可得 S正方形ADEC= ；
③ 如图 2，将图 1 中的四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移 MA 的长度，得到四边形；
④ 设 CCʹ 交 AB 于点 T，延长 CCʹ 交 QP 于点 H，在图 2 中再次利用“等积变形”可得 S四边形QACCʹ= ，则有 S正方形ADEC= ；
⑤ 同理可证 S正方形BCFG=S四边形HTBP，因此得到 S正方形ADEC+S正方形BCFG=S正方形ABPQ，进而证明了勾股定理．
（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第 ③ 步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：
图 1 中 △ ≌△ ，则有 =AB=AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形 AMNC 沿直线 MQ 向下平移 MA 的长度，得到四边形．

五、解答题（共1小题；共13分）
28. 在 △ABC 中，M 是 BC 边的中点．
（1）如图 1，BD，CE 分别是 △ABC 的两条高，连接 MD，ME，则 MD 与 ME 的数量关系是 ；若 ∠A=70∘，则 ∠DME= ∘；
（2）如图 2，点 D，E 在 ∠BAC 的外部，△ABD 和 △ACE 分别是以 AB，AC 为斜边的直角三角形，且 ∠BAD=∠CAE=30∘，连接 MD，ME．
①判断（1）中 MD 与 ME 的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；
②求 ∠DME 的度数；
（3）如图 3，点 D，E 在 ∠BAC 的内部，△ABD 和 △ACE 分别是以 AB，AC 为斜边的直角三角形，且 ∠BAD=∠CAE=α，连接 MD，ME．直接写出 ∠DME 的度数（用含 α 的式子表示）．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. A
5. D
6. C
7. B
8. C
9. B
10. A
第二部分
11. 5
12. 60
13. 4
14. 4，3
15. 23
16. 答案不唯一．如：y=1x
17. 2.3，答案不唯一．如：30%，10%，10%，50%
18. 如图所示：
，28
第三部分
19. （1） 配方，得
x2−4x+4=5+4,
即
x−22=9,
由此可得
x−2=±3,
原方程的根为
x1=5,x2=−1.
（2）
a=2,b=−2,c=−1,Δ=b2−4ac=−22−4×2×−1=12>0.
方程有两个不相等的实数根，
x=−b±b2−4ac2a=2±124=1±32,
原方程的根为
x1=1+32,x2=1−32.
20. （1） 如图，
∵ 正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，即 OE=OF．
∴ 四边形 AECF 是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴ 四边形 AECF 是菱形．
（2） 13．
21. （1） Δ=b2−4ac=−k+12−4×2k−2=k2−6k+9=k−32.
∵ k−32≥0，即 Δ≥0，
∴ 此方程总有两个实数根．
（2） x=k+1±k−322，解得 x1=k−1，x2=2．
∵ 此方程有一个根大于 0 且小于 1，而 x2>1，
∴ 0 ∴ 122. （1） 补全表格如表所示：
甲、乙、丙三部电影评分情况统计表
电影样本容量平均数众数中位数甲1003.4555乙1003.6654丙1003.7833.5
（2） 答案不唯一，合理即可．如：丙；① 丙电影得分的平均数最高；② 丙电影得分没有低分
23. （1） ∵Rt△ABC 的直角边 AB 在 x 轴上，∠ABC=90∘，点 C 的坐标为 3,4，
∴ 点 B 的坐标为 3,0，CB=4．
∵M 是 BC 边的中点，
∴ 点 M 的坐标为 3,2．
∵ 函数 y=kxx>0 的图象经过点 M，
∴k=3×2=6．
（2） ∵△ABC 绕某个点旋转 180∘ 后得到 △DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90∘．
∵ 点 A 的坐标为 1,0，点 B 的坐标为 3,0，
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF 在 y 轴上，
∴ 点 D 的横坐标为 2．
∵ 点 D 在函数 y=6xx>0 的图象上，当 x=2 时，y=3．
∴ 点 D 的坐标为 2,3．
∴ 点 E 的坐标为 0,3．
∵EF=BC=4，
∴ 点 F 的坐标为 0,−1．
设直线 DF 的表达式为 y=ax+b，将点 D，F 的坐标代入，
得 3=2a+b,−1=b. 解得 a=2,b=−1.
∴ 直线 DF 的表达式为 y=2x−1．
24. （1） ① 45
② ADE；ECF
证明：如图 1．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠C=∠D=90∘，AD=BC．
∵FE⊥AE，
∴∠AEF=90∘．
∴∠1+∠2=180∘−∠AEF=90∘．
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2=∠3．
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=45∘．
∴∠BEC=45∘．
∴∠EBC=∠BEC．
∴BC=EC．
∴AD=EC．
在 △ADE 和 △ECF 中，
∠3=∠2,AD=EC,∠D=∠C,
∴△ADE≌△ECF．
（2） 连接 HB，如图 2．
∵FH∥CD，
∴∠HFC=180∘−∠C=90∘．
∴ 四边形 HFCD 是矩形．
∴DH=CF．
∵△ADE≌△ECF，
∴DE=CF．
∴DH=DE．
∴∠1=∠2=45∘．
∵∠BEC=45∘，
∴∠HEB=180∘−∠2−∠BEC=90∘．
∵NH∥BE，NB∥HE，
∴ 四边形 NBEH 是平行四边形．
∴ 四边形 NBEH 是矩形．
∴NE=BH．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAH=90∘．
∵ 在 Rt△BAH 中，AB=4，AH=2，
∴BH=AB2+AH2=42+22=25．
∴NE=25．
25. （1） 2,1
（2） ① 2t=at+b；t+2,0；
后续证明：如图，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，
则点 M 的横坐标为 t．
∴CM=t−t−2=2，DM=t+2−t=2，
∴CM=DM．
∴M 为 CD 的中点．
∴PM 垂直平分 CD．
∴PC=PD．
②当 0当 t>2 时，S=t−4t．
第四部分
26. +14，+2，12，3，2x−12x−3，ax−mx−n
27. 平行四边形，S四边形AMNC，S四边形QATH，S四边形QATH，AMD 或 CNE，ABC，AM 或 CN
第五部分
28. （1） MD=ME；40
（2） ① MD=ME 仍然成立；
证明：分别取 AB，AC 的中点 F，H，连接 FD，FM，HE，HM，如图 1．
∵ 点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，
∴FM 是 △ABC 的中位线．
∴FM∥AC，FM=12AC．
∴∠1=∠BAC．
∵H 是 AC 的中点，
∴EH 是 Rt△AEC 的中线．
∴EH=12AC=AH．
∴FM=EH．
同理可证 MH=DF．
∵DF=12AB=AF，
∴∠2=∠FAD．
∴∠3=∠2+∠FAD=2∠FAD．
∵∠BAD=30∘，
∴∠3=60∘．
∴∠DFM=∠3+∠1=60∘+∠BAC．
同理可证 ∠MHE=60∘+∠BAC．
∴∠DFM=∠MHE．
在 △DFM 和 △MHE 中，
DF=MH,∠DFM=∠MHE,FM=HE,
∴△DFM≌△MHE．
∴MD=ME．
②如图 2．
∵HM∥AB，
∴∠4=∠1．
∵△DFM≌△MHE，
∴∠5=∠6．
∴∠DME=∠7+∠4+∠6=∠7+∠1+∠5=180∘−∠3=120∘.
（3） 180∘−2α．