2018_2019学年南京市联合体九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年南京市联合体九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列哪个方程是一元二次方程
A. 2x+y=1B. x2+1=2xyC. x2+1x=3D. x2=2x−3

2. 函数 y=3x−22+4 的图象的顶点坐标是
A. 3,4B. −2,4C. 2,4D. 2,−4

3. 八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分，95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是
A. 95 分，95 分B. 95 分，90 分C. 90 分，95 分D. 95 分，85 分

4. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 平分 ∠BAD，则下列结论正确的是
A. AB=ADB. BC=CD
C. AB=ADD. ∠BCA=∠DCA

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A−3,6，B−9,−3，以原点 O 为位似中心，相似比为 13，把 △ABO 缩小，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是
A. −1,2B. −9,18
C. −9,18 或 9,−18D. −1,2 或 1,−2

6. 一组数据 1，2，3，3，4，5．若添加一个数据 3，则下列统计量中，发生变化的是
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 若 x−yy=23，则 xy= ．

8. ⊙O 的半径为 4，圆心 O 到直线的距离为 3，则直线与 ⊙O 的位置关系是 ．

9. 若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k−1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．

10. 若方程 x2+2x−11=0 的两根分别为 m，n，则 mnm+n= ．

11. 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>PB．若 AB=2，则 AP= ．

12. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 cm，圆心角为 120∘ 的扇形，则该圆锥的侧面面积为 cm2（结果保留 π）．

13. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，若 AD:AB=4:9，则 S△ADE:S△ABC= ．

14. 如图，已知矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别落在 x 轴、 y 轴，OD=2OA=6，AD:AB=3:1．则点 B 的坐标是 ．

15. 如图，以正六边形 ADHGFE 的一边 AD 为边向外作正方形 ABCD，则 ∠BED= ∘．

16. 如图，已知函数 y=ax2+bx+ca>0 的图象的对称轴经过点 2,0，且与 x 轴的一个交点坐标为 4,0．下列结论：① b2−4ac>0；②当 x<2 时，y 随 x 增大而增大；③ a−b+c<0；④抛物线过原点；⑤当 0其中结论正确的是 ．（填序号）

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 解方程：
（1）x2+2x−3=0；
（2）xx+1=2x+1．

18. 如图，已知 AD⋅AC=AB⋅AE．求证：△ADE∽△ABC．

19. 已知抛物线的顶点坐标是 1,−4，且经过点 0,−3，求与该抛物线相应的二次函数表达式．

20. 初三（1）班要从 2 男 2 女共 4 名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这 4 人中随机选 1 人，则所选的同学性别为男生的概率是 ；
（2）若从这 4 人中随机选 2 人，求这 2 名同学性别相同的概率．

21. 某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙 10 次，每次射耙的成绩情况如图所示．（参考公式：方差 s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2）
（1）请将下表补充完整：
平均数方差中位数甲7 7乙 5.4
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看， 的成绩好些；
②从平均数和中位数相结合看， 的成绩好些；
③若其他队选手最好成绩在 9 环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．

22. 如图，大圆的弦 AB，AC 分别切小圆于点 M，N．
（1）求证：AB=AC；
（2）若 AB=8，求圆环的面积．

23. 如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起 1 米高的直杆 MN，量得其影长 MF 为 0.5 米，量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长 3 米，落在墙上的影子 CD 的高为 2 米．请利用小明测量的数据算出电线杆 AB 的高．

24. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，AD=BD，AC 为直径，DE⊥BC，垂足为点 E．
（1）求证：CD 平分 ∠ACE；
（2）若 AC=9，CE=3，求 CD 的长．

25. 商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．
（1）若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利多少元?
（2）设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含 x 的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000 元?

26. 对于实数 a，b，我们可以用 mina,b 表示 a，b 两数中较小的数，例如 min3,−1=−1，min2,2=2．类似地，若函数 y1，y2 都是 x 的函数，则 y=miny1,y2 表示函数 y1 和 y2 的“取小函数”．
（1）设 y1=x，y2=1x，则函数 y=minx,1x 的图象应该是 中的实线部分．
（2）请在图 1 中用粗实线描出函数 y=minx−22,x+22 的图象，并写出该图象的三条不同性质：① ；② ；③ ；
（3）函数 y=minx−42,x+22 的图象关于 对称．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10，∠B=30∘，点 O 是线段 AB 上的一个动点，以点 O 为圆心，OB 为半径作 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为点 E．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）设 OB=x，求 ∠ODE 的内部与 △ABC 重合部分的面积 y 的最大值．
答案
第一部分
1. D【解析】A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确．
2. C【解析】∵y=3x−22+4，
∴ 函数图象顶点坐标为 2,4．
3. A【解析】位于中间位置的两数分别是 95 分和 95 分，
故中位数为 95 分，
数据 95 出现了 3 次，最多，
故这组数据的众数是 95 分．
4. B
5. D
【解析】因为 A−3,6，B−9,−3，以原点 O 为位似中心，相似比为 13，把 △ABO 缩小，所以点 A 的对应点 Aʹ 的坐标为 −3×13,6×13 或 −3×−13,6×−13，即 Aʹ 点的坐标为 −1,2 或 1,−2．
6. D【解析】A、原来数据的平均数是 3，添加数字 3 后平均数仍为 3，故A与要求不符；
B、原来数据的众数是 3，添加数字 3 后众数仍为 3，故B与要求不符；
C、原来数据的中位数是 3，添加数字 3 后中位数仍为 3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差 =1−32+2−32+2×3−32+4−32+5−326=53，
添加数字 3 后的方差 =1−32+2−32+3×3−32+4−32+5−327=107．
故方差发生了变化．
第二部分
7. 53
8. 相交
【解析】∵⊙O 的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，
又 ∵3<4，
∴ 直线 l 与 ⊙O 的位置关系是：相交．
9. k≤5
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k−1=0 有实数根，
∴Δ=42−4k−1≥0，
解得：k≤5．
10. 22
【解析】∵ 方程 x2+2x−11=0 的两根分别为 m，n，
∴m+n=−2，mn=−11，
∴mnm+n=−2×−11=22．
11. 5−1
12. 3π
【解析】该圆锥的侧面面积 =120⋅π⋅32360=3πcm2．
13. 16:81
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=1681．
14. 5,1
【解析】过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB，∠DAB=90∘，
∴∠DAO+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90∘，
∴∠DAO=∠ABE，
∵∠AOD=∠AEB=90∘，
∴△ADO∽△BAE，
∴AEOD=BEOA=ABAD=13，
∵OD=2OA=6，AD:AB=3:1，
∴OA=3，BE= 1
∴AE=13OD=2，
∴OE=5，
∴B5,1．
15. 45
【解析】∵ 六边形 ADHGFE 为正六边形，
∴AE=AD，∠DAE=120∘，
∴∠AED=12180∘−120∘=30∘．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD=AE，∠BAD=90∘，
∴∠BAE=360∘−120∘−90∘=150∘，
∴∠AEB=12180∘−150∘=15∘，
∴∠BED=∠AEB+∠AED=15∘+30∘=45∘．
16. ①④⑤
【解析】由函数图象可知，
抛物线与 x 轴两个交点，则 b2−4ac>0，故①正确，
当 x<2 时，y 随 x 的增大而减小，故②错误，
当 x=−1 时，y=a−b+c>0，故③错误，
由函数 y=ax2+bx+ca>0 的图象的对称轴经过点 2,0，且与 x 轴的一个交点坐标为 4,0，则另一个交点为 0,0，故④正确，
当 0第三部分
17. （1）
x+3x−1=0.x1=−3,x2=1.
【解析】解二：
a=1,b=2,c=−3,x=−b±b2−4ac2a.x=−2±162.x1=−3,x2=1.
（2）
xx+1−2x+1=0.x+1x−2=0.x1=−1,x2=2.
18. ∵AD⋅AC=AE⋅AB，
∴ADAB=AEAC．
在 △ABC 与 △ADE 中，
∵ADAB=AEAC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE．
19. 设抛物线的解析式为 y=ax−12−4，
把 0,−3 代入得 −3=a0−12−4，解得 a=1，
∴ 二次函数表达式为 y=x−12−4，即 y=x2−2x−3．
20. （1） 12
【解析】从这 4 人中随机选 1 人，则所选的同学性别为男生的概率 =24=12．
（2） 从 4 人中随机选 2 人，所有可能出现的结果有：男1,男2，男1,女1，男1,女2，男2,男1，男2,女1，男2,女2，女1,男1，女1,男2，女1,女2，女2,男1，女2,男2，女2,女1，共有 12 种，
它们出现的可能性相同，满足“这 2 名同学性别相同”（记为事件 A）的结果有 4 种，
∴PA=412=13．
21. （1） 1.2；7；7.5
【解析】甲的方差 1109−72+5−72+4×7−72+2×8−72+2×6−72=1.2，
乙的平均数：2+4+6+8+7+7+8+9+9+10÷10=7 环，
乙的中位数：7+8÷2=7.5 环．
填表如下：
平均数方差中位数甲71.27乙75.47.5
（2） ①甲
②乙
③选乙参加．
理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，应选乙．
22. （1） 连接 OM，ON，OA，
因为 AB，AC 分别切小圆于点 M，N，
所以 AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，
所以 AM=BM，AN=NC，
所以 AB=AC．
（2） 因为弦 AB 切与小圆 ⊙O 相切于点 M，
所以 OM⊥AB，
所以 AM=BM=4，
所以在 Rt△AOM 中，OA2−OM2=AM2=16，
所以 S圆环=πOA2−πOM2=πAM2=16π．
23. 过 C 点作 CG⊥AB 于点 G，
∴GC=BD=3 米，GB=CD=2 米．
∵∠NMF=∠AGC=90∘，NF∥AC，
∴∠NFM=∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴NMAG=MFGC，
∴AG=NM⋅GCMF=1×30.5=6（米），
∴AB=AG+GB=6+2=8（米），
故电线杆子的高为 8 米．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
∵∠BCD+∠DCE=180∘，
∴∠DCE=∠BAD，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD 平分 ∠ACE．
（2） ∵AC 为直径，
∴∠ADC=90∘，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90∘，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴CECD=CDCA，即 3CD=CD9，
∴CD=33．
25. （1） 当天盈利：50−3×30+2×3=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利 1692 元．
（2） 2x；50−x
【解析】∵ 每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，
∴ 设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 50−x 元．
（3） 根据题意，得：
50−x×30+2x=2000,
整理，得：
x2−35x+250=0,
解得：
x1=10,x2=25,∵
商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 元．
26. （1） B
【解析】当 x≤−1 时，x≤1x；当 −11x；当 01x；
∴ 函数 y=minx,1x 的图象应该是：
（2） 函数 y=minx−22,x+22 的图象如图中粗实线所示：
对称轴为 y 轴；x<−2 时，y 随 x 的增大而减小；最小值为 0．
【解析】性质为：对称轴为 y 轴；x<−2 时，y 随 x 的增大而减小；最小值为 0．
（3） 直线 x=1
【解析】令 x−42=x+22，则 x=1，
故函数 y=minx−42,x+22 的图象的对称轴为：直线 x=1．
27. （1） 如图 1，连接 OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE 是 ⊙O 的切线；
（2） ①当点 E 在 CA 的延长线上时，如图 2，
设 DE 与 AB 交于点 F，围成的图形为 △ODF．
∵OD=OB=x，∠B=30∘，
∴∠FOD=60∘，
∵∠ODE=90∘，
∴DF=3x，
∴S△ODF=12x⋅3x=32x2，
当点 E 与点 A 重合时，如图 3，
则 OB=x，
Rt△AOD 中，∠AOD=60∘，
∴∠DAO=30∘，
∴OA=2x，
则 x+2x=10，x=103，
∴S△ODF=y=12x⋅3x=32x2（0当 x=103 时，y 最大，最大值为 5093；
②当点 E 在线段 AC 上时，如图 4，围成的图形为梯形 AODE．
∵AB=AC=10，∠B=30∘，
∴BC=103，
过点 O 作 OH⊥BC，垂足为点 H，
∵OD=OB=x，∠B=30∘，
∴BD=2BH=3x，
∴CD=103−3x，
∵∠C=30∘，∠DEC=90∘，
∴DE=12103−3x，CE=32103−3x=15−32x，
∴AE=32x−5，
∴S梯形AODE=1232x−5+x⋅12103−3x=−538x−62+103（103当 x=6 时，S梯形AODE 最大，最大值为 103；
综上所述，当 x=6 时，重合部分的面积 y 的最大值为 103．