2018_2019学年哈尔滨市南岗区八上期末数学试卷（五四制）

这是一份2018_2019学年哈尔滨市南岗区八上期末数学试卷（五四制），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 1x，a2b2，−3xy+y2，m−n4，b−c5+a，分式的个数为 个．
A. 2B. 3C. 4D. 5

2. 下列图形中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列运算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. 2a2=2a2
C. a23=a6D. a+12=a2+1

4. 若把分式 yx+y 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值
A. 扩大 2 倍B. 缩小 4 倍C. 缩小 2 倍D. 不变

5. 下列二次根式中最简二次根式是
A. 12aB. 113C. 2D. 3m2n3

6. 已知等腰三角形的一个底角为 50∘，则其顶角为
A. 50∘B. 80∘C. 100∘D. 150∘

7. 若 x2+kx+9 是完全平方式，则 k 的值是
A. 6B. −6C. 9D. 6 或 −6

8. 等式 x+1⋅x−1=x2−1 成立的条件是
A. x≥1B. x≥−1
C. −1≤x≤1D. x≥1 或 x≤−1

9. 八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍．设骑车学生的速度为 x 千米/小时，则所列方程正确的是
A. 10x−102x=20B. 102x−10x=20C. 10x−102x=13D. 102x−10x=13

10. 如图，在锐角三角形 ABC 中，∠BAC=60∘，BF，CE 为高，点 D 为 BC 的中点，连接 EF，ED，FD，有下列四个结论：① ED=FD；② ∠ABC=60∘ 时，EF∥BC；③ BF=2AF；④ AF:AB=AE:AC．其中正确的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. PM2.5 是大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为 ．

12. 当 x 时，分式 x−23x+5 有意义．

13. 计算：18−32= ．

14. 把多项式 4m2−16n2 分解因式的结果是 ．

15. 当 x 时，分式 2x−1x2 的值为正．

16. 如果 a+b=3，ab=2，那么代数式 a2+b2 的值为 ．

17. 如图，AD⊥BC，BD=CD，点 C 在 AE 的垂直平分线上，已知 BD=2，AB=4，则 DE= ．

18. 自由落体的公式为 S=12gt2（g 为重力加速度，g=9.8 m/s2）．若物体下落的高度 Sm 为 78.4 m，则下落的时间 ts 是 s．

19. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30∘，则这个等腰三角形顶角为 ．

20. 如图，在等腰直角 △ABC 中，∠BAC=90∘，AC=AB，以 AB 为斜边在 △ABC 内部作 Rt△ABD，连接 CD，若 ∠ADC=135∘，S△ABD=9，则线段 AD 的长度为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 计算：
（1）2x+3yx−y；
（2）a2b−3−2⋅a−2b32．

22. 先化简，再求值：3x−6x2+4x+4÷x−2x+2−1x+2，其中 x=2−2×−10．

23. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，已知 △ABC 三个顶点坐标分别为 A−4,1，B−3,3，C−1,2．
（1）画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1，点 A，B，C 的对称点分别是点 A1，B1，C1，直接写出点 A1，B1，C1 的坐标：A1（ ， ），B1（ ， ），C1（ ， ）；
（2）画出点 C 关于 y 轴的对称点 C2，连接 C1C2，CC2，C1C，并直接写出 △CC1C2 的面积是 ．

24. 如图 1，已知 ∠ABC=90∘，△ABC 是等腰三角形，点 D 为斜边 AC 的中点，连接 DB，过点 A 作 ∠BAC 的平分线，分别与 DB，BC 相交于点 E，F．
（1）求证：BE=BF；
（2）如图 2，连接 CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．

25. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买 1 个甲礼品比购买 1 个乙礼品多花 40 元；并且花费 600 元购买甲礼品和花费 360 元购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元?
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共 30 个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过 2000 元，那么最多可购买多少个甲礼品?

26. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，△CDE 是等边三角形，点 D 在边 AB 上．
（1）如图 1，当点 E 在边 BC 上时，求证 DE=EB；
（2）如图 2，当点 E 在 △ABC 内部时，猜想 ED 和 EB 数量关系，并加以证明；
（3）如图 3，当点 E 在 △ABC 外部时，EH⊥AB 于点 H，过点 E 作 GE∥AB，交线段 AC 的延长线于点 G，AG=5CG，BH=3．求 CG 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，B0,12，点 A 在第一象限内，△AOB 为等腰三角形，∠BAO=90∘，AB=AO，AC⊥OB，点 D 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 y 轴向终点 O 运动，连接 DA，过点 A 作 AE⊥AD，射线 AE 交 x 轴于点 E，连接 BE，交线段 AC 于点 F，交线段 OA 于点 G．
（1）请直接写出 A 的坐标；
（2）点 D 运动的时间为 t 秒时，用含 t 的代数式表示 △ACD 的面积 S，并写出 t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当四边形 DAEO 的面积等于 6S 时，求 △AGF 的面积．
答案
第一部分
1. A【解析】分式有：1x，b−c5+a，共 2 个．
2. B
3. C【解析】A、 a2⋅a3=a5，故此选项错误；
B、 2a2=4a2，故此选项错误；
C、 a23=a6，正确；
D、 a+12=a2+2a+1，故此选项错误．
4. D【解析】分式 yx+y 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，得 2y2x+2y=yx+y．
5. C
【解析】A、 12a=23a，故此选项错误；
B、 113=43=233，故此选项错误；
C、 2 是最简二次根式，故此选项正确；
D、 3m2n3=mn3n，故此选项错误．
6. B【解析】由题意得，顶角 =180∘−50∘×2=80∘．
7. D【解析】∵x2+kx+9 是一个完全平方式，
∴ 这两个数是 x 和 3，
∴kx=±2×3x=±6x，解得 k=±6．
8. A
9. C
10. C
【解析】① ∵BF，CE 为高，
∴∠BEC=∠BFC=90∘，
∵D 为 BC 的中点，
∴FD=ED，故①正确；
② ∵BF，CE 为高，
∴∠BFA=∠CEA=90∘，
∵∠A=∠A，
∴△BFA∽△CEA，
∵∠BAC=60∘，∠ABC=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴△AEF 也是等边三角形，
∴∠AEF=∠ABC=60∘，
∴EF∥BC，故②正确；
③ ∵∠BAC=60∘，
∴tan60∘=BFAF=3，
∴BF=3AF，故③错误；
④ ∵∠AFB=∠AEC=90∘，∠A=∠A，
∴△ABF∽△ACE，得 AF:AB=AE:AC，故④正确．
本题正确的个数有 3 个：①②④．
第二部分
11. 2.5×10−6
【解析】0.0000025=2.5×10−6．
12. ≠−53
【解析】由题意，得 3x+5≠0，解得 x≠−53．
13. −2
【解析】原式=32−42=−2.
14. 4m+2nm−2n
【解析】4m2−16n2=4m2−4n2=4m+2nm−2n.
15. >12
【解析】∵ 分式 2x−1x2 的值为正，x2>0，
∴2x−1>0，解得 x>12．
16. 5
【解析】∵a+b=3，
∴a+b2=a2+2ab+b2=9，
∴a2+b2=9−2×2=5．
17. 6
【解析】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC；
又 ∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴AC=EC，
∴AB=AC=CE=4；
∵BD=CD=2，
∴DE=CD+CE=2+4=6．
18. 4
【解析】将 S=78.4，g=9.8 代入 S=12gt2，得：78.4=12×9.8t2，
整理可得：t2=16，则 t1=4，t2=−4（舍去），
即下落的时间 ts 是 4 s．
19. 60∘ 或 120∘
【解析】当高在三角形内部时（如图 1），顶角是 60∘．
当高在三角形外部时（如图 2），顶角是 120∘．
20. 3
【解析】将 △ADC 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到 △AEB，连接 ED，如图所示：
∴∠EAD=90∘，AE=AD，∠AEB=∠ADC=135∘，
∴△AED 是等腰直角三角形，
∴∠AED=∠ADE=45∘，
∴∠BED=135∘−45∘=90∘，
∵∠ADB=90∘，
∴∠BDE=45∘，
∴△BED 是等腰直角三角形，
设 AD=AE=x，则 ED=BE=2x，BD=2x×2=2x，
∵S△ABD=9，
∴12AD⋅BD=9，12⋅x⋅2x=9，x2=9，
解得：x1=3，x2=−3（舍去），
∴AD=3．
第三部分
21. （1） 2x+3yx−y=2x2−2xy+3xy−3y2=2x2+xy−3y2.
（2） a2b−3−2⋅a−2b32=a−4b6⋅a−4b6=a−8b12=b12a8.
22. 由题意可知：x=2−2×−10=2−2，
原式=3x−2x+22×x+2x−2−1x+2=3x+2−1x+2=2x+2.
把 x=2−2 代入得，
原式=22=2.
23. （1） 如图 1 所示，△A1B1C1 即为所求．
−4；−1；−3；−3；−1；−2
（2） 如图 2 所示，点 C2 为所求．
4
【解析】△CC1C2 的面积是 12×2×4=4．
24. （1） ∵∠ABC=90∘，BA=BC，点 D 为斜边 AC 的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC=45∘，
∵AF 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠BAF=22.5∘，
∴∠BFE=67.5∘，
∴∠BEF=180∘−∠EBF−∠EFB=67.5∘，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF．
（2） △ABD，△CBD，△ABC，△BEF，△AEC 是等腰三角形．
【解析】∵∠ABC=90∘，BA=BC，点 D 为斜边 AC 的中点，
∴BD=AD=CD，
∴△ABD，△CBD 是等腰三角形，
由已知得，△ABC 是等腰三角形，
由（1）得，△BEF 是等腰三角形，
∵AF 是 ∠BAC 的平分线，BD 是 ∠ABC 的平分线，
∴ 点 E 是 △ABC 的内心，
∴∠EAC=∠ECA=22.5∘，
∴△AEC 是等腰三角形．
25. （1） 设购买一个乙礼品需要 x 元．根据题意列方程得
600x+40=360x,
解得
x=60.
经检验 x=60 是原方程的根，
∴x+40=100．
答：购买一个甲礼品需要 100 元，一个乙礼品需要 60 元．
（2） 设总费用不超过 2000 元，可购买 m 个甲礼品，则购买乙礼品 30−m 个．
根据题意得
100m+6030−m≤2000,
解得
m≤5.
答：最多可购买 5 个甲礼品．
26. （1） ∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CED=60∘，
∴∠EDB=60∘−∠B=30∘，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=EB．
（2） ED=EB，理由如下：
如图 1，取 AB 的中点 O，连接 CO，EO，
∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴∠A=60∘，OC=OA，
∴△ACO 为等边三角形，
∴CA=CO，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE，
在 △ACD 和 △OCE 中，
CA=CO,∠ACD=∠OCE,CD=CE,
∴△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60∘，
∴∠BOE=60∘，
在 △COE 和 △BOE 中，
OC=OB,∠COE=∠BOE,OE=OE,
∴△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB．
（3） 如图 2，取 AB 的中点 O，连接 CO，EO，EB，
由（2）得 △ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60∘，
∴∠BOE=60∘，
由（2）可知：△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB，
∵EH⊥AB，
∴DH=BH=3，
∵GE∥AB，
∴∠G=180∘−∠A=120∘，
在 △CEG 和 △DCO 中，
∠G=∠COD,∠ECG=∠ODC,CE=CD,
∴△CEG≌△DCO，
∴CG=OD，
设 CG=a，则 AG=5a，OD=a，
∴AC=OC=4a，
∵OC=OB，
∴4a=a+3+3，
解得，a=2，
即 CG=2．
27. （1） A6,6．
【解析】∵B0,12，
∴OB=12，
∵△AOB 为等腰三角形，∠BAO=90∘，AB=AO，AC⊥OB，
∴AC=BC=OC=12OB=6，
∴A6,6．
（2） 当点 D 在线段 BC 上时（不包括点 C），即：0≤t<3，如图 1，
由运动知，BD=2t，
∴CD=BC−BD=6−2t，
∴S=S△ACD=12CD×AC=18−6t；
当点 D 在线段 BC 上时（不包括点 C），即：3由运动知，BD=2t，
∴CD=BD−BC=2t−6，
∴S=S△ACD=12CD×AC=6t−18．
（3） ①当点 D 在线段 BC 上时（不包括点 C），即：0≤t<3，
如图 1，过点 A 作 AM⊥x 轴于 M，
∴ 四边形 OCAM 是矩形，
∵A6,6，
∴AC=AM，
∴ 矩形 OCAM 是正方形，
∴OM=AC=6，∠CAM=90∘，
∵∠DAE=90∘，
∴∠CAD=∠EAM，
在 △ACD 和 △AME 中，
∠CAD=∠MAE,AC=AM,∠ACD=∠AME,
∴△ACD≌△AME，
∴S△ACD=S△AME，
∴S四边形DOEA=S△ACD+S四边形COEA=S△AMF+S四边形COEA=S正方形ACOM=AC2=36,
∵ 四边形 DAEO 的面积等于 6S，
∴6S=36，
∴S=6，
由（2）知，S=18−6t，
∴18−6t=6，
∴t=2，
∴CD=EM=6−2t=2，
∵OM=6，
∴OE=OM−EM=4，
∵AC∥OM，OC=BC，
∴CF=12OE=2，
∴AF=AC−CF=4=OE，
过点 G 作 GQ⊥OM 于 Q，交 AC 于 P，
∴PG⊥AC，
∴ 四边形 OCPQ 是矩形，
∴PQ=OC=6，
易知，△AFG≌△OEG，
∴PG=QG=3，
∴S△AFG=12AF×PG=6；
②当点 D 在线段 OC 上（不包括点 C），即：3同①的方法知，S=6，
∵S=6t−18，
∴6t−18=6，
∴t=4，
∴CD=EM=2，
∴OE=8，
同①的方法得，CF=4，
∴AF=AC−CF=2，
∵AC∥OM，
∴△AFG∽△OEG，
设 △AFG 的边 AF 上的高为 h，△OEG 的边 OE 上的高为 hʹ，
∴hhʹ=AFOE=28．
∴hʹ=4h，
∵h+hʹ=6，
∴h=65，
∴S△AFG=12AF×h=65．