2018_2019学年北京市延庆区八上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市延庆区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 剪纸是古老的汉族民间艺术，剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群众的喜爱．请你认真观察下列四幅剪纸图案，其中不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 若代数式 xx−4 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x=0B. x=4C. x≠0D. x≠4

3. 实数 9 的平方根是
A. 3B. ±3C. ±3D. 81

4. 在下列事件中，是必然事件的是
A. 买一张电影票，座位号一定是偶数B. 随时打开电视机，正在播新闻
C. 通常情况下，抛出的篮球会下落D. 阴天就一定会下雨

5. 下列变形中，正确的是
A. 232=2×3=6B. −252=−25
C. 9+16=9+16D. −9×−4=9×4

6. 如果把 2y2x−3y 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值
A. 扩大 5 倍B. 不变C. 缩小 5 倍D. 扩大 4 倍

7. 如图，将 △ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 1），点 A，B，C 恰好在网格图中的格点上，那么 △ABC 中 BC 边上的高是
A. 102B. 104C. 105D. 5

8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个比 3 大且比 4 小的无理数： ．

10. 如图，AE=DF，∠A=∠D，欲证 △ACE≌△DBF，需要添加条件 ，证明全等的理由是 ．

11. 一个不透明的盒子中装有 6 张生肖邮票，其中有 3 张“猴票”，2 张“鸡票”和 1 张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 ．

12. 已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5，则它的周长为 ．

13. 最简二次根式 2m−1 与 n−134−3m 是同类二次根式，则 mn= ．

14. 小明编写了一个如下程序：输入 x→x2→ 立方根 → 倒数 → 算术平方根 →12，则 x 为 ．

15. 如图，等边 △ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AC 边上的中点．如果点 P 是 AD 上的动点，那么 EP+CP 的最小值为 ．

16. 如图，OP=1，过点 P 作 PP1⊥OP 且 PP1=1，根据勾股定理，得 OP1=2；再过点 P1 作 P1P2⊥OP1 且 P1P2=1，得 OP2=3；又过点 P2 作 P2P3⊥OP2 且 P2P3=1，得 OP3=2；⋯ 依此继续，得 OP2018= ，OPn= （n 为自然数，且 n>0）．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−π−30−3−8+3−2．

18. 计算：18−418−22−1．

19. 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，AB∥DE，∠B=∠E，AF=DC．求证：BC=EF．

20. 解分式方程：xx+1−1=2x3x+3．

21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：x−3x2−1−31−x．小宇做得最快，立刻拿给李老师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查．请你仔细阅读小宇的计算过程，帮助小宇改正错误．
x−3x2−1−31−x=x−3x+1x−1−3x−1⋯⋯A=x−3x+1x−1−3x+1x+1x−1⋯⋯B=x−3−3x+1⋯⋯C=−2x−6.⋯⋯D
（1）上述计算过程中，哪一步开始出现错误? ；（用字母表示）
（2）从 B 到 C 是否正确? ；若不正确，错误的原因是 ；
（3）请你写出此题完整正确的解答过程．

22. 如图：在 △ABC 中，作 AB 边的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，连接 AF．
（1）依题意画出图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）你的作图依据是 ．
（3）若 AC=3，BC=5，则 △ACF 的周长是 ．

23. 先化简，再求值：1−1a+1÷aa2+2a+1，其中 a=3−1．

24. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E，当 AC=6，BC=8 时，求 DE 的长．

25. 为保障北京 2022 年冬季奥运会赛场间的交通服务，北京将建设连接北京城区-延庆区-崇礼县三地的高速铁路和高速公路．在高速公路方面，目前主要的交通方式是通过京藏高速公路（G6），其路程为 220 公里．为将崇礼县纳入北京一小时交通圈，有望新建一条高速公路，将北京城区到崇礼的道路长度缩短到 100 公里．如果行驶的平均速度每小时比原来快 22 公里，那么从新建高速行驶全程所需时间与从原高速行驶全程所需时间比为 4:11．求从新建高速公路行驶全程需要多少小时?

26. 如图 1，△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，点 E 在线段 AC 上，连接 AD，BE 的延长线交 AD 于点 F．
（1）猜想线段 BE，AD 的数量关系和位置关系： （不必证明）；
（2）当点 E 为 △ABC 内部一点时，使点 D 和点 E 分别在 AC 的两侧，其它条件不变．
①请你在图 2 中补全图形；
②（1）中结论成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

27. 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 a+2b 化简，若你能找到两个数 m 和 n，使 m2+n2=a 且 mn=b，则 a+2b 可变为 m2+n2+2mn，即变成 m+n2，从而使得 a+2b 化简．
例如：∵5+26=3+2+26=32+22+26=3+22，
∴5+26=3+22=3+2．
请你仿照上例解下面问题：
（1）4+23；
（2）7−210．

28. 如图 1，△ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，若 AB=AC+CD，那么 ∠ACB 与 ∠ABC 有怎样的数量关系呢?
（1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系，用等式表示为： ．
（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法 1：如图 2，延长 AC 到 F，使 CF=CD，连接 DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系．
想法 2：在 AB 上取一点 E，使 AE=AC，连接 ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系．
请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系（一种方法即可）．
答案
第一部分
1. C【解析】A中的图案是轴对称图形；
B中的图案是轴对称图形；
C中的图案不是轴对称图形；
D中的图案是轴对称图形．
2. D【解析】由代数式有意义可知：x−4≠0，
∴x≠4．
3. B【解析】∵±32=9，
∴ 实数 9 的平方根是 ±3．
4. C【解析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件，利用这个定义即可判定．
A．买一张电影票，座位号一定是偶数，是随机事件；
B．随时打开电视机，正在播新闻，是随机事件；
C．通常情况下，抛出的篮球会下落，是必然事件；
D．阴天就一定会下雨，是随机事件．
5. D
6. B【解析】分式 2y2x−3y 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，得 2y×52x×5−3y×5=2y2x−3y，那么这个分式的值不变．
7. A【解析】由勾股定理得：
AC=12+22=5，AB=12+22=5，BC=12+32=10，
∵52+52=102，
即 AB2+AC2=BC2，
∴△ABC 是直角三角形，
设 BC 边上的高为 h，
则 S△ABC=12AB⋅AC=12h⋅BC，
∴h=AB⋅ACBC=5×510=102．
8. D【解析】∵ 第三个图形是三角形，
∴ 将第三个图形展开，可得：
即可排除答案A，
∵ 再展开可知两个短边正对着，
∴ 选择答案D，排除B与C．
第二部分
9. 答案不唯一，如：π
10. ∠E=∠F，两角及夹边对应相等的两个三角形全等（答案不唯一）
【解析】添加的条件为 ∠E=∠F．
在 △ACE 与 △DBF 中，
∠A=∠D,AE=DF,∠E=∠F,
∴ △ACE≌△DBFASA．
11. 13
【解析】恰好是“鸡票”的可能性为：26=13．
12. 12
【解析】当 2 为腰时，三边为 2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当 5 为腰时，三边为 5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12．
13. 21
【解析】n−1=2，2m−1=34−3m，
∴n=3，m=7 .
14. ±8
【解析】反向递推：12 的平方 =14，14 的倒数为 4，4 的立方为 64，64 的平方根为 ±8．
15. 33
【解析】如图所示，连接 BP，
∵ 等边 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD 是 BC 边上的高线，即 AD 垂直平分 BC，
∴PB=PC．
当 B，P，E 三点共线时，EP+CP=EP+BP=BE，此时 EP+CP 最小．
∵ 等边 △ABC 中，E 是 AC 边的中点，
在 Rt△ABE 中，BE=AB2−AE2=62−32=33，
∴EP+CP 的最小值为 33．
16. 2019，n+1
【解析】由题可知：OP1=12+12=2，
OP2=12+22=3，
OP3=12+32=4，
OP4=12+42=5，
⋯⋯
∴OP2018=12+20182=2019，
OPn=12+n2=n+1．
第三部分
17. 原式=23−1+2+2−3=3+3.
18. 原式=32−4×24−22+2=32−2−22+2=2
19. ∵ AB∥DE，
∴ ∠A=∠D，
∵ AF=CD，
∴ AC=DF，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠B=∠E,∠A=∠D,AC=DF,
∴ △ABC≌△DEFAAS，
∴ BC=EF．
20. 去分母得，
3x−3x+1=2x,
解得
x=−1.5,
此时
x+1≠0,3x+3≠0,
经检验，x=−1.5 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为 x=−1.5．
21. （1） A
【解析】∵x−3x2−1−31−x=x−3x+1x−1+3x−1，
∴ 从 A 开始出现错误．
（2） 否；根据分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，小宇把分母去掉了
【解析】不正确，不能去分母．
（3） 此题完整正确的解答过程如下：
x−3x2−1−31−x=x−3x+1x−1+3x−1=x−3x+1x−1+3x+1x+1x−1=x−3+3x+3x+1x−1=4xx+1x−1.
22. （1） 如图：
（2） 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
（3） 8
【解析】∵EF 是线段 AB 的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴△ACF的周长=AC+CF+AF=AC+CF+BF=AC+BF=3+5=8.
23. 原式=aa+1⋅a+12a=a+1.
当 a=3−1 时，原式=3 .
24. ∵∠C=90∘，DE⊥AB 于点 E，
∴∠ACD=∠AED=90∘，
∵AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D 点，
∴∠CAD=∠EAD，
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
∠ACD=∠AED,∠CAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ACD≌△AEDAAS，
∴AE=AC=6，DE=CD，
∵BC=8，由勾股定理得，
∴AB2=AC2+BC2=62+82=100，
∴AB=10，
∴BE=AB−AE=4，
设 DE=CD=x，则 BD=8−x，
在 Rt△DEB 中，由勾股定理得 x2+42=8−x2，
解得 x=3，
∴DE=3．
25. 设选择从新建高速公路行驶全程所需的时间为 4x 小时．
由题意，得
1004x−22011x=22.
解得
x=522.
经检验 x=522 是原方程的解，且符合题意．
∴4x=1011．
答：从新建高速公路行驶所需时间为 1011 小时．
26. （1） BE=AD；BE⊥AD
【解析】∵△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，且 ∠ACB=∠DCE=90∘，
∴BC=AC，CE=CD，
在 △BCE 和 △ACD 中，
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，∠BEC=∠ADC，
∵∠DAC+∠ADC=90∘，
∴∠EBC+∠ADC=90∘，
∴BE⊥AD．
（2） ①如图．
②（1）中结论仍然成立．
证明：
∵△ABC 和 △DEC 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴BC=AC，EC=DC，
∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在 △BCE 和 △ACD 中，
BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD,
∴△BCE≌△ACDSAS，
∴BE=AD，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠AFB=∠ACB=90∘，
∴BE⊥AD．
27. （1） ∵4+23=1+3+23=12+32+23=1+32，
∴4+23=1+32=1+3；
（2） ∵7−210=5+2−210=52+22−210=5−22，
∴7−210=5−22=5−2．
28. （1） ∠ACB=2∠ABC
（2） 想法 1：
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF=AC+CF，且 CD=CF，
∴AF=AC+CD，
又 ∵AB=AC+CD，
∴AB=AF，
又 ∵AD=AD，
在 △ABD 和 △AFD 中，
AD=AD,∠BAD=∠CAD,AB=AF,
∴△ABD≌△AFDSAS，
∴∠B=∠F，
∵CD=CF，
∴∠F=∠CDF，
又 ∵∠ACB=∠F+∠CDF，
∴∠ACB=2∠F，
∴∠ACB=2∠B．
想法 2：
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又 ∵AC=AE，AD=AD，
在 △AED 和 △ACD 中，
AD=AD,∠BAD=∠CAD,AE=AC,
∴△AED≌△ACDSAS，
∴ED=CD，∠C=∠AED，
又 ∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，
∴CD=BE，
∴DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
又 ∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠AED=2∠B，
又 ∵∠C=∠AED，
∴∠C=2∠B．
即 ∠ACB=2∠ABC．