2018-2019学年上海市宝山区八上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年上海市宝山区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共5小题；共25分）
1. 下列等式一定成立的是
A. 9−4=5B. 5×3=15
C. 9=±3D. −−92=9

2. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是
A. x2+3=0B. x2+2x=0
C. x+12=0D. x+3x−1=0

3. 下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是
A. 2,−3，−4,6B. −2,3，4,6
C. −2,−3，4,−6D. 2,3，−4,6

4. 下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥3 的是
A. y=1x−3B. y=1x−3C. y=x−3D. y=x−3

5. 已知等腰 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD=12BC，则 △ABC 底角的度数为
A. 45∘B. 75∘C. 15∘D. 前述均可

二、填空题（共15小题；共75分）
6. ab−1a≠0 的有理化因式可以是 ．

7. 计算：412−8= ．

8. 已知 x=3 是方程 x2−6x+k=0 的一个根，则 k= ．

9. 关于 x 的一元二次方程 x2−2x+2+m2=0 的根的情况是 ．

10. 在实数范围内分解因式 x2+2x−4= ．

11. 已知矩形的长比宽长 2 米，要使矩形面积为 55.25 米 2，则宽应为多少米?设宽为 x 米，可列方程为 ．

12. 正比例函数 y=−2x 图象上的两上点为 x1,y1，x2,y2，且 x1
13. 矩形的长为 x，宽为 y，面积为 9，则 y 与 x 之间的函数关系及定义域是 ．

14. 已知正比例函数 y=mx 的图象经过 3,4，则它一定经过 象限．

15. 函数 y=1x+x 的图象在 象限．

16. 如图，在 △ABC 中，∠B=47∘，三角形的外角 ∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点 E，则 ∠ABE= ∘．

17. 若 △ABC 的三条边分别为 5，12，13，则 △ABC 之最大边上的中线长为 ．

18. A，B 为线段 AB 的两个端点，则满足 PA−PB=AB 的动点 P 的轨迹是 ．

19. 一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A，B，C，D 的面积分别为 2，5，1，2，则最大的正方形 E 的面积是 ．

20. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=56∘，∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将 ∠C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则 ∠OEC 为 度．

三、解答题（共8小题；共104分）
21. 计算：22−3−−12−2+18．

22. 解方程：x2−4x+1=0．

23. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2−3x+m=0 没有实数根，求 m 的最小整数值．

24. 到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图，若 AD 平分 ∠CAB，则 AD 上的点 E 为 △ABC 的准内心．
应用：
（1）如图 AD 为等边三角形 ABC 的高，准内心 P 在高 AD 上，且 PD=12AB，则 ∠BPC 的度数为 度．
（2）如图已知直角 △ABC 中斜边 AB=5，BC=3，准内心 P 在 BC 边上，求 CP 的长．

25. 前阶段国际金价大幅波动，在黄金价格涨至每克 360 元时，大批被戏称为“中国大妈”的非专业人士凭满腔热情纷纷入场买进黄金，但十分遗憾的是国际金价从此下跌，在经历了二轮大幅下跌后，日前黄金价格已跌至每克 291.60 元，大批“中国大妈”被套，这件事说明光有热情但不专业也是难办成事的；同学们：你们现在 14，15 岁，正值学习岁月，务必努力学习．下面请你用你已学的知识计算一下这二轮下跌的平均跌幅和反弹回买进价所需的涨幅．（精确到 1%）

26. 如图，在坐标系中，正比例函数 y=−x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交于 A，B 两点．
（1）试根据图象求 k 的值；
（2）P 为 y 轴上一点，若以点 A，B，P 为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条件的点 P 所有可能的坐标．

27. 如图，Rt△ABC 的顶点 B 在反比例函数 y=12x 的图象上，AC 边在 x 轴上，已知 ∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=4，求图中阴影部分的面积．

28. 已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合），分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点．
（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量关系式 ；
（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 9−4=3−2=1，故选项错误；
B、正确；
C、 9=3，故选项错误；
D、 −−92=−9，故选项错误．
故选：B．
2. C【解析】A．Δ=0−4×3=−12<0，则方程没有实数根，所以A选项错误；
B．Δ=4−4×0=4>0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C．x2+2x+1=0，Δ=4−4×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；
D．x1=−3，x2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
3. A【解析】由正比例函数关系式可知，只要两点的横纵坐标之比相等，则该两点即在同一个正比例函数图象上，选项A中，−32=6−4，因此应选A．
4. D【解析】A．分式有意义，x−3≠0，解得：x≠3，故A选项错误；
B．二次根式有意义，x−3>0，解得 x>3，故B选项错误；
C．函数式为整式，x 是任意实数，故C选项错误；
D．二次根式有意义，x−3≥0，解得 x≥3，故D选项正确．
5. D
【解析】①如图 1，
当 AB=AC 时，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=12BC，
∴AD=BD=CD，
∴ 底角为 45∘；
②如图 2，
当 AB=BC 时，
∵AD=12BC，
∴AD=12AB，
∴∠ABD=30∘，
∴∠BAC=∠BCA=75∘，
∴ 底角为 75∘．
③如图 3，
当 AB=BC 时，
∵AD=12BC，
∴AD=12AB，
∴∠ABD=30∘，
∴∠BAC=∠BCA=15∘，
∴ 底角为 15∘．
综上所述，△ABC 底角的度数为 15∘ 或 45∘ 或 75∘，
故选：D．
第二部分
6. b−1（的倍数）
7. 0
【解析】原式=4×22−22=0．
8. 9
【解析】把 x=3 代入方程 x2−6x+k=0，可得 9−18+k=0，
解得 k=9．
9. 没有实数根
【解析】Δ=−22−42+m2=−4m2−4,
∵−4m2≤0，
∴−4m2−4<0，即 Δ<0，
∴ 方程没有实数根．
故答案为方程没有实数根．
10. x+1+5x+1−5
11. xx+2=55.25
【解析】设宽为 x 米，则长为 x+2 米．根据题意，得
xx+2=55.25．
12. y1>y2
【解析】∵ 正比例函数 y=−2x 中，k=−2<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵x1 ∴y1>y2．
13. y=9xx>0
【解析】∵ 矩形的长为 x，宽为 y，面积为 9，
∴xy=9，且 x>0，
则 y 与 x 之间的函数关系及定义域是：y=9xx>0．
故答案为：y=9xx>0．
14. 第一、第三
【解析】∵ 正比例函数 y=mx 的图象经过 3,4，
∴4=3m，解得 m=43>0，
∴ 此函数的图象经过第一、第三象限．
15. 第一
【解析】由题意得：x>0，
则 y>0，
因为 x>0，y>0，
所以图象在第一象限．
16. 23.5
【解析】如图：作 EM⊥BD，EN⊥BF，EO⊥AC 垂足分别为 M，N，O，
∵AE，CE 是 ∠DAC 和 ∠ACF 的平分线，
∴EM=EO，EO=EN，
∴EM=EN，
∴BE 是 ∠ABC 的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABC=23.5∘．
17. 6.5
【解析】因为 52+122=169=132，
所以 △ABC 是直角三角形，
所以 △ABC 之最大边上的中线长 =12×13=6.5．
18. 线段 AB 的延长线（含端点 B）
19. 10
【解析】根据勾股定理的几何意义，可得 A，B 的面积和为 S1，C，D 的面积和为 S2，S1+S2=S3，于是 S3=S1+S2，即 S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
20. 112
【解析】如图，连接 OB，OC，
因为 OA 平分 ∠BAC，∠BAC=56∘，
所以 ∠BAO=12∠BAC=12×56∘=28∘，
因为 AB=AC，∠BAC=56∘，
所以 ∠ABC=12180∘−∠BAC=12×180∘−56∘=62∘，
因为 OD 垂直平分 AB，
所以 OA=OB，
所以 ∠OBA=∠BAO=28∘，
所以 ∠OBC=∠ABC−∠OBA=62∘−28∘=34∘，
由等腰三角形的性质，OB=OC，
所以 ∠OCE=∠OBC=34∘，
因为 ∠C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，
所以 OE=CE，
所以 ∠OEC=180∘−2×34∘=112∘．
第三部分
21. 22−3−−12−2+18=3−22−4+32=2−1.
22.
x2−4x+1=0.x2−4x+4=3.x−22=3.x−2=±3.∴x1=2+3,x2=2−3.
23. ∵ 关于 x 的一元二次方程 2x2−3x+m=0 没有实数根，
∴Δ=−32−4×2×m=3−8m<0,
∴m>38，
∴m 可以取得最小整数值为 1．
24. （1） 90
【解析】∵AD 为等边三角形 ABC 的高，
∴BD=12AB，CD=BD，
∵PD=12AB，
∴BD=DP=CD，
∴∠BPC=90∘．
（2） 由勾股定理易知 AC=4，
过 P 作 PD⊥AB 于 D，
根据题意知 PC=PD，AD=AC=4，
设 CP=x，在直角 △BDP 中，BP=3−x，DP=x，BD=1，
由勾股定理得 CP=x=43．
25. 设平均每次下跌的幅度为 x．
则依题意，得
3601−x2=291.6.
解得
x1=0.1,x2=−1.9不合题意,舍去.
取 x=0.1 即平均每次跌幅为 10%；
360÷291.6≈1.234，即反弹回买进价所需的涨幅约为 24%（此处用进一法），
答：这二轮下跌的平均跌幅和反弹回买进价所需的涨幅分别是 10%，24%．
26. （1） 把 x=−1 代入 y=−x 得 y=1，
∴A 的坐标是 −1,1，
把 A−1,1 代入 y=kx 得 k=−1×1=−1．
（2） 0,2，0,−2，0,2，0,−2．
【解析】∵ 点 A 与点 B 关于原点中心对称，
∴B 点坐标为 1,−1，
∴AB=22，
设 P 点坐标为 0,t，
当 ∠PAB=90∘，则 PA2+AB2=PB2，即 12+t−12+222=12+t+12，解得 t=2；
当 ∠PBA=90∘，则 PB2+AB2=PA2，即 12+t+12+222=12+t−12，解得 t=−2；
当 ∠APB=90∘，则 PA2+PB2=AB2，即 12+t−12+12+t+12=222，解得 t=±2．
∴ 点 P 的所有可能的坐标是 0,2，0,−2，0,2，0,−2．
27. 因为 ∠ACB=90∘，BC=4，
所以 B 点纵坐标为 4，
因为点 B 在反比例函数 y=12x 的图象上，
所以当 y=4 时，x=3，即 B 点坐标为 3,4，
所以 OC=3，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=4，
所以 AB=2BC=8，AC=3，BC=43，OA=AC−OC=43−3，
设 AB 与 y 轴交于点 D，
因为 OD∥BC，
所以 ODBC=OAAC，即 OD4=43−343，
解得 OD=4−3．
所以阴影部分的面积是：12OD+BC⋅OC=124−3+4×3=12−323．
28. （1） AE∥BF；QE=QF
【解析】理由是：如图 1，
∵Q 为 AB 中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90∘，
在 △BFQ 和 △AEQ 中，
∠BFQ=∠AEQ,∠BQF=∠AQE,BQ=AQ,
∴△BFQ≌△AEQAAS，
∴QE=QF．
（2） QE=QF．
证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D，
∵Q 为 AB 中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在 △FBQ 和 △DAQ 中，
∠FBQ=∠DAQ,BQ=AQ,∠BQF=∠AQD,
∴△FBQ≌△DAQASA，
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即 QE=QF．
（3） （2）中的结论仍然成立．
证明：如图 3 所示，延长 EQ，FB 交于 D，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴DF∥AE，
∴∠1=∠D，
在 △DBQ 和 △EAQ 中，
AQ=BQ,∠1=∠D,∠2=∠3,
∴△DBQ≌△EAQAAS，
∴QE=QD，
∵∠EFD=90∘
∴FQ 是 Rt△EFD 斜边 DE 上的中线，
∴QE=QF．