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初中数学人教版 (五四制)九年级上册31.1 圆的有关性质教学设计及反思
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这是一份初中数学人教版 (五四制)九年级上册31.1 圆的有关性质教学设计及反思，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义十圆的有关性质学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义十圆的有关性质教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共41页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年度九上数学培优讲义（十）圆的有关性质
一、 知识要点
1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．
用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．
2. 连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做_直径_；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做_优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
3.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．
4.垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧.
5.顶点在__圆心__的角叫做圆心角, 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
7、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
8.同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；
9.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
10.90°的圆周角所对的弦是直径；
11.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
12.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；
二、精讲讲练
【例题精讲】1．已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【解答】解：如图所示：
∵OE⊥AB，∴AE=12AB＝4．
在直角△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA=32+42=5，
则⊙O的半径是5．
故选：C．
【当堂练习】1．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB=12×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
【课后巩固】1．如图，在⊙O中，弦AB＝6，半径OC⊥AB于P，且P为OC的中点，则AC的长是（ ）
A．23 B．3 C．4 D．22
【解答】解：连接OA，
∵AB＝6，OC⊥AB，OC过O，
∴AP＝BP=12AB＝3，
设⊙O的半径为2R，则PO＝PC＝R，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2＝OP2+AP2，
（2R）2＝R2+32，
解得：R=3，
即OP＝PC=3，
在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2＝AP2+PC2，
AC2＝32+（3）2，
解得：AC＝23，
故选：A．
【例题精讲】2．P为⊙O内一点，且OP＝2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．25
【解答】解：
过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的最短弦，连接OB，
由勾股定理得：BP=OB2−OP2=32−22=5，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴AB＝2BP＝25，
故选：D．
【当堂练习】2．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是AB上一个动点，则OP的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：OP最短时，应该是OP⊥AB时，
此时OP=52−42=3．
故选：B．
【课后巩固】2．如图，点P为⊙O内一点，且OP＝6，若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为（ ）
A．15.5 B．330 C．16 D．17
【解答】解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OA＝10，OP＝6；
根据勾股定理，得：AP=OA2−OP2=102−62=8；
∴AB＝2AP＝16；
∴过P点的弦长应该在16～20之间．
故选：A．
【例题精讲】3．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）
A．1分米 B．4分米
C．3分米 D．1分米或7分米
【解答】解：连接OA．作OG⊥AB于G，
则在直角△OAG中，AG＝3分米，
因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
因而油上升了1分米或7分米．
故选：D．
【当堂练习】3．如图，一座石拱桥是圆弧形，其跨度AB＝24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．35米 B．5米 C．7米 D．8米
【解答】解：设O为圆心，连接OA、OD，
由题意可知：OD⊥AB，OA＝13米，
由垂径定理可知：AD=12AB＝12米，
∴由勾股定理可知：OD＝5米，
∴CD＝OC﹣CD＝8米，
故选：D．
【课后巩固】3．如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（ ）
A．13m B．15m C．20m D．26m
【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，则AE＝EH，EF＝EH﹣HF．
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，解得AE＝13m．
故选：A．
【例题精讲】4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝15°，连接OB，则∠OBC等于（ ）
A．30° B．60° C．65° D．75°
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A＝15°，
∴∠BOC＝2∠A＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB=180°−∠BOC2=75°．
故选：D．
【当堂练习】4．如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝60°，
由圆内接四边形的性质得到，∠APB＝180°﹣∠ACB＝120°，
故选：C．
【课后巩固】4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．75°
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：C．
【例题精讲】5．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（ ）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．75°+α D．3α
【解答】解：连接BD，如图，
∵点C为弧AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠BDC＝∠ADC＝α，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠APB＝180°﹣2α．
故选：B．
【当堂练习】5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，
∴∠AED＝∠ACD＝20°．
故选：B．
【课后巩固】5．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，若∠AOB＝60°，则∠ADC的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴∠ADC=12∠AOB=12×60°＝30°．
故选：D．
【例题精讲】6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+6 C．1+32 D．1+7
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH=12OC＝1，CH=3，
在Rt△CKH中，CK=(3)2+22=7，
∴CQ的最大值为1+7，
故选：D．
【当堂练习】6．如图，半径为5的⊙A中，DE＝25，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（ ）
A．21 B．41 C．45 D．35
【解答】解：如图，延长CA交⊙A于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴DE=BF，
∴DE＝BF＝25，
∴BC=CF2−BF2=102−(25)2=45，
故选：C．
【课后巩固】6．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧上AB一动点，且∠ACB＝30°，点E是AC的中点，直线EF∥AB与⊙O交于G，H两点，交BC于点F，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（ ）
A．不存在 B．6 C．8 D．9
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°．
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝6．
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
∵当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝12．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB=12AC＝6．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=12AB＝3，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝12﹣3＝9．
故选：D．
【例题精讲】7．在直径为50的⊙O中，弦AB∥CD，若AB＝30，CD＝48，则两弦的距离为 13或27 ．
【解答】解：由勾股定理得：圆心O到弦AB的距离d1=252−152=20，
圆心O到弦CD的距离d2=252−242=7．
（1）弦AB和CD在⊙O的圆心O同旁，d＝d2﹣d1＝13；
（2）弦AB和CD在⊙O的圆心O两旁，d＝d2+d1＝27．
故这两条平行弦之间的距离是13或27，
故答案为：13或27
【当堂练习】7．⊙O的半径为25cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝30cm，CD＝48cm，则AB和CD之间的距离为 13cm或27cm ．
【解答】解：如图，①当AB与CD在直径的一侧时，
在Rt△AOF中，
∵OA＝25cm，AF＝15cm，
∴OF＝20cm．
同理OE＝7cm，
∴平行线AB与CD的距离为20﹣7＝13cm；
②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为20+7＝27cm．
故答案为：13cm或27cm．
【课后巩固】7．⊙O的半径为5，圆内两弦AB∥CD，弦长AB＝8，CD＝6，则两弦AB、CD之间的距离是 1或7 ．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
当圆心O在两条弦之间时，如图1所示，
过O作EF⊥CD，与CD交于E，与AB交于F，连接OC，OA，
∵CD∥AB，∴EF⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
在Rt△COE中，OC＝5，CE=12CD＝3，
根据勾股定理得：OE=OC2−CE2=4；
在Rt△AOF中，OA＝5，AF=12AB＝4，
根据勾股定理得：OF=OA2−AF2=3，
则AB与CD间的距离d＝OE+OF＝4+3＝7；
当圆心在两条弦一边时，如图2所示，
过O作OE⊥CD，与CD交于E，与AB交于F，连接OC，OA，
同理可得AB与CD间的距离d＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，
综上，两弦间AB、CD之间的距离为1或7．
故答案为：1或7
【例题精讲】8．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝10，AC＝4，BD＝3，则PA+PB的最小值是 72 ．
【解答】解：∵MN＝10，
∴⊙O的半径＝5，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝5，BD＝3，
∴OD=OB2−BD2=52−32=4，
同理，在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3，
∴CD＝4+3＝7，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，
则AB′即为PA+PB的最小值，B′D＝BD＝3，
过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，如图所示：
则四边形CDB′E是矩形，
∴B′E＝CD＝7，CE＝DB′＝DB＝3，
∵AE＝AC+CE＝4+3＝7，B′E＝CD＝7，
∴△AB′E是等腰直角三角形，
∴AB′=2AE＝72，
故答案为：72．
【当堂练习】8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 13−2 ．
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
在Rt△BCO′中，BO′=BC2+CO′2=22+32=13，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E=13−2，
故答案为：13−2．
【课后巩固】8．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为 307 ．
【解答】解：如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．
∵CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，
解得x＝4，
∴AM＝4，AC＝2AM，
∴∠ACM＝30°，∠CAM＝60°，CM=3AM＝43，
∵S△ABC=12•BC•AN=12•AB•CM，
∴AN=AB⋅CMBC=2037，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴A，E，D，F四点共圆，
∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，
根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，AD的最小值为2037，
此时OE＝OF=1037，EF＝2•OE•cos30°=307，
∴EF的最小值为307，
故答案为307．
【例题精讲】9．水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1000mm，其中水面宽AB＝600mm，则截面上水的最大深度是 900mm或100mm ．
【解答】解：过点O作OM⊥AB交AB于M，交弧AB于点E．连接OA．
在Rt△OAM中：OA＝500mm，AM=12AB＝300mm．
根据勾股定理可得OM＝400mm，则油的最大深度ME为100mm，
根据对称性，当AB在点O的上方时．ME＝900mm，
综上所述，截面上水的最大深度是900mm或100mm，
故答案为：900mm或100mm．
【当堂练习】9．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，则油面AB上升 1或7 分米．
【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB＝6分米，
∴AG=12AB＝3分米，
∵油槽直径MN为10分米．
∴OA＝5分米，
∴OG=52−32=4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；
当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
故答案为：1或7．
【课后巩固】9．把一个球放在池塘中，球漂浮在水面上．当水结冰后，从冰中拿出球，留下一个冰坑．经测量，冰面圆的直径为24cm，冰坑的最大深度为8cm，则球的半径为 13 cm．
【解答】解：如图，由题意得：
在⊙O中，OD⊥AB，BC＝AC＝12，CD＝8，
设⊙O的半径为λ，则OC＝λ﹣8；
由勾股定理得：λ2＝（λ﹣8）2+122，
解得：λ＝13．
故答案为13．
【例题精讲】10．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是 63 ．
【解答】解：过D作DE⊥AB交⊙O于E，连接CE交AB于P，连接OE，作OF⊥CE于F，如图所示：
此时CP+PD＝CE最小．BD=BE，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°，
∵∠AOC＝96°，
∴∠BOC＝84°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OC＝OE＝6，
∴∠OCE＝∠OEC＝30°，
∵OF⊥CE，
∴CF＝EF，OF=12OC＝3，CF=3OF＝33，
∴CE＝2CF＝63．即CP+PD的最小值为63；
故答案为：63．
【当堂练习】10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，在线段AC上有一动点P（P不与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为 73−32 ．
【解答】解：如图，连接CQ，则∠PQC＝∠BQC＝90°，
∴点Q在以BC为直径的⊙O上，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，
∴CO＝QO=32，
当点Q、A、O三点共线时，AQ最小，
∵AC＝4，
∴AO=AC2+CO2=732，
∴AQ＝AO﹣QO=732−32=73−32，
故答案为：73−32．
【课后巩固】10．在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造▱AODC．当∠A＝ 27 °时，线段BD最长．
【解答】解：如图，连接OC，延长AO交⊙O于F，连接DF．
∵四边形ACDO是平行四边形，
∴∠DOF＝∠A，DO＝AC，
∵OF＝AO，
∴△DOF≌△CAO，
∴DF＝OC，
∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，
∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，
∵∠AOB＝108°，
∴∠FOB＝72°，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝54°，
∵FD＝FO，
∴∠FOD＝∠FDO＝27°，
∴∠A＝∠FOD＝27°，
故答案为27°．
【例题精讲】11．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB=256，AB＝5．
（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．
（2）求AE长．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠AOB＝2∠ADC
（2）∵DC＝DE
∴∠DCE＝∠DEC
∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠DAB，
∴AB＝BE＝5
∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，
∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，
∴25﹣AH2=62536−（256−AH）2，
∴AH＝3，
∴BH＝4，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AE=AH2+EH2=10
【当堂练习】11．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，
（1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数；
（2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×70°＝140°；
（2）∵∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣α，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α；
∵∠AOC＝2∠ADC＝2α，
∴∠AOC+∠BOD＝2α+180°﹣2α＝180°．
【课后巩固】11．如图AB为⊙O的直径，点D为AB下方圆上一点，点C为ACD的中点，连接CA、CD．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）连AD，过点C作CE⊥AB交AB于H，交AD于点E，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长度．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交AD与K，连接OD，如图所示：
则OA＝OC＝OD，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵点C为ACD的中点，
∴CA=CD，
∴CA＝CD，
在△COA和△COD中，CA=CDOC=OCOA=OD，
∴△COA≌△COD（SSS），
∴∠ACO＝∠DCO＝∠CAO，
∵∠ACD＝2∠ACO＝2∠CAO，∠CAO＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）解：∵CA＝CD，∠ACO＝∠DCO，
∴CO⊥AD，∠CAD＝∠CDA，AK＝DK=12AD＝12，
∵∠ACH+∠CAH＝90°＝∠ADC+∠BDC，∠CAH＝∠BDC，
∴∠ACH＝∠ADC＝∠CDA，
∴EC＝EA，
在△AOK和△COH中，∠AOK=∠COH∠AKO=∠CHO=90°OA=OC，
∴△AOK≌△COH（AAS），
∴OK＝OH＝5，
在Rt△AKO中，由勾股定理得：OA=AK2+OK2=122+52=13，
设EK＝x，
则CE＝AE＝AK+EK＝12+x，
CK＝OC+OK＝OA+OK＝13+5＝18，
在Rt△AKE中，CK2+EK2＝CE2，
即182+x2＝（12+x）2，
解得：x＝7.5，
∴DE＝DK﹣EK＝12﹣7.5＝4.5．
【例题精讲】12．如图，AB是⊙O的直径，弦BC、DE的延长线交于点F，AB⊥DE于H，连接BE、CE．
（1）求证：∠BEC＝∠F．
（2）连OE，若OE∥BC，CE＝13，DE＝24，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明如图，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB⊥DE，
∴∠BHF＝90°，
∴∠F+∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠F＝∠BAC，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠BEC＝∠F．
（2）解：连接AE，OE，设OA＝OE＝r．
∵OE∥BC，
∴∠OEB＝∠EBC，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴AE=EC，
∴AE＝EC＝13，
∵AB⊥DE，
∴DH＝EH＝12，AH=AE2−EH2=132−122=5，
在Rt△OEH中，∵OE2＝OH2+EH2，
∴r2＝122+（r﹣5）2，
∴r=16910，
∴⊙O的半径为16910．
【当堂练习】12．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD．垂足为E，AB＝4，DC＝6，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF＝∠DBF＝90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∵∠FCA+∠ACD＝90°，
∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC，
∴四边形ACFB是等腰梯形，
∴CF＝AB．
根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝52，
∴DF＝213，
∴OD=13，即⊙O的半径为13．
【课后巩固】12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G为弧BC上一动点，CG与AB的延长线交于点F，连接OD．
（1）判定∠AOD与∠CGD的大小关系为 ∠AOD＝∠CGD ，并求证：GB平分∠DGF．
（2）在G点运动过程中，当GD＝GF时，DE＝4，BF=45，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）∠AOD＝∠CGD；理由如下：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴∠AOD＝∠CGD，
故答案为：∠AOD＝∠CGD；
连接BG、BC、BD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BCD＝∠BGD＝∠BDC，
∵四边形BDCG为圆内接四边形，
∴∠BGF＝∠BDC，
∴∠BGD＝∠BGF，
∴GB平分∠DGF；
（2）在△BGD和△BGF中，GD=GF∠BGD=∠BGFBG=BG，
∴△BGD≌△BGF（SAS），
∴BD＝BF＝45，
BE=BD2−DE2=(45)2−42=8，
设⊙O的半径为r，则OE＝8﹣r，
在Rt△ODE中，（8﹣r）2+42＝r2，
解得：r＝5，即⊙O的半径为5．
2021-2022学年度九上数学培优讲义（十）圆的有关性质
一、 知识要点
1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．
用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．
2. 连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做_直径_；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做_优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
3.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．
4.垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧.
5.顶点在__圆心__的角叫做圆心角, 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
7、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
8.同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；
9.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
10.90°的圆周角所对的弦是直径；
11.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
12.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；
二、精讲讲练
【例题精讲】1．已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【解答】解：如图所示：
∵OE⊥AB，∴AE=12AB＝4．
在直角△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA=32+42=5，
则⊙O的半径是5．
故选：C．
【当堂练习】1．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB=12×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
【课后巩固】1．如图，在⊙O中，弦AB＝6，半径OC⊥AB于P，且P为OC的中点，则AC的长是（ ）
A．23 B．3 C．4 D．22
【解答】解：连接OA，
∵AB＝6，OC⊥AB，OC过O，
∴AP＝BP=12AB＝3，
设⊙O的半径为2R，则PO＝PC＝R，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2＝OP2+AP2，
（2R）2＝R2+32，
解得：R=3，
即OP＝PC=3，
在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2＝AP2+PC2，
AC2＝32+（3）2，
解得：AC＝23，
故选：A．
【例题精讲】2．P为⊙O内一点，且OP＝2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．25
【解答】解：
过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的最短弦，连接OB，
由勾股定理得：BP=OB2−OP2=32−22=5，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴AB＝2BP＝25，
故选：D．
【当堂练习】2．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是AB上一个动点，则OP的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：OP最短时，应该是OP⊥AB时，
此时OP=52−42=3．
故选：B．
【课后巩固】2．如图，点P为⊙O内一点，且OP＝6，若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为（ ）
A．15.5 B．330 C．16 D．17
【解答】解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OA＝10，OP＝6；
根据勾股定理，得：AP=OA2−OP2=102−62=8；
∴AB＝2AP＝16；
∴过P点的弦长应该在16～20之间．
故选：A．
【例题精讲】3．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）
A．1分米 B．4分米
C．3分米 D．1分米或7分米
【解答】解：连接OA．作OG⊥AB于G，
则在直角△OAG中，AG＝3分米，
因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
因而油上升了1分米或7分米．
故选：D．
【当堂练习】3．如图，一座石拱桥是圆弧形，其跨度AB＝24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．35米 B．5米 C．7米 D．8米
【解答】解：设O为圆心，连接OA、OD，
由题意可知：OD⊥AB，OA＝13米，
由垂径定理可知：AD=12AB＝12米，
∴由勾股定理可知：OD＝5米，
∴CD＝OC﹣CD＝8米，
故选：D．
【课后巩固】3．如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（ ）
A．13m B．15m C．20m D．26m
【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，则AE＝EH，EF＝EH﹣HF．
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，解得AE＝13m．
故选：A．
【例题精讲】4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝15°，连接OB，则∠OBC等于（ ）
A．30° B．60° C．65° D．75°
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A＝15°，
∴∠BOC＝2∠A＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB=180°−∠BOC2=75°．
故选：D．
【当堂练习】4．如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝60°，
由圆内接四边形的性质得到，∠APB＝180°﹣∠ACB＝120°，
故选：C．
【课后巩固】4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．150° B．120° C．105° D．75°
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：C．
【例题精讲】5．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（ ）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．75°+α D．3α
【解答】解：连接BD，如图，
∵点C为弧AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠BDC＝∠ADC＝α，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠APB＝180°﹣2α．
故选：B．
【当堂练习】5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，
∴∠AED＝∠ACD＝20°．
故选：B．
【课后巩固】5．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，若∠AOB＝60°，则∠ADC的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∴∠ADC=12∠AOB=12×60°＝30°．
故选：D．
【例题精讲】6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+6 C．1+32 D．1+7
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH=12OC＝1，CH=3，
在Rt△CKH中，CK=(3)2+22=7，
∴CQ的最大值为1+7，
故选：D．
【当堂练习】6．如图，半径为5的⊙A中，DE＝25，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（ ）
A．21 B．41 C．45 D．35
【解答】解：如图，延长CA交⊙A于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴DE=BF，
∴DE＝BF＝25，
∴BC=CF2−BF2=102−(25)2=45，
故选：C．
【课后巩固】6．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧上AB一动点，且∠ACB＝30°，点E是AC的中点，直线EF∥AB与⊙O交于G，H两点，交BC于点F，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（ ）
A．不存在 B．6 C．8 D．9
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°．
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝6．
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
∵当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝12．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB=12AC＝6．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=12AB＝3，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝12﹣3＝9．
故选：D．
【例题精讲】7．在直径为50的⊙O中，弦AB∥CD，若AB＝30，CD＝48，则两弦的距离为 13或27 ．
【解答】解：由勾股定理得：圆心O到弦AB的距离d1=252−152=20，
圆心O到弦CD的距离d2=252−242=7．
（1）弦AB和CD在⊙O的圆心O同旁，d＝d2﹣d1＝13；
（2）弦AB和CD在⊙O的圆心O两旁，d＝d2+d1＝27．
故这两条平行弦之间的距离是13或27，
故答案为：13或27
【当堂练习】7．⊙O的半径为25cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝30cm，CD＝48cm，则AB和CD之间的距离为 13cm或27cm ．
【解答】解：如图，①当AB与CD在直径的一侧时，
在Rt△AOF中，
∵OA＝25cm，AF＝15cm，
∴OF＝20cm．
同理OE＝7cm，
∴平行线AB与CD的距离为20﹣7＝13cm；
②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为20+7＝27cm．
故答案为：13cm或27cm．
【课后巩固】7．⊙O的半径为5，圆内两弦AB∥CD，弦长AB＝8，CD＝6，则两弦AB、CD之间的距离是 1或7 ．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
当圆心O在两条弦之间时，如图1所示，
过O作EF⊥CD，与CD交于E，与AB交于F，连接OC，OA，
∵CD∥AB，∴EF⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
在Rt△COE中，OC＝5，CE=12CD＝3，
根据勾股定理得：OE=OC2−CE2=4；
在Rt△AOF中，OA＝5，AF=12AB＝4，
根据勾股定理得：OF=OA2−AF2=3，
则AB与CD间的距离d＝OE+OF＝4+3＝7；
当圆心在两条弦一边时，如图2所示，
过O作OE⊥CD，与CD交于E，与AB交于F，连接OC，OA，
同理可得AB与CD间的距离d＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，
综上，两弦间AB、CD之间的距离为1或7．
故答案为：1或7
【例题精讲】8．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝10，AC＝4，BD＝3，则PA+PB的最小值是 72 ．
【解答】解：∵MN＝10，
∴⊙O的半径＝5，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝5，BD＝3，
∴OD=OB2−BD2=52−32=4，
同理，在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3，
∴CD＝4+3＝7，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，
则AB′即为PA+PB的最小值，B′D＝BD＝3，
过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，如图所示：
则四边形CDB′E是矩形，
∴B′E＝CD＝7，CE＝DB′＝DB＝3，
∵AE＝AC+CE＝4+3＝7，B′E＝CD＝7，
∴△AB′E是等腰直角三角形，
∴AB′=2AE＝72，
故答案为：72．
【当堂练习】8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是 13−2 ．
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
在Rt△BCO′中，BO′=BC2+CO′2=22+32=13，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E=13−2，
故答案为：13−2．
【课后巩固】8．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为 307 ．
【解答】解：如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM＝x，则BM＝5﹣x．
∵CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，
解得x＝4，
∴AM＝4，AC＝2AM，
∴∠ACM＝30°，∠CAM＝60°，CM=3AM＝43，
∵S△ABC=12•BC•AN=12•AB•CM，
∴AN=AB⋅CMBC=2037，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴A，E，D，F四点共圆，
∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，
根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，AD的最小值为2037，
此时OE＝OF=1037，EF＝2•OE•cos30°=307，
∴EF的最小值为307，
故答案为307．
【例题精讲】9．水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1000mm，其中水面宽AB＝600mm，则截面上水的最大深度是 900mm或100mm ．
【解答】解：过点O作OM⊥AB交AB于M，交弧AB于点E．连接OA．
在Rt△OAM中：OA＝500mm，AM=12AB＝300mm．
根据勾股定理可得OM＝400mm，则油的最大深度ME为100mm，
根据对称性，当AB在点O的上方时．ME＝900mm，
综上所述，截面上水的最大深度是900mm或100mm，
故答案为：900mm或100mm．
【当堂练习】9．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，则油面AB上升 1或7 分米．
【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G，
∵AB＝6分米，
∴AG=12AB＝3分米，
∵油槽直径MN为10分米．
∴OA＝5分米，
∴OG=52−32=4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
∴当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；
当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
故答案为：1或7．
【课后巩固】9．把一个球放在池塘中，球漂浮在水面上．当水结冰后，从冰中拿出球，留下一个冰坑．经测量，冰面圆的直径为24cm，冰坑的最大深度为8cm，则球的半径为 13 cm．
【解答】解：如图，由题意得：
在⊙O中，OD⊥AB，BC＝AC＝12，CD＝8，
设⊙O的半径为λ，则OC＝λ﹣8；
由勾股定理得：λ2＝（λ﹣8）2+122，
解得：λ＝13．
故答案为13．
【例题精讲】10．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是 63 ．
【解答】解：过D作DE⊥AB交⊙O于E，连接CE交AB于P，连接OE，作OF⊥CE于F，如图所示：
此时CP+PD＝CE最小．BD=BE，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°，
∵∠AOC＝96°，
∴∠BOC＝84°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OC＝OE＝6，
∴∠OCE＝∠OEC＝30°，
∵OF⊥CE，
∴CF＝EF，OF=12OC＝3，CF=3OF＝33，
∴CE＝2CF＝63．即CP+PD的最小值为63；
故答案为：63．
【当堂练习】10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，在线段AC上有一动点P（P不与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为 73−32 ．
【解答】解：如图，连接CQ，则∠PQC＝∠BQC＝90°，
∴点Q在以BC为直径的⊙O上，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，
∴CO＝QO=32，
当点Q、A、O三点共线时，AQ最小，
∵AC＝4，
∴AO=AC2+CO2=732，
∴AQ＝AO﹣QO=732−32=73−32，
故答案为：73−32．
【课后巩固】10．在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造▱AODC．当∠A＝ 27 °时，线段BD最长．
【解答】解：如图，连接OC，延长AO交⊙O于F，连接DF．
∵四边形ACDO是平行四边形，
∴∠DOF＝∠A，DO＝AC，
∵OF＝AO，
∴△DOF≌△CAO，
∴DF＝OC，
∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，
∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，
∵∠AOB＝108°，
∴∠FOB＝72°，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝54°，
∵FD＝FO，
∴∠FOD＝∠FDO＝27°，
∴∠A＝∠FOD＝27°，
故答案为27°．
【例题精讲】11．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB=256，AB＝5．
（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．
（2）求AE长．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠AOB＝2∠ADC
（2）∵DC＝DE
∴∠DCE＝∠DEC
∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠DAB，
∴AB＝BE＝5
∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，
∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，
∴25﹣AH2=62536−（256−AH）2，
∴AH＝3，
∴BH＝4，
∴EH＝BE﹣BH＝1，
∴AE=AH2+EH2=10
【当堂练习】11．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，
（1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数；
（2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×70°＝140°；
（2）∵∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣α，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α；
∵∠AOC＝2∠ADC＝2α，
∴∠AOC+∠BOD＝2α+180°﹣2α＝180°．
【课后巩固】11．如图AB为⊙O的直径，点D为AB下方圆上一点，点C为ACD的中点，连接CA、CD．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）连AD，过点C作CE⊥AB交AB于H，交AD于点E，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长度．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交AD与K，连接OD，如图所示：
则OA＝OC＝OD，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵点C为ACD的中点，
∴CA=CD，
∴CA＝CD，
在△COA和△COD中，CA=CDOC=OCOA=OD，
∴△COA≌△COD（SSS），
∴∠ACO＝∠DCO＝∠CAO，
∵∠ACD＝2∠ACO＝2∠CAO，∠CAO＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）解：∵CA＝CD，∠ACO＝∠DCO，
∴CO⊥AD，∠CAD＝∠CDA，AK＝DK=12AD＝12，
∵∠ACH+∠CAH＝90°＝∠ADC+∠BDC，∠CAH＝∠BDC，
∴∠ACH＝∠ADC＝∠CDA，
∴EC＝EA，
在△AOK和△COH中，∠AOK=∠COH∠AKO=∠CHO=90°OA=OC，
∴△AOK≌△COH（AAS），
∴OK＝OH＝5，
在Rt△AKO中，由勾股定理得：OA=AK2+OK2=122+52=13，
设EK＝x，
则CE＝AE＝AK+EK＝12+x，
CK＝OC+OK＝OA+OK＝13+5＝18，
在Rt△AKE中，CK2+EK2＝CE2，
即182+x2＝（12+x）2，
解得：x＝7.5，
∴DE＝DK﹣EK＝12﹣7.5＝4.5．
【例题精讲】12．如图，AB是⊙O的直径，弦BC、DE的延长线交于点F，AB⊥DE于H，连接BE、CE．
（1）求证：∠BEC＝∠F．
（2）连OE，若OE∥BC，CE＝13，DE＝24，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明如图，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB⊥DE，
∴∠BHF＝90°，
∴∠F+∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠F＝∠BAC，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠BEC＝∠F．
（2）解：连接AE，OE，设OA＝OE＝r．
∵OE∥BC，
∴∠OEB＝∠EBC，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠EBC，
∴AE=EC，
∴AE＝EC＝13，
∵AB⊥DE，
∴DH＝EH＝12，AH=AE2−EH2=132−122=5，
在Rt△OEH中，∵OE2＝OH2+EH2，
∴r2＝122+（r﹣5）2，
∴r=16910，
∴⊙O的半径为16910．
【当堂练习】12．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD．垂足为E，AB＝4，DC＝6，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF＝∠DBF＝90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∵∠FCA+∠ACD＝90°，
∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC，
∴四边形ACFB是等腰梯形，
∴CF＝AB．
根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝52，
∴DF＝213，
∴OD=13，即⊙O的半径为13．
【课后巩固】12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G为弧BC上一动点，CG与AB的延长线交于点F，连接OD．
（1）判定∠AOD与∠CGD的大小关系为 ∠AOD＝∠CGD ，并求证：GB平分∠DGF．
（2）在G点运动过程中，当GD＝GF时，DE＝4，BF=45，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）∠AOD＝∠CGD；理由如下：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴∠AOD＝∠CGD，
故答案为：∠AOD＝∠CGD；
连接BG、BC、BD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BCD＝∠BGD＝∠BDC，
∵四边形BDCG为圆内接四边形，
∴∠BGF＝∠BDC，
∴∠BGD＝∠BGF，
∴GB平分∠DGF；
（2）在△BGD和△BGF中，GD=GF∠BGD=∠BGFBG=BG，
∴△BGD≌△BGF（SAS），
∴BD＝BF＝45，
BE=BD2−DE2=(45)2−42=8，
设⊙O的半径为r，则OE＝8﹣r，
在Rt△ODE中，（8﹣r）2+42＝r2，
解得：r＝5，即⊙O的半径为5．
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