2020-2021学年北京市西城区鲁迅中学七下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区鲁迅中学七下期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列运算正确的是
A. 16=±4B. −16=4
C. 3−27=−3D. −42=−4

2. 不等式 2x>8 的解集是
A. x<4B. x>4C. x<−4D. x>−4

3. 点 P2,−5 所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 给出四个实数 −4，2，0，8，其中无理数是
A. −4B. 2C. 0D. 8

5. 已知 x>y，则下列不等式不成立的是
A. x−6>y−6B. 3x+6>−3y+6
C. −2x<−2yD. 3x>3y

6. 如图，直线 a∥b，直线 c 与 a，b 都相交，∠1=50∘，则 ∠2=
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 130∘

7. 如图，给下列四个条件：
① ∠1=∠2；
② ∠3=∠4；
③ ∠B=∠5；
④ ∠B+∠BAD=180∘．
其中能使 AB∥CD 的共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

8. 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简 b−a2+∣b∣ 的结果是
A. a−2bB. −aC. aD. −2a+b

9. 若不等式组 5−x>2,2x+3>0 的最小整数解是 a，最大整数解是 b，则 a+b=
A. 2B. 1C. 4D. 0

10. 在一单位为 1 的方格纸上，有一列点 A1，A2，A3，⋯，An，⋯，（其中 n 为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点 A12,0，A21,−1，A30,0，A42,2，⋯⋯，则 A2017 的坐标为
A. 1008,0B. 1010,0C. −1008,0D. −1006,0

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 x，y 为实数，且 ∣x+3∣+y−3=0，则 x+y= ．

12. 如图，AB∥DE，AB⊥BC，∠1=20∘，则 ∠D= ∘．

13. 在平面直角坐标系中，将点 2,3 向上平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位，所得到的点的坐标为 ．

14. 如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为 ．

15. 如图，已知 AB∥CF，CF∥DE，∠BCD=90∘，则 ∠D−∠B= ．

16. 在平面直角坐标系中，定义两种新的变换：对应平面内任一点 Pm,n，规定：① fm,n=−m,n，例如，f2,1=−2,1；② gm,n=m,−n，例如，g2,1=2,−1，已知点 Pa,b 满足 fa,b=ga,b，则点 P 坐标为 ．

17. 若不等式 ∣x−2∣+∣x+3∣+∣x−1∣+∣x+1∣≥a 对一切数 x 都成立，则 a 的取值范围是 ．

18. 四月下旬，世界卫生组织称中国已进入缓疫阶段，各地陆续发布开学通知，虽然疫情有所控制，但防控仍不可掉以轻心．重庆一中的教职工们在学校逐一检查、落实各项防疫措施，为迎接即将返校的初三学生做足准备．王老师用现金 6820 元为年级采购了额温枪和免洗洗手液两种防疫物品，额温枪每个 125 元，免洗洗手液每瓶 55 元，购买后剩余 100 元、 10 元、 1 元的钞票若干张（10 元钞票和 1 元钞票剩余数量均不超过 9 张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的 100 元和 10 元的钞票张数恰好相反，但 1 元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为 个．

三、解答题（共11小题；共143分）
19. 解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（1）4x+5≤6x−3．
（2）x−3x−2≤4,1+2x3>x−1.

20. 计算．
（1）−14−16÷−122+∣−3∣3．
（2）3−8÷0.04+14×−22−−12020．

21. 解方程．
（1）9x2+12=16．
（2）x+13+27=0．

22. 请把以下说理过程补充完整：
如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90∘，∠2=∠3，
说明 BE 与 DF 平行的理由．
解：理由是：
因为 AB⊥BC，
所以 ∠ABC= ∘，即：∠3+∠4= ∘．
因为 ∠1+∠2=90∘，且 ∠2=∠3，
所以 = （ ），
所以 BE∥DF（ ）．

23. 已知在平面直角坐标系中有三点 A−1,2，B−4,−3，C1,−2，请按要求作出下列图形，并标注相应的字母．
（1）将 △ABC 向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到 △A1B1C1，则 A1，B1，C1 的坐标分别为 ， ， ．
（2）请在网格中画出 △A1B1C1 并计算出 △A1B1C1 的面积．

24. 一汽车销售商店经销A，B两种型号轿车，用 400 万元可购进A型轿车 10 辆和B型轿车 20 辆，用 300 万元可购进A型轿车 9 辆和B型轿车 14 辆．
（1）A型与B型轿车每辆的进价分别为多少万元?
（2）若该汽车销售商店购进A，B两种型号的轿车共 60 辆，且购车资金不超过 700 万元，该汽车销售商店至少购进A型轿车几辆?

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为 A1,2，B−3,1，C2,−2，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．根据所给定义解决下列问题：
（1）若已知点 D1,2，E−2,1，F0,6，则这 3 点的“矩面积”= ．
（2）若 D1,2，E−2,1，F0,t 三点的“矩面积”为 18，求点 F 的坐标．

26. 从今年开始，“金鸡百花电影节”长期落户厦门，为了主场馆更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．其中一组灯光如图所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两灯不停交叉投射．若灯 A 转动的速度是 a∘/秒，灯 B 转动的速度是 b∘/秒，且 a，b 满足 a−3b+a+b−42=0，假定舞台前后幕布是平行的，即 PQ∥MN，且 ∠BAN=45∘．
（1）求 a，b 的值．
（2）若灯 B 射线先转动 40 秒，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达 BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
（3）如图，两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前．若射出的光束交于点 C，过 C 作 CD⊥AC 交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BAC 与 ∠BCD 的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系，若改变，请说明理由．

27. 如图 1，把两个边长为 1 的小正方形沿对角线剪开，所得的 4 个直角三角形拼成一个面积为 2 的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图 2 中 A，B 两点表示的数分别为 ， ．
（2）请你参照上面的方法：
①把图 3 中 5×1 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图 3 中画出裁剪线，并在图 4 的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长 a= ．（注：小正方形边长都为 1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图 2 的画法，在数轴上分别用点 M，N 表示数 a 以及 a−3．（图中标出必要线段的长）

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于给定的两点 P，Q，若存在点 M，使得 △MPQ（△ 表示三角形）面积等于 1（即 S△MPQ=1），则称点 M 为线段 PQ 的“单位面积点”．
解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 2,0．
（1）在点 A−1,1，B−1,2，C2,−4 中，线段 OP 的“单位面积点”是 ；
（2）已知点 D0,3，E0,4，将线段 OP 沿 y 轴方向向上平移 t（t>0）个单位长度，使得线段 DE 上存在线段 OP 的“单位面积点”，求 t 的取值范围；
（3）已知点 F2,2，点 M 在第一象限且 M 的纵坐标是 3，点 M，N 是线段 PF 的两个“单位面积点”，若 S△OMN=3S△PFN，且 MN∥PF，直接写出点 N 的坐标．

29. 如图 1，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，∠AOC=30∘，将一直角三角板（∠M=30∘）的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方，将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 3∘ 的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）几秒后 ON 与 OC 重合?
（2）如图 2，经过 t 秒后，MN∥AB，求此时 t 的值．
（3）若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6∘ 的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间 OC 与 OM 重合?请画图并说明理由．
（4）在（3）的条件下，求经过多长时间 OC 平分 ∠MOB?请画图并说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. D
5. B
6. B
7. B
8. A
9. B
10. B
【解析】观察，发现：A12,0，A54,0，A96,0，⋯，
∴A4n+12n+2,0（n 为自然数）．
∵2017=504×4+1，
∴A2017 的坐标为 1010,0．
第二部分
11. 略
12. 略
13. 略
14. 略
15. 90∘
【解析】∵AB∥CF，
∴∠BCF=∠B, ⋯⋯①
∵CF∥DE，
∴∠FCD+∠D=180∘, ⋯⋯②
① + ②得 ∠BCF+∠FCD+∠D=∠B+180∘，
整理得 ∠D−∠B=180∘−∠BCD，
∵∠BCD=90∘，
∴∠D−∠B=90∘．
16. 0,0
【解析】fa,b=−a,b，ga,b=a,−b，
∵fa,b=ga,b，
∴−a,b=a,−b，
∴a=0，b=0，
则点 P 坐标为 0,0．
17. a≤7
【解析】数形结合．绝对值的几何意义：∣x−y∣ 表示数轴上两点 x，y 之间的距离．
画数轴易知，∣x−2∣+∣x+3∣+∣x−1∣+∣x+1∣ 表示 x 到 −3，−1，1，2 这四个点的距离之和，从而当 x 介于 −1 和 1 之间时，距离之和最小，此时，
∣x−1∣+∣x+1∣=2，
∣x+3∣+∣x−2∣=5，
即 ∣x−2∣+∣x+3∣+∣x−1∣+∣x+1∣≥7 对一切实数 x 恒成立，
从而 a 的取值范围为 a≤7．
18. 39
【解析】设购买额温枪和免洗洗手液后剩余 100 元，10 元，1 元的钞票数量分别为 a，b，c，
则 a，b，c 均为整数，且 1≤b≤9，1≤c≤9；
购买额温枪和免洗洗手液后可列方程：125x+55y+100a+10b+c=6820, ⋯⋯①
如果把购买额温枪和免洗洗手液的数量交换可得方程：125y+55x+100b+10a+c=6820, ⋯⋯②
① − ②得：70x−70y+100a+10b−100b−10a=0，
所以 70x−y+90a−b=0，则 7x−y=9b−a，
因为 a，b 均为整数，且 1≤b≤9，
所以 b−a=7，x−y=9，
则 y=x−9，b=9，a=2 或 b=8，a=1 或 b=7，a=0，
当 b=9，a=2 时，代入①得 125x+55x−9+200+90+c=6820，
180x+c=6820−290+495=7025，
则 c=7025−180x，1≤7025−180x≤9，
所以 38.98≤x≤39.02，x 为整数，
所以 x=39，故购买额温枪的数量为 39 个，
当 b=8，a=1 时，代入①得 125x+55x−9+100+80+c=6820，
180x+c=6820−180+495=7135，
则 c=7135−180x，1≤7135−180x≤9，
所以 39.59≤x≤39.63，x 为整数，即这种情况不存在，
当 b=7，a=0 时，代入①得 125x+55x−9+70+c=6820，
180x+c=6820−70+495=7245，
则 c=7245−180x，1≤7245−180x≤9，
所以 40.2≤x≤40.24，x 为整数，即这种情况不存在，
综上所述，购买额温枪的数量为 39 个．
第三部分
19. （1） 移项，得：
4x−6x≤−3−5,
合并同类项，得：
−2x≤−8,
系数化为 1，得：
x≥4,
将解集表示在数轴上如下：
（2） 解不等式
x−3x−2≤4,
得：
x≥1,
解不等式
1+2x3>x−1,
得：
x<4,
则不等式组的解集为 1≤x<4，
将解集表示在数轴上如下：
20. （1） 略
（2） 略
21. （1）
9x2+12=16,9x2=4,x2=49,x=±23.
（2）
x+13+27=0,x+13=−27,x+1=−3,x=−4.
22. 略
23. （1） 2,4；−1,−1；4,0
【解析】将 △ABC 向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到 △A1B1C1．
A1 的坐标为 2,4，B1 的坐标为 −1,−1，C1 的坐标为 4,0．
（2） △A1B1C1 如图所示：
S△A1B1C1=5×5−12×1×5−12×2×4−12×3×5=25−52−4−152=11.
24. （1） 设A型轿车每辆的进价为 x 万元，B型轿车每辆的进价为 y 万元，
10x+20y=400,9x+14y=300,
解得
x=10,y=15.
答：A型轿车每辆 10 万元，B型轿车每辆 15 万元．
（2） 设该汽车销售商店购进A型轿车 a 辆．
10a+1560−a≤700,
解得
a≥40.
答：该汽车销售商店至少购进A型轿车 40 辆．
25. （1） 15
【解析】由题意可得，
∵ 点 D1,2，E−2,1，F0,6，
∴a=1−−2=3，h=6−1=5，
∴S=ah=3×5=15．
（2） 由题意可得，
“水平底”a=1−−2=3，
当 t>2 时，h=t−1，
则 3t−1=18，
解得 t=7，
故点 F 的坐标为 0,7；
当 1≤t≤2 时，h=2−1=1≠3，
故此种情况不符合题意；
当 t<1 时，h=2−t，
则 32−t=18，
解得 t=−4，
故点 F 的坐标为 0,−4，
所以，点 F 的坐标为 0,7 或 0,−4．
26. （1） ∵a，b 满足 a−3b+a+b−42=0，
∴a−3b=0，且 a+b−4=0，
∴a=3，b=1．
（2） 设 A 灯转动 x 秒，两灯的光束互相平行，
①在灯 A 射线转到 AN 之前，3t=20+t×1，解得 t=10；
②在灯 A 射线转到 AN 之后，3t−3×60+20+t×1=180∘，解得 t=85．
综上所述，当 t=10 秒或 85 秒时，两灯的光束互相平行．
（3） 设灯 A 射线转动时间为 t 秒，
∵∠CAN=180∘−3t，
∴∠BAC=45∘−180∘−3t=3t−135∘，
又 ∵PQ∥MN，
∴∠BAC=∠CBD+∠CAN=t+180∘−3t=180∘−2t，
而 ∠ACD=90∘，
∴∠BCD=90∘−∠BCA=90∘−180∘−2t=2y−90∘，
∴∠BAC:∠BCD=3:2，即 2∠BAC=3∠BCD．
27. （1） −2；2
【解析】由题意可知，圆的半径为 2，
∴OA=OB=2，
∴A 表示数 −2，B 表示数 2．
（2） ① 5
由题意画出图形如图所示：
②画图如图所示：
M 点表示 5，N 点表示 −3+5．
【解析】①
∵ 面积为 5，
∴ 边长 a=5．
28. （1） A
【解析】如图 1 中，
∵A−1,1，B−1,2，C2,−4，P2,0，
∴S△AOP=12×2×1=1，
S△OPB=12×2×2=2，
S△OPC=12×2×4=4，
∴ 点 A 是线段 OP 的“单位面积点”．
（2） 如图 2 中，
当点 D 为线段 OʹPʹ 的“单位面积点”时，
∣3−t∣=1，
解得：t=2 或 t=4，
当点 E 为线段 OʹPʹ 的“单位面积点”时，
∣4−t∣=1，
解得：t=3 或 t=5，
∴ 线段 DE 上存在线段 OʹPʹ 的“单位面积点”，t 的取值范围为 2≤t≤3 或 4≤t≤5．
（3） 1,−3 或 1,9 或 3,1 或 3,5．
【解析】如图 3 中，
∵P2,0，F2,2，
∴PF=2，PF∥y 轴，
∵ 点 M 是线段 PF 的“单位面积点”，且点 M 的纵坐标为 3，
∴M1,3 或 3,3，
当 M1,3 时，设 N1,t，
由题意，12×1×∣3−t∣=3，
解得 t=−3 或 9，
∴N1,−3 或 1,9，
当 M3,3 时，设 N3,n，
由题意，12×3×∣3−n∣=3，
解得 n=1和5，
∴N3,1 或 3,5，
综上所述，满足条件的点 N 的坐标为 1,−3 或 1,9 或 3,1 或 3,5．
29. （1） ∵30÷3=10，
∴10 秒后 ON 与 OC 重合．
（2） ∵MN∥AB，
∴∠BOM=∠M=30∘，
∵∠AON+∠BOM=90∘，
∴∠AON=60∘，
∴t=60÷3=20，
∴ 经过 t 秒后，MN∥AB，t=20 秒．
（3） 如图 3 所示：
∵∠AON+∠BOM=90∘，∠BOC=∠BOM，
∵ 三角板绕点 O 以每秒 3∘ 的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6∘ 的速度旋转，
设 ∠AON=3t，则 ∠AOC=30∘+6t，
∵OC 与 OM 重合，
∵∠AOC+∠BOC=180∘，
可得：30∘+6t+90∘−3t=180∘，解得：t=20 秒；
即经过 20 秒时间 OC 与 OM 重合．
（4） 如图 4 所示：
∵∠AON+∠BOM=90∘，∠BOC=∠COM，
∵ 三角板绕点 O 以每秒 3∘ 的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6∘ 的速度旋转，
设 ∠AON=3t，∠AOC=30∘+6t，
∵∠BOM+∠AON=90∘，
∴∠BOC=∠COM=12∠BOM=1290∘−3t，
由题意得：180∘−30∘+6t=1290∘−3t，
解得：t=703 秒；
即经过 703 秒时间 OC 平分 ∠MOB．