2018年武汉市汉阳区中考模拟数学试卷

这是一份2018年武汉市汉阳区中考模拟数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 温度从 −2∘C 上升 3∘C 后是
A. 1∘CB. −1∘CC. 3∘CD. 5∘C

2. 若代数式 1x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x<1B. x>1C. x≠1D. x=1

3. 下列运算中结果正确的是
A. 3a+2b=5abB. 5y−3y=2
C. −3x+5x=−8xD. 3x2y−2x2y=x2y

4. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为
A. 112B. 512C. 16D. 12

5. 运用乘法公式计算 a−22 的结果是
A. a2−4a+4B. a2−2a+4C. a2−4D. a2−4a−4

6. 点 −1,4 关于坐标原点对称的点的坐标是
A. −1,−4B. 1,−4C. 1,4D. 4,−1

7. 由 9 个大小相同的小正方体组合成一个几何体，其俯视图如图所示，其中正方形中的数据表示该位置的小正方体的个数，则该几何体的左视图为
A. B.
C. D.

8. 某青年排球队 12 名队员的年龄情况如表：
年龄1819202122人数1xy22
其中 x>y，中位数为 20，则这个队队员年龄的众数是
A. 3B. 4C. 19D. 20

9. 如图，在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一动点，P 和 C 不重合，连接 AP，AP 的垂直平分线交 BD 于点 G，交 AP 于点 E，在 P 点由 B 点到 C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是
A. 变大B. 先变大后变小C. 先变小后变大D. 不变

10. 我们把 1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作 90∘ 圆弧 P1P2，P2P3，P3P4，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接 P1P2，P2P3，P3P4，⋯，得到螺旋折线（如图），已知点 P10,1，P2−1,0，P30,−1，则该折线上的点 P9 的坐标为
A. −6,24B. −6,25C. −5,24D. −5,25

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 16 的化简结果为 = ．

12. 化简 11−a−a1−a 的结果是 ．

13. 口袋中有 5 个小球，分别为 2 个红球和 3 个黄球，它们除颜色外完全相同，随机一次性取出两个小球，取出的小球的颜色都是红色的概率为 ．

14. 如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 Bʹ 处．若 ∠1=∠2=44∘，则 ∠D= 度．

15. 当 x=m 和 x=nm≠n 时，二次函数 y=x2−2x+3 的函数值相等，当 x=m+n 时，函数 y=x2−2x+3 的值为 ．

16. 如图，在菱形 ABCD 中，AD=3+3，∠BAD=60∘，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 ∠EDF=60∘，DF 交 AC 于 G，当 AD=AG 时，EF= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 解方程组 x−y=−1,x+y=−3.

18. 如图，已知 OC=OD，∠OAB=∠OBA，求证：AD=BC．

19. 为提高居民的节水意识，向阳小区开展了以“建设节水型社区，保障用水安全”为主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区 300 户家庭用水情况进行了抽样调查，他在 300 户家庭中，随机调查了 50 户家庭 5 月份的用水量情况，结果如图所示．
注：除第一组含最小值外，其余各组都不含最小值，但含最大值．
（1）试估计该小区 5 月份用水量不高于 12 t 的户数占小区总户数的百分比；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如 0∼6 的中间值为 3）来替代，估计该小区 5 月份的用水量．

20. 某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
（1）现有正方形纸板 162 张，长方形纸板 340 张．若要做两种纸盒共 100 个，设做竖式纸盒 x 个．
①根据题意，完成以下表格：
②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?
（2）若有正方形纸板 162 张，长方形纸板 a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知 290
21. 如图，以 AB 为直径作半圆 O，点 C 是半圆上一点，∠ABC 的平分线交 ⊙O 于 E，D 为 BE 延长线上一点，且 ∠DAE=∠FAE．
（1）求证：AD 为 ⊙O 切线；
（2）若 sin∠BAC=35，求 tan∠AFO 的值．

22. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx+7k<0 与双曲线 y=mx 的相交于 A，B 两点，点 A，B 的横坐标分别 1 和 6．
（1）求 k 和 m 的值；
（2）在 y 轴和双曲线上分别找点 C，D，使以 A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求 C，D 的坐标；
（3）以函数 y=m2x−4 的图象上四个点为顶点的四边形刚好是平行四边形，直接写出该平行四边形的对角线的交点的坐标．

23. 点 D，E 分别为 △ABC 中 AB 边、 BC 边所在直线上的动点，AB=nBD，AC=mED．
（1）如图 1，若 n=1，∠ACB+∠BED=180∘ 时，求证：m=1；
（2）如图 2，若 m=n，∠ACB+∠BDE=180∘ 时，试探究 BD 与 BE 的数量关系，并证明；
（3）如图 3，若 ∠ABC=60∘，∠ACB+∠BDE=180∘，n=3，m=1，BD=2，直接写出 AC 的长．

24. 已知抛物线的顶点是 C0,a（a>0，a 为常数），并经过点 2a,2a，点 D0,2a 为一定点．
（1）求含有常数 a 的抛物线的解析式；
（2）设点 P 是抛物线上任意一点，过 P 作 PH⊥x 轴．垂足是 H，求证：PD=PH；
（3）设过原点 O 的直线 l 与抛物线在笫一象限相交于 A，B 两点，若 DA=2DB 且 S△ABD=42．求 a 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】∵ 温度从 −2∘C 上升 3∘C，
∴−2∘C+3∘C=1∘C．
2. C【解析】依题意得：x−1≠0，
解得 x≠1．
3. D
4. A【解析】抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：5÷30+25+5=5÷60=112．
5. A
【解析】根据完全平方公式，a−22=a2−4a+4．
6. B【解析】∵ 两点关于原点对称，
∴ 横坐标为 1，纵坐标为 −4．
7. D【解析】观察图形可知，该几何体的左视图是．
8. C【解析】依题意有 x+y=12−1−2−2=7，
∵x>y，
∴x≥4，
∴ 这个队队员年龄的众数是 19．
9. D【解析】如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 EO，AG，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AOB=90∘，
∵EG 是 AP 的垂直平分线，
∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90∘，
∴A，E，G，O 四点共圆，
∴∠PAG=∠EOB，
又 ∠APG=∠PAG，
∴∠EOG=∠APG，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC，
∵AE=PE，
∴OE∥BC，
∴∠EOB=∠DBC=12∠ABC，
∵ 菱形 ABCD 固定，
∴∠ABC 的度数固定，即 ∠APG 的度数不变．
10. B
【解析】由题意，P5 在 P2 的正上方，推出 P9 在 P6 的正上方，且到 P6 的距离 =21+5=26，
所以 P9 的坐标为 −6,25．
第二部分
11. 4
【解析】16=4．
12. 1
13. 110
【解析】画树状图如下：
由树状图可知，共有 20 种等可能结果，其中取出的小球的颜色都是红色的结果有 2 种，
∴ 取出的小球的颜色都是红色的概率为 220=110．
14. 114
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠BʹAC，
∴∠BAC=∠ACD=∠BʹAC=12∠1=22∘，
∴∠B=180∘−∠2−∠BAC=180∘−44∘−22∘=114∘，
∴∠D=∠B=114∘．
15. 3
【解析】∵ 当 x=m 和 x=nm≠n 时，二次函数 y=x2−2x+3=x−12+2 的函数值相等，
∴ 以 m，n 为横坐标的点关于直线 x=1 对称，即 m+n2=1，
∴m+n=2，
∵x=m+n，
∴x=2，函数 y=4−4+3=3．
16. 32
【解析】如图，作 EH⊥AD 于 H，在 DH 上取一点 I，使得 EI=DI，连接 BD，
设 AH=x．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∵∠BAD=60∘，
∴△ADB 是等边三角形，
∴DA=DB，∠ADB=∠EDF=60∘，
即 ∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF，
∴∠ADE=∠BDF，
∵∠DAE=∠DBF=60∘，
∴△DAE≌△DBF，
∴DE=DF，
∴△DEF 是等边三角形，
∴DE=DF=EF，
∵AD=AG，∠DAG=30∘，
∴∠ADG=∠AGD=75∘，
∵∠EDG=60∘，
∴∠ADE=15∘，
∵ID=IE，
∴∠IED=∠IDE=15∘，
∴∠EIH=30∘，
在 Rt△AEH 中，HE=3x，IH=3x，IE=ID=23x，
∵AD=3+3，
∴4x+23x=3+3，解得 x=3−32，
∴EH=33−32，DH=3+332，
在 Rt△DEH 中，DE=EH2+DH2=32，
∴EF=DE=32．
第三部分
17.
x−y=−1, ⋯⋯①x+y=−3. ⋯⋯②①+②
，得：
2x=−4.
解得：
x=−2.②−①
，得：
2y=−2.
解得：
y=−1.
则方程组的解为
x=−2,y=−1.
18. 略．
19. （1） 根据题意得：
6+2050×100%=52%；
答：该小区 5 月份用水量不高于 12 t 的户数占小区总户数的百分比是 52%．
（2） 根据题意得：
300×3×6+9×20+15×12+21×7+27×5÷50=3960（吨），
答：该小区 5 月份的用水量大约是 3960 吨．
20. （1） ① x；3100−x
②由题意得
x+2200−1x≤162,4x+3100−x≤340,
解得
38≤x≤40.∵
x 是整数，
∴ x=38,39,40．
∴ 有三种方案：生产竖式纸盒 38 个，横式纸盒 62 个；生产竖式纸盒 39 个，横式纸盒 61 个；生产竖式纸盒 40 个，横式纸盒 60 个．
（2） 设 x 个竖式纸盒需要正方形纸板 x 张，长方形纸板 4x 张；y 个横式纸盒需要正方形纸板 2y 张，长方形纸板 3y 张．
则
x+2y=162,4x+3y=a,
所以
y=648−a5.∵
290 ∴ 68.4 ∵ y 取正整数，
∴ 当取 y=69 时，a=303；当取 y=70 时，a=298；当取 y=71 时，a=293．
21. （1） 如图，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，∠3=∠4，
∴∠4=∠2，
∵AB 为直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠2+∠BAE=90∘，
∴∠4+∠BAE=90∘，即 ∠BAD=90∘，
∴AD⊥AB，
∴AD 为 ⊙O 切线．
（2） ∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘，
在 Rt△ABC 中，
∵sin∠BAC=BCAB=35，
∴ 设 BC=3k，AC=4k，则 AB=5k．
连接 OE 交 AC 于点 G，如图，
∵∠1=∠2，
∴AE=CE，
∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，AG=CG=2k，
∴OG=12BC=32k，
∴EG=OE−OG=k，
∵EG∥CB，
∴△EFG∽△BFC，
∴FGCF=EGBC=k3k=13，
∴FG=14CG=12k，
在 Rt△OGF 中，tan∠GFO=OGFG=32k12k=3，即 tan∠AFO=3．
22. （1） 联立直线和双曲线解析式，消去 y 可得 mx=kx+7，
∵ 点 A，B 的横坐标分别 1 和 6，
∴m=k+7,m6=6k+7, 解得 k=−1,m=6.
（2） 由（1）可知直线解析式为 y=−x+7，双曲线解析式为 y=6x，
∴A1,6，B6,1，
当 AB 为平行四边形的边时，则有 AB∥CD，
设 C0,c，Dd,6d，
∵B 点可看成由 A 点向右平移 5 个单位，再向下平移 5 个单位得到，
∴ 当点 D 在第一象限时，D 点可由 C 点向右平移 5 个单位，再向下平移 5 个单位得到，
∴0+5=d，c−5=5d，解得 d=5，c=315，
∴C0,5，D5,315，
当点 D 在第三象限时，则 C 点可由 D 点向右平移 5 个单位，再向下平移 5 个单位得到，
∴d+5=0，6d−5=c，解得 d=−5，c=−315，
∴C0,−5，D5,−315，
当 AB 为平行四边形的对角线时，则 AB 与 CD 互相平分，
∵C，D 关于线段 AB 的中点 M3.5,3.5 中心对称，
∴D 点必在直线 x=7 上，
∴D 点坐标为 7,67，C 点坐标为 0,437，
综上可知 C，D 的坐标为 C0,5，D5,315 或 C0,−5，D−5,−315 或 C0,437，D7,67．
（3） 由题意可知函数 y=m2x−4 的图象关于 2,0 对称，当图象上四个点为顶点的四边形刚好是平行四边形，则平行四边形也关于 2,0 对称，即对角线的交点为 2,0．
23. （1） 如图 1，过点 A 作 AF∥DE 交 EC 的延长线于点 F，
∵AF∥DE，
∴∠E=∠F，
∵∠ACB+∠E=180∘，∠ACB+∠ACF=180∘，
∴∠ACF=∠E=∠F，
∴AC=AF，
∵AB=BD，∠ABF=∠EBD，
∴△BDE≌△BAF，
∴DE=AF=AC．
∴m=1．
（2） 结论：BE=BD．
理由：如图 2，过点 A 作 AF∥DE 交 EC 的延长线于点 F，
∵AF∥DE，
∴AF:DE=AB:BD=m，∠F=∠E，
∵AC:DE=m，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠F，
∵∠ACB+∠D=180∘，∠ACB+∠ACF=180∘，
∴∠ACF=∠D=∠F=∠E，
∴BE=BD．
（3） AC 的长是 27．
【解析】如图 3 中，在 BC 上取一点 F，使得 AF=AC．作 FH⊥AB 于 H．
∵AF=AC，
∴∠AFC=∠ACF，
∵∠ACF+∠BDE=180∘，∠AFC+∠AFB=180∘，
∴∠AFB=∠EDB，
又 ∠B=∠B，
∴△EDB≌△AFB，
∴BF=BD=2，
在 Rt△BHF 中，
∵∠B=60∘，
∴∠HFB=30∘，
∴BH=12BF=1，FH=3HB=3，
∵AB=6，
∴AH=5，
在 Rt△AFH 中，AF=AH2+FH2=27，
∴AC=AF=27．
24. （1） 设抛物线的解析式为 y=kx2+a，
∵ 经过点 2a,2a，4a2k+a=2a，
∴k=14a．
则抛物线的解析式为 y=14ax2+a．
（2） 连接 PD，设抛物线上一点 Px,y，过 P 作 PH⊥x 轴，PG⊥y 轴，
在 Rt△GDP 中，由勾股定理得 PD2=DG2+PG2=y−2a2+x2=y2−4ay+4a2+x2，
∵y=14ax2+a，
∴x2=4axy−a=4ay−4a2．
∴PD2=y2−4ay+4a2+4ay−4a2=y2=PH2．
∴PD=PH．
（3） 过 B 作 BE⊥x，AF⊥x，由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BF．
∴AO=2OB．
∴B 是 OA 的中点．
∵C 是 OD 的中点，连接 BC，
∴BC=AD2=AF2=BE=DB，过 B 作 BF⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+a2=3a2．
∴3a2=14ax2+a．
∴x2=2a2．
∵x>0，
∴x=2a．
∴B2a,3a2，AO=2OB．
∴S△OBD=S△ABD=42．
∴12×2a×2a=42．
∴2a=4．
∵a>0，
∴a=2．