2018年全国初中数学联合竞赛试卷

这是一份2018年全国初中数学联合竞赛试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（7分）用[x]表示不超过x的最大整数，把x﹣[x]称为x的小数部分．已知，a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，则＝（ ）
A．B．C．1D．
2．（7分）三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（ ）
A．9种B．10种C．11种D．12种
3．（7分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
4．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝（ ）
A．0B．C．﹣D．﹣2
5．（7分）已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为（ ）
A．12B．15C．16D．18
6．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝（ ）
A．B．C．D．
7．（7分）设实数x，y，z满足x+y+z＝1，则M＝xy+2yz+3xz的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题（本题满分21分，每小题7分）（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.）
8．（7分）已知△ABC的顶点A、C在反比例函数（x＞0）的图象上，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB⊥x轴，点B在点A的上方，且AB＝6，则点C的坐标为 ．
9．已知△ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把∠BAC三等分，，则AM＝ ．
10．（7分）在四边形ABCD中，BC∥AD，CA平分∠BCD，O为对角线的交点，CD＝AO，BC＝OD，则∠ABC＝ ．
11．（7分）有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．
12．若质数p，q满足：3q﹣p﹣4＝0，p+q＜111，则pq的最大值为 ．
13．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2．考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M，则M的最大值为 ．
一、（本题满分20分）
14．（20分）已知a，b为正整数，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值．
二、（本题满分50分）
15．（25分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于点D，点E在BD上，AE＝AC．四边形DEFM为正方形，AM的延长线与⊙O交于点N．证明：FN＝DE．
16．（25分）已知：a+b+c＝5，a2+b2+c2＝15，a3+b3+c3＝47．求（a2+ab+b2）（b2+bc+c2）（c2+ca+a2）的值．
三、（本题满分50分）
17．（25分）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
18．（25分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD•AF的值．
2018年全国初中数学联合竞赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分49分，每小题7分）（本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.）
1．（7分）用[x]表示不超过x的最大整数，把x﹣[x]称为x的小数部分．已知，a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，则＝（ ）
A．B．C．1D．
【分析】结合定义找出[t]和[﹣t]，由a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，表示出a、b代入即可得出结论．
【解答】解：t＝＝＝2+，
∴[t]＝3，[﹣t]＝﹣4．
∵是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，
∴a＝2+﹣3＝﹣1，b＝﹣（2+）﹣（﹣4）＝2﹣．
﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝．
故选：A．
2．（7分）三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（ ）
A．9种B．10种C．11种D．12种
【分析】设10元的a本，15元的b本，则20元的（30﹣a﹣b）本，根据“用500元购买上述图书”列出方程，并求得其整数解即可．
【解答】解：设10元的a本，15元的b本，则20元的（30﹣a﹣b）本，
依题意得：10a+15b+20（30﹣a﹣b）＝500，
整理，得
2a+b＝20．
①当b＝2时，a＝9，
②当b＝4时，a＝8．
③当b＝6时，a＝7．
④当b＝8时，a＝6．
⑤当b＝10时，a＝5．
⑥当b＝12时，a＝4．
⑦当b＝14时，a＝3．
⑧当b＝16时，a＝2．
⑨当b＝18时，a＝1．
所以 共9种．
故选：A．
3．（7分）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3＝2（12k2+1）（其中k为非负整数），然后再分析计算即可．
【解答】解：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3
＝[（2k+1）﹣（2k﹣1）][（2k+1）2+（2k+1）（2k﹣1）+（2k﹣1）2]
＝2（12k2+1）（其中k为非负整数），
由2（12k2+1）≤2016得，k≤
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，
它们的和为[13﹣（﹣1）3]+（33﹣13）+（53﹣33）+…+（173﹣153）+（193﹣173）＝193+1＝6860．
故选：B．
4．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝（ ）
A．0B．C．﹣D．﹣2
【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＜0，﹣＜0，a+b+1＝0，
故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，
于是﹣1＜a＜0，
∴﹣1＜2a+1＜1
又a﹣b为整数，
∴2a+1＝0，
故a＝b＝﹣，ab＝，
故选：B．
5．（7分）已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为（ ）
A．12B．15C．16D．18
【分析】设OC＝x，根据垂径定理可得出AC＝4，利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而得出OC的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
设OC＝x，则OA＝OD＝x+2，
∵OD⊥AB于C，
∴
在Rt△OAC中，OC2+AC2＝OA2，即x2+42＝（x+2）2，
解得x＝3，即OC＝3，
∵OC为△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∴．
故选：A．
6．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AH⊥BD于点H，利用有两个角相等的三角形相似判定△AMH∽△CMD，根据相似三角形的性质得比例式，设AM＝x，用含x的式子分别表示出CM、AH、BM，再由面积法得出AH的第二种表示方法，从而得关于x的方程，解得x的值，则CM的值可得，然后用勾股定理求得DM即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BD于点H，
∵∠AHM＝∠CDM＝90°，∠AMH＝∠CMD
∴△AMH∽△CMD，
∴，
∵CD＝1，
∴，
设AM＝x，由于AC＝，故，
∴
在Rt△ABM中，AB＝
由勾股定理得：，
则
∴，
显然x≠0，化简整理得
解得，（不符合题意，舍去），
故，
在Rt△CDM中，，
故选：D．
7．（7分）设实数x，y，z满足x+y+z＝1，则M＝xy+2yz+3xz的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据已知条件可得M＝xy+2yz+3xz＝﹣x2+x+﹣﹣2z2+2z﹣+，配方法得到原式＝﹣（x﹣）2﹣2（z﹣）2+，依此可得M＝xy+2yz+3xz的最大值．
【解答】解：M＝xy+2yz+3xz
＝xy+xz+2yz+2xz
＝x（y+z）+2z（x+y）
＝x（1﹣x）+2z（1﹣z）
＝﹣x2+x+﹣﹣2z2+2z﹣+
＝﹣（x﹣）2﹣2（z﹣）2+，
故M＝xy+2yz+3xz的最大值为．
故选：C．
二、填空题（本题满分21分，每小题7分）（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.）
8．（7分）已知△ABC的顶点A、C在反比例函数（x＞0）的图象上，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB⊥x轴，点B在点A的上方，且AB＝6，则点C的坐标为 （，2） ．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，解直角三角形求出BC、BD、CD，得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵在Rt△ACB中，
∴在Rt△BCD中，，，
∴，
设，
依题意知n＞m＞0，故，
于是，
解得：，
＝＝2，
故点C的坐标为，
故答案为：（，2）．
9．已知△ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把∠BAC三等分，，则AM＝ 2 ．
【分析】过M作MN⊥AB于N，依据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，即可得到DM＝NM＝CM＝BM，进而得到∠B＝30°，再根据解直角三角形，即可得出AM的长．
【解答】解：如图所示，过M作MN⊥AB于N，
∵高AD和中线AM恰好把∠BAC三等分，
∴∠CAD＝∠MAD＝∠NAM，∠ADC＝∠ADM＝90°，
∴∠C＝∠AMD，
∴AM＝AC，
又∵AD⊥CM，
∴DM＝DC（三线合一），
∵AM平分∠BAD，MN⊥AB，AD⊥BD，
∴DM＝NM＝CM，
又∵BM＝CM，
∴MN＝BM，
∴∠B＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAM＝×60°＝30°，
∵Rt△ADM中，AD＝，
∴AM＝＝＝2．
故答案为：2．
10．（7分）在四边形ABCD中，BC∥AD，CA平分∠BCD，O为对角线的交点，CD＝AO，BC＝OD，则∠ABC＝ 126° ．
【分析】根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质与判定可得3∠BCA+∠ADO＝180°，进而可求解∠DBC＝∠DCB＝72°，∠DBA＝54°，利用∠ABC＝∠DBC+∠DBA可求解．
【解答】解：如图，
∵∠BCA＝∠DCA，BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∵CD＝AO，
∴AD＝AO，∠AOD＝∠ADO＝∠BOC，
∵∠CBD＝∠ADB，
∴∠COB＝∠CBO，CB＝CO，
∵CB＝OD，
∴CO＝OD，
∵∠OCD＝∠ODC，
∴3∠BCA+∠ADO＝180°，
∴∠BCA＝36°，∠BCA＝2∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝72°，
∴∠DBC＝∠DCB＝72°，
∴BD＝CD＝AD，
又∠BDA＝72°，
∴∠DBA＝54°，
∴∠CBA＝72°+54°＝126°．
11．（7分）有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 167334 ．
【分析】设两个三位数为A、B，根据题意得出等式解答即可．
【解答】解：设两个三位数为A、B，1000A+B＝3AB，
则B＝（3B﹣1000）A，
所以A、B都是三位数，
则B≥334，3B﹣1000≤9，
所以334≤B≤336，
当B＝334时，A＝167，
当B＝335时，A＝67（舍去），
当B＝336时，A＝42（舍去），
综上，A＝167，B＝334，六位数为167334．
故答案为：167334．
12．若质数p，q满足：3q﹣p﹣4＝0，p+q＜111，则pq的最大值为 1007 ．
【分析】根据已知分别得出q，p的取值范围，进而结合质数的定义得出p，q的最值，进而得出答案．
【解答】解：∵3q﹣p﹣4＝0，
∴p＝3q﹣4
∵p+q＜111，
∴3q+q﹣4＜111，
解得：q＜28.75，
∵3q﹣p﹣4＝0，
∴3q＝p+4，
则q＝，
∵p+q＜111，
∴+p＜111，
解得：p＜82.25，
∵pq的最大，
∴当q取最大质数23时，p＝65不合题意舍去，
则q＝19时，P＝53，此时符合题意，
故pq的最大值为：19×53＝1007．
故答案为：1007．
13．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2．考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M，则M的最大值为 10 ．
【分析】依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定M的最大值．
【解答】解：（1）若5个1分布在同一列，则M＝5；
（2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2M≤5×1+5×3＝20，故M≤10；
（3）若5个1分布在三列中，则由题意知这两三中出现的最大数至多为3，故3M≤5×1+5×2+5×3＝30，故M≤10；
（4）若5个1分布在四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾．
综上所述，M≤10．
另一方面，如下表的例子说明M可以取到10．故M的最大值为10．
故答案为：10．
一、（本题满分20分）
14．（20分）已知a，b为正整数，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值．
【分析】a，b为正整数，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值为正整数，显然有a≥2，再分当a＝2时；当a＝3时；当a＝4时；进行讨论，并且证明M≠1即可求解．
【解答】解：∵a，b为正整数，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值为正整数，显然有a≥2，
当a＝2时，b只能为1，此时M＝4，故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值不超过4；
当a＝3时，b只能为1或2，若b＝1，则M＝18，若b＝2，则M＝7；
当a＝4时，b只能为1或2或3，若b＝1，则M＝38，若b＝2，则M＝24，若b＝，3，则M＝2；
M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值能否为1？
若M＝1，即3a2﹣ab2﹣2b﹣4＝1，即3a2﹣ab2＝2b+5①，注意到2b+5为奇数，
所以a是奇数，并且证明，b是偶数，
此时3a2﹣ab2被4所得余数为3，2b+5被4所得余数，1，
故①式不可能成立，即M≠1．
故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值为2．
二、（本题满分50分）
15．（25分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于点D，点E在BD上，AE＝AC．四边形DEFM为正方形，AM的延长线与⊙O交于点N．证明：FN＝DE．
【分析】连接BC、BN．根据已知条件证明△ACB∽△ADC，可得AC2＝AD•AB，证明△ANB∽△ADM，可得AC2＝AM•AN，由AE＝AC，可得AE2＝AM•AN，以点F为圆心、FE为半径作⊙F，与直线AM交于另一点P，则⊙F与AB切于点E，即AE是⊙F的切线，直线AMP是⊙F的割线，由切割线定理得，AE2＝AM•AP，可得AN＝AP，即点N与点P重合，点N在⊙F上，进而可得结论．
【解答】证明：如图，连接BC、BN．
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，
∴∠ACB＝∠ANB＝∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ADC，
∴△ACB∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AD•AB，
由四边形DEFM是正方形及CD⊥AB于点D可知：
点M在CD上，DE＝DM＝EF＝MF，
∵∠NAB＝∠DAM，∠ANB＝∠ADM，
∴△ANB∽△ADM，
∴，
∴AD•AB＝AM•AN，
∴AC2＝AM•AN，
∵AE＝AC，
∴AE2＝AM•AN
以点F为圆心、FE为半径作⊙F，
与直线AM交于另一点P，
则⊙F与AB切于点E，
即AE是⊙F的切线，
直线AMP是⊙F的割线，
∵∠EAM＝∠PAE，∠AAEM＝∠APE＝45°，
∴△AEM∽△APE，
∴＝，
∴AE2＝AM•AP，
∴AN＝AP，
即点N与点P重合，点N在⊙F上，
∴FN＝FE＝DE．
16．（25分）已知：a+b+c＝5，a2+b2+c2＝15，a3+b3+c3＝47．求（a2+ab+b2）（b2+bc+c2）（c2+ca+a2）的值．
【分析】根据完全平方公式可得，由恒等式a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca），代入数据可得abc的值，再把所求式子化为53（4﹣a）（4﹣b）（4﹣c），然后根据恒等式（t﹣a）（t﹣b）（t﹣c）＝t3﹣（a+b+c）t2+（ab+bc+ca）t﹣abc计算即可．
【解答】解：由已知得，
由恒等式a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）得，47﹣3abc＝5×（15﹣5），
∴abc＝﹣1，
又a2+ab+b2＝（a+b+c）（a+b）﹣（ab+bc+ca）＝5（5﹣c）﹣5＝5（4﹣c），
同理可得b2+bc+c2＝5（4﹣a），c2+ca+a2＝5（4﹣b），
∴原式＝53（4﹣a）（4﹣b）（4﹣c）＝125[64﹣16（a+b+c）+4（ab+bc+ca）﹣abc]＝125×[64﹣16×5+4×5﹣（﹣1）]＝625．
三、（本题满分50分）
17．（25分）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
【分析】（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；
（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．
【解答】解：（1）由等式，
去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，
x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，
xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）＝0，
∴xyz＝x+y+z，
∴原式＝．
（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，
又∵x，y，z为正实数，
∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）
＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）
＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz
＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．
∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；
（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．
18．（25分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD•AF的值．
【分析】先判断出∠ABD＝∠ACB，再判断出∠BED＝∠BCF，∠AED＝∠ACD＝∠ACB，进而判断出点A，E，B，D四点共圆，得出∠BED＝∠BAD进而判断出点A，B，F，C四点共圆，得出∠AFB＝∠ACB＝∠ABD，判断出△AFB∽△ABD，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AE，ED，CF，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB．
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴∠BED＝∠BCF，∠AED＝∠ACD＝∠ACB．
∴∠ABD＝∠AED，
∴A，E，B，D四点共圆，
∴∠BED＝∠BAD（同弧所对得圆周角相等）．
∴∠BAD＝∠BCF．
∴A，B，F，C四点共圆．
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABD．
∴△AFB∽△ABD．
∴．
∴．
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日期：2021/8/16 23:17:03；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298