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2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在上面扎出“M”，再把它铺平，你见到的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
3．（4分）如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（2x2）3＝8x5 B．（2x2）3＝6x5 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x2）3＝8x6
5．（4分）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA
6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．（4分）已知（x﹣5）（x+a）＝x2+bx﹣15，则b的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3
8．（4分）如图，通过尺规作图，得到△COD≌△C′O′D′，再利用全等三角形的性质，得到了∠A'O'B'＝∠AOB，那么，根据尺规作图得到△COD≌△C′O′D′的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
9．（4分）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
10．（4分）如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
11．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点．连接AD，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点．若S△DEF＝2，则S△ABC等于（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：2x2•x＝ ．
14．（4分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 ．
15．（4分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．
16．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
17．（4分）若长方形的周长为20，其中一边长为x（x＞0），面积为y，则y与x之间的关系式为 ．
18．（4分）定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”．例如：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”．则不大于200的所有“平方差数”之和为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）（12a3﹣9a2+3a）÷3a．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
（1）△ABF与△DCE全等吗？请说明理由；
（2）请说明AF∥DE．
21．（10分）如图，已知△ABC．
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D；作BC的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，连接DF；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接CF．如果DF∥CB，猜想并说明∠BCF与∠BDF存在的数量关系．
22．（10分）已有两根长度分别为4cm和5cm的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这7张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了3cm、4cm、4cm、5cm、6cm、7cm、7cm．把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：
（1）判断事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率；
（2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率；
（3）小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．三角形周长为奇数，小兰胜；三角形周长为偶数，小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则．
23．（10分）阅读思考：
我们知道：152＝225＝1×（1+1）×100+5×5；32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8；74×76＝5624＝7×（7+1）×100+4×6；66×64＝4224＝6×（6+1）×100+6×4．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①37×33；
②95×95；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为10a+m，10a+n．如果m+n＝10，上述规律可表示为（10a+m）（10a+n）＝100a（a+1）+mn，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果a+b＝10，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
24．（10分）甲、乙两地的路程为300km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进．设汽车出发xh后离甲地的路程为ykm，图中折线O﹣C﹣D﹣E表示y与x之间的函数关系．
（1）根据图象，直接写出休息前汽车行驶的速度；
（2）若线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣40；当上午10点时，求汽车离开甲地的距离是多少km？
（3）上午11点接到通知，要求12点准时到达乙地，请问汽车仍按原速行驶能否准时到达？如果能，请算出到达的时间；如果不能，请求出速度提升为多少时，汽车能在12点准时到达乙地？
25．（10分）如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．
（1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由；
（2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE；
（3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为l同侧的A，B两个居民小区发送快件．
（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图1中，画出点P的大致位置；
（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图2中画出点M的大致位置；
（3）如图3，D是△ABC内一点，连接BD，DC．延长BD交AC于点E．
∵在△DEC中，DE+EC＞DC①，
在△ABE中，AB+AE＞BD+DE②，
∴①+②得DE+EC+AB+AE＞DC+BD+DE；
∴AB+AC＞BD+DC．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图4中，画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．
2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在上面扎出“M”，再把它铺平，你见到的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可知所得到的图形是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合要求的选项即可．
【解答】解：观察选项可得：A选项是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
2．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
3．（4分）如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝40°，再根据平角的定义即可得解．
【解答】解：如图，
∵m∥n，∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝140°，
故选：B．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（2x2）3＝8x5 B．（2x2）3＝6x5 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x2）3＝8x6
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：A．（2x2）3＝8x6，因此选项A不符合题意；
B．（2x2）3＝8x6，因此选项B不符合题意；
C．（2x2）3＝8x6，因此选项C不符合题意；
D．（2x2）3＝8x6，因此选项D符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA
【分析】根据三角形高线的定义，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD为AC边上的高．
【解答】解：由题意可知，△ABC的边AC上的高是线段BD．
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．
故选：C．
7．（4分）已知（x﹣5）（x+a）＝x2+bx﹣15，则b的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
【解答】解：（x﹣5）（x+a）
＝x2+ax﹣5x﹣5a
＝x2+（a﹣5）﹣5a，
∵（x﹣5）（x+a）＝x2+bx﹣15，
∴5a＝15，b＝a﹣5，
解得：a＝3，b＝﹣2，
故选：B．
8．（4分）如图，通过尺规作图，得到△COD≌△C′O′D′，再利用全等三角形的性质，得到了∠A'O'B'＝∠AOB，那么，根据尺规作图得到△COD≌△C′O′D′的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【分析】利用作法得到OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法得到正确选项．
【解答】解：由作图得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
则根据”SSS“可判断△COD≌△C′O′D′，
所以∠A'O'B'＝∠AOB．
故选：C．
9．（4分）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
【解答】解：左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：B．
10．（4分）如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB＝∠CAB，根据角平分线性质得出BN＝BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
【解答】解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB＝∠CAB，
∴BN＝BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC＝3，
∴×AC×BN＝6，
∴BN＝4，
∴BM＝4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选：A．
11．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点．连接AD，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点．若S△DEF＝2，则S△ABC等于（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】由S△DEF＝2，F为EC中点，可得S△DFC＝S△DEF＝2，因此S△DEC＝2+2＝4，同理可得S△DAC＝4+4＝8，进而可得S△ABC＝8+8＝16．
【解答】解：∵S△DEF＝2，F为EC中点，
∴S△DFC＝S△DEF＝2，
∴S△DEC＝2+2＝4．
∵E为AD中点，
∴S△DEC＝S△AEC＝4，
∴S△DAC＝4+4＝8，
又D为BC中点，
∴S△DAB＝S△DAC＝8，
∴S△ABC＝8+8＝16．
故选：A．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝•BC•AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：2x2•x＝ 2x3 ．
【分析】结合单项式乘单项式的运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
求解即可．
【解答】解：2x2•x
＝2x2+1
＝2x3．
故答案为：2x3．
14．（4分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 8.23×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000823用科学记数法表示为8.23×10﹣7．
故答案为：8.23×10﹣7．
15．（4分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．
【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），
其中男生30人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
17．（4分）若长方形的周长为20，其中一边长为x（x＞0），面积为y，则y与x之间的关系式为 y＝（10﹣x）x ．
【分析】首先利用x表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（10﹣x）cm．
则y＝（10﹣x）x．
故答案是：y＝（10﹣x）x．
18．（4分）定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”．例如：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”．则不大于200的所有“平方差数”之和为 10000 ．
【分析】先根据题意可知“平方差数”都是奇数，所以1﹣200之间的平方差数为1，3，5，7，•••197，199，再由题意1+3+5+7+9+•••+197+199＝12﹣02+22﹣12+32﹣22+42﹣32+52﹣42+•••+992﹣982+1002，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，
∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，
∴可知“平方差数”都是奇数，
∴1﹣200之间的平方差数为1，3，5，7，•••197，199，
∴1+3+5+7+9+•••+197+199＝12﹣02+22﹣12+32﹣22+42﹣32+52﹣42+•••+992﹣982+1002﹣992＝1002＝10000．
故答案为：10000．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）（12a3﹣9a2+3a）÷3a．
【分析】（1）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式计算得出答案；
（2）直接利用多项式除单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（a+b）2+a（a﹣2b）
＝a2+2ab+b2+a2﹣2ab
＝2a2+b2；
（2）（12a3﹣9a2+3a）÷3a
＝12a3÷3a﹣9a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣3a+1．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
（1）△ABF与△DCE全等吗？请说明理由；
（2）请说明AF∥DE．
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】（1）解：结论：△ABF≌△DCE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
21．（10分）如图，已知△ABC．
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D；作BC的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，连接DF；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接CF．如果DF∥CB，猜想并说明∠BCF与∠BDF存在的数量关系．
【分析】（1）根据基本作图作∠ABC的平分线和线段BC的垂直平分线即可；
（2）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠BDF＝∠DBC＝∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，则∠BCF＝∠CBF，从而得到∠BCF＝2∠BDF．
【解答】解：（1）如图，BD、EF为所作；
（2）∠BCF＝2∠BDF．
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵DF∥BC，
∴∠BDF＝∠DBC＝∠ABC，
∴EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠BCF＝∠CBF，
∴∠BCF＝2∠BDF．
22．（10分）已有两根长度分别为4cm和5cm的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这7张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了3cm、4cm、4cm、5cm、6cm、7cm、7cm．把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：
（1）判断事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率；
（2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率；
（3）小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．三角形周长为奇数，小兰胜；三角形周长为偶数，小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则．
【分析】（1）根据等边三角形的判定和不可能事件的定义计算判断；
（2）先确定等腰三角形的结果数，然后根据概率公式计算；
（3）先写出所有三角形的周长，再求出小兰胜的概率和小英胜的概率，接着比较两概率的大小可判断游戏不公平，然后根据三角形周长的大小写出公平的游戏规则．
【解答】解：（1）事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是不可能事件，其发生的概率为0；
（2）抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的有4cm，4cm，5cm，
所以抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率＝；
（3）取出一张卡片上标注的数据对应的线段与4cm和5cm组成三角形的周长为12cm，13cm，13cm，14cm，15cm，16cm，16cm，
因为三角形周长为奇数的结果数为3，三角形周长为偶数的结果数为4，
所以小兰胜的概率＝，小英胜的概率＝，
而＜，
所以游戏不公平．
公平的游戏规则可为：取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长大小作为游戏规则，三角形周长小于14cm，小兰胜；三角形周长大于14cm，小英胜．
23．（10分）阅读思考：
我们知道：152＝225＝1×（1+1）×100+5×5；32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8；74×76＝5624＝7×（7+1）×100+4×6；66×64＝4224＝6×（6+1）×100+6×4．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①37×33；
②95×95；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为10a+m，10a+n．如果m+n＝10，上述规律可表示为（10a+m）（10a+n）＝100a（a+1）+mn，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果a+b＝10，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
【分析】根据题目描述，找到其规律，进行运算．
【解答】（1）①37×33＝3×（3+1）×100+3×7＝1221，
②95×95＝9（9+1）×100+5×5＝9025，
（2）由题意知：
（10a+m）×（10a+n）
＝100a²+10am+10an+mn
＝100a²10a（m+n）+mn，
因为m+n＝10，
上式＝100a²10a×10+mn
＝100a（a+1）+mn，
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数分别为10a+c，10b+c，
其规律为（10a+c）×（10b+c）＝（a×b+c）×100+c²，
证明：（10a+c）×（10b+c）
＝100ab+10ac+10bc+c²
＝100ab+10c（a+b）+c²
∵a+b＝10，
上式＝100ab+100c+c²
＝（ab+c）×100+c²．
24．（10分）甲、乙两地的路程为300km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进．设汽车出发xh后离甲地的路程为ykm，图中折线O﹣C﹣D﹣E表示y与x之间的函数关系．
（1）根据图象，直接写出休息前汽车行驶的速度；
（2）若线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣40；当上午10点时，求汽车离开甲地的距离是多少km？
（3）上午11点接到通知，要求12点准时到达乙地，请问汽车仍按原速行驶能否准时到达？如果能，请算出到达的时间；如果不能，请求出速度提升为多少时，汽车能在12点准时到达乙地？
【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出上午10点时汽车出发的时间，再代入函数表达式为y＝80x﹣40即可求解；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可得汽车仍按原速行驶能否准时到达，由汽车距乙地的距离和时间，求出速度即可．
【解答】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80km/h；
答：休息前汽车行驶的速度是80km/h；
（2）上午10点时汽车出发的时间x＝10﹣8＝2（h），
∵线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝80x﹣40，
∴汽车离开甲地的距离y＝80×2﹣40＝120（km），
答：汽车离开甲地的距离是120km；
（3）上午11点接到通知时，汽车离开甲地的距离y＝80×（11﹣8）﹣40＝200（km），
∴上午11点距离乙地的距离为300﹣200＝100（km），
接到通知后，汽车仍按原速行驶，则到乙地还需时间为：100÷80＝1.25（h），
∴汽车仍按原速行驶不能准时到达．
∴汽车要想按时到达速度为：＝100（km/h），
答：汽车仍按原速行驶不能准时到达，速度为速度提升为100km/h时，汽车能在12点准时到达乙地．
25．（10分）如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．
（1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由；
（2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE；
（3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．
【分析】（1）先证明∠BAC＝∠DAE，再由AB＝AD，AE＝AC及三角形全等的判定定理证明△ABC≌△ADE；
（2）过点A作AG⊥CE于点G，可证明△AGC≌△AGE≌△AFC，即可说明2CF＝CE；
（3）由（1）、（2）的结论可推出线段BF，DE，CD的数量关系是BF＝（CD﹣DE）．
【解答】解：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：
如图1，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°﹣∠CAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）如图2，作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGE＝90°，
∵AC＝AE，AG＝AG，
∴Rt△AGC≌Rt△AGE（HL），
∴CG＝EG＝CE，∠CAG＝∠EAG＝∠CAE＝45°，
∴∠ACG＝∠E＝45°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACF＝∠E＝45°，
∵AF⊥CB，
∴∠F＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∵∠ACF＝∠ACG＝45°，AC＝AC，∠CAF＝∠CAG＝45°，
∴△CAF≌△CAG，
∴CF＝CG＝CE，
∴2CF＝CE．
（3）BF＝（CD﹣DE），理由如下：
如图2，由（2）得，CF＝CG＝EG，
∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，
∴CF﹣BC＝EG﹣DE，
∴BF＝DG，
∵DG＝EG﹣DE＝CE﹣DE＝（CD+DE）﹣DE＝（CD﹣DE），
∴BF＝（CD﹣DE）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为l同侧的A，B两个居民小区发送快件．
（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图1中，画出点P的大致位置；
（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图2中画出点M的大致位置；
（3）如图3，D是△ABC内一点，连接BD，DC．延长BD交AC于点E．
∵在△DEC中，DE+EC＞DC①，
在△ABE中，AB+AE＞BD+DE②，
∴①+②得DE+EC+AB+AE＞DC+BD+DE；
∴AB+AC＞BD+DC．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图4中，画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．
【分析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，连接AP，PB，点P即为所求．
（2）如图2中，作点A关于直线l的对称点A′连接A′B交直线l于点M，连接AM，点M即为所求．
（3）如图4中，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′J交直线l于点Q，此时AQ+QJ+BJ的和最小，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．
（2）如图2中，点M即为所求．
（3）如图4中，如图，点Q即为所求，
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日期：2021/8/16 23:22:45；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在上面扎出“M”，再把它铺平，你见到的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
3．（4分）如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（2x2）3＝8x5 B．（2x2）3＝6x5 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x2）3＝8x6
5．（4分）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA
6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．（4分）已知（x﹣5）（x+a）＝x2+bx﹣15，则b的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3
8．（4分）如图，通过尺规作图，得到△COD≌△C′O′D′，再利用全等三角形的性质，得到了∠A'O'B'＝∠AOB，那么，根据尺规作图得到△COD≌△C′O′D′的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
9．（4分）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
10．（4分）如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
11．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点．连接AD，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点．若S△DEF＝2，则S△ABC等于（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：2x2•x＝ ．
14．（4分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 ．
15．（4分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．
16．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
17．（4分）若长方形的周长为20，其中一边长为x（x＞0），面积为y，则y与x之间的关系式为 ．
18．（4分）定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”．例如：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”．则不大于200的所有“平方差数”之和为 ．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）（12a3﹣9a2+3a）÷3a．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
（1）△ABF与△DCE全等吗？请说明理由；
（2）请说明AF∥DE．
21．（10分）如图，已知△ABC．
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D；作BC的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，连接DF；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接CF．如果DF∥CB，猜想并说明∠BCF与∠BDF存在的数量关系．
22．（10分）已有两根长度分别为4cm和5cm的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这7张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了3cm、4cm、4cm、5cm、6cm、7cm、7cm．把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：
（1）判断事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率；
（2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率；
（3）小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．三角形周长为奇数，小兰胜；三角形周长为偶数，小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则．
23．（10分）阅读思考：
我们知道：152＝225＝1×（1+1）×100+5×5；32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8；74×76＝5624＝7×（7+1）×100+4×6；66×64＝4224＝6×（6+1）×100+6×4．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①37×33；
②95×95；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为10a+m，10a+n．如果m+n＝10，上述规律可表示为（10a+m）（10a+n）＝100a（a+1）+mn，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果a+b＝10，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
24．（10分）甲、乙两地的路程为300km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进．设汽车出发xh后离甲地的路程为ykm，图中折线O﹣C﹣D﹣E表示y与x之间的函数关系．
（1）根据图象，直接写出休息前汽车行驶的速度；
（2）若线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣40；当上午10点时，求汽车离开甲地的距离是多少km？
（3）上午11点接到通知，要求12点准时到达乙地，请问汽车仍按原速行驶能否准时到达？如果能，请算出到达的时间；如果不能，请求出速度提升为多少时，汽车能在12点准时到达乙地？
25．（10分）如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．
（1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由；
（2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE；
（3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为l同侧的A，B两个居民小区发送快件．
（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图1中，画出点P的大致位置；
（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图2中画出点M的大致位置；
（3）如图3，D是△ABC内一点，连接BD，DC．延长BD交AC于点E．
∵在△DEC中，DE+EC＞DC①，
在△ABE中，AB+AE＞BD+DE②，
∴①+②得DE+EC+AB+AE＞DC+BD+DE；
∴AB+AC＞BD+DC．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图4中，画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．
2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）将一张长方形纸对折，然后用笔尖在上面扎出“M”，再把它铺平，你见到的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可知所得到的图形是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合要求的选项即可．
【解答】解：观察选项可得：A选项是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
2．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
3．（4分）如图，m∥n，其中∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝40°，再根据平角的定义即可得解．
【解答】解：如图，
∵m∥n，∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝140°，
故选：B．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（2x2）3＝8x5 B．（2x2）3＝6x5 C．（2x2）3＝6x6 D．（2x2）3＝8x6
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算法则进行计算即可．
【解答】解：A．（2x2）3＝8x6，因此选项A不符合题意；
B．（2x2）3＝8x6，因此选项B不符合题意；
C．（2x2）3＝8x6，因此选项C不符合题意；
D．（2x2）3＝8x6，因此选项D符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AE B．线段BA C．线段BD D．线段DA
【分析】根据三角形高线的定义，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD为AC边上的高．
【解答】解：由题意可知，△ABC的边AC上的高是线段BD．
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．
故选：C．
7．（4分）已知（x﹣5）（x+a）＝x2+bx﹣15，则b的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
【解答】解：（x﹣5）（x+a）
＝x2+ax﹣5x﹣5a
＝x2+（a﹣5）﹣5a，
∵（x﹣5）（x+a）＝x2+bx﹣15，
∴5a＝15，b＝a﹣5，
解得：a＝3，b＝﹣2，
故选：B．
8．（4分）如图，通过尺规作图，得到△COD≌△C′O′D′，再利用全等三角形的性质，得到了∠A'O'B'＝∠AOB，那么，根据尺规作图得到△COD≌△C′O′D′的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【分析】利用作法得到OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法得到正确选项．
【解答】解：由作图得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
则根据”SSS“可判断△COD≌△C′O′D′，
所以∠A'O'B'＝∠AOB．
故选：C．
9．（4分）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
【解答】解：左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：B．
10．（4分）如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB＝∠CAB，根据角平分线性质得出BN＝BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
【解答】解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB＝∠CAB，
∴BN＝BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC＝3，
∴×AC×BN＝6，
∴BN＝4，
∴BM＝4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选：A．
11．（4分）如图，在△ABC中，点D是BC边上的中点．连接AD，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点．若S△DEF＝2，则S△ABC等于（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】由S△DEF＝2，F为EC中点，可得S△DFC＝S△DEF＝2，因此S△DEC＝2+2＝4，同理可得S△DAC＝4+4＝8，进而可得S△ABC＝8+8＝16．
【解答】解：∵S△DEF＝2，F为EC中点，
∴S△DFC＝S△DEF＝2，
∴S△DEC＝2+2＝4．
∵E为AD中点，
∴S△DEC＝S△AEC＝4，
∴S△DAC＝4+4＝8，
又D为BC中点，
∴S△DAB＝S△DAC＝8，
∴S△ABC＝8+8＝16．
故选：A．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝•BC•AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：2x2•x＝ 2x3 ．
【分析】结合单项式乘单项式的运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
求解即可．
【解答】解：2x2•x
＝2x2+1
＝2x3．
故答案为：2x3．
14．（4分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 8.23×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000823用科学记数法表示为8.23×10﹣7．
故答案为：8.23×10﹣7．
15．（4分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．
【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），
其中男生30人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
17．（4分）若长方形的周长为20，其中一边长为x（x＞0），面积为y，则y与x之间的关系式为 y＝（10﹣x）x ．
【分析】首先利用x表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（10﹣x）cm．
则y＝（10﹣x）x．
故答案是：y＝（10﹣x）x．
18．（4分）定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”．例如：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”．则不大于200的所有“平方差数”之和为 10000 ．
【分析】先根据题意可知“平方差数”都是奇数，所以1﹣200之间的平方差数为1，3，5，7，•••197，199，再由题意1+3+5+7+9+•••+197+199＝12﹣02+22﹣12+32﹣22+42﹣32+52﹣42+•••+992﹣982+1002，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，
∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，
∴可知“平方差数”都是奇数，
∴1﹣200之间的平方差数为1，3，5，7，•••197，199，
∴1+3+5+7+9+•••+197+199＝12﹣02+22﹣12+32﹣22+42﹣32+52﹣42+•••+992﹣982+1002﹣992＝1002＝10000．
故答案为：10000．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（a+b）2+a（a﹣2b）；
（2）（12a3﹣9a2+3a）÷3a．
【分析】（1）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式计算得出答案；
（2）直接利用多项式除单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（a+b）2+a（a﹣2b）
＝a2+2ab+b2+a2﹣2ab
＝2a2+b2；
（2）（12a3﹣9a2+3a）÷3a
＝12a3÷3a﹣9a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣3a+1．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
（1）△ABF与△DCE全等吗？请说明理由；
（2）请说明AF∥DE．
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】（1）解：结论：△ABF≌△DCE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
21．（10分）如图，已知△ABC．
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D；作BC的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，连接DF；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接CF．如果DF∥CB，猜想并说明∠BCF与∠BDF存在的数量关系．
【分析】（1）根据基本作图作∠ABC的平分线和线段BC的垂直平分线即可；
（2）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠BDF＝∠DBC＝∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，则∠BCF＝∠CBF，从而得到∠BCF＝2∠BDF．
【解答】解：（1）如图，BD、EF为所作；
（2）∠BCF＝2∠BDF．
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵DF∥BC，
∴∠BDF＝∠DBC＝∠ABC，
∴EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠BCF＝∠CBF，
∴∠BCF＝2∠BDF．
22．（10分）已有两根长度分别为4cm和5cm的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这7张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了3cm、4cm、4cm、5cm、6cm、7cm、7cm．把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：
（1）判断事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率；
（2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率；
（3）小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．三角形周长为奇数，小兰胜；三角形周长为偶数，小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则．
【分析】（1）根据等边三角形的判定和不可能事件的定义计算判断；
（2）先确定等腰三角形的结果数，然后根据概率公式计算；
（3）先写出所有三角形的周长，再求出小兰胜的概率和小英胜的概率，接着比较两概率的大小可判断游戏不公平，然后根据三角形周长的大小写出公平的游戏规则．
【解答】解：（1）事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是不可能事件，其发生的概率为0；
（2）抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的有4cm，4cm，5cm，
所以抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率＝；
（3）取出一张卡片上标注的数据对应的线段与4cm和5cm组成三角形的周长为12cm，13cm，13cm，14cm，15cm，16cm，16cm，
因为三角形周长为奇数的结果数为3，三角形周长为偶数的结果数为4，
所以小兰胜的概率＝，小英胜的概率＝，
而＜，
所以游戏不公平．
公平的游戏规则可为：取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长大小作为游戏规则，三角形周长小于14cm，小兰胜；三角形周长大于14cm，小英胜．
23．（10分）阅读思考：
我们知道：152＝225＝1×（1+1）×100+5×5；32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8；74×76＝5624＝7×（7+1）×100+4×6；66×64＝4224＝6×（6+1）×100+6×4．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①37×33；
②95×95；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为10a+m，10a+n．如果m+n＝10，上述规律可表示为（10a+m）（10a+n）＝100a（a+1）+mn，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果a+b＝10，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
【分析】根据题目描述，找到其规律，进行运算．
【解答】（1）①37×33＝3×（3+1）×100+3×7＝1221，
②95×95＝9（9+1）×100+5×5＝9025，
（2）由题意知：
（10a+m）×（10a+n）
＝100a²+10am+10an+mn
＝100a²10a（m+n）+mn，
因为m+n＝10，
上式＝100a²10a×10+mn
＝100a（a+1）+mn，
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数分别为10a+c，10b+c，
其规律为（10a+c）×（10b+c）＝（a×b+c）×100+c²，
证明：（10a+c）×（10b+c）
＝100ab+10ac+10bc+c²
＝100ab+10c（a+b）+c²
∵a+b＝10，
上式＝100ab+100c+c²
＝（ab+c）×100+c²．
24．（10分）甲、乙两地的路程为300km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进．设汽车出发xh后离甲地的路程为ykm，图中折线O﹣C﹣D﹣E表示y与x之间的函数关系．
（1）根据图象，直接写出休息前汽车行驶的速度；
（2）若线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝80x﹣40；当上午10点时，求汽车离开甲地的距离是多少km？
（3）上午11点接到通知，要求12点准时到达乙地，请问汽车仍按原速行驶能否准时到达？如果能，请算出到达的时间；如果不能，请求出速度提升为多少时，汽车能在12点准时到达乙地？
【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出上午10点时汽车出发的时间，再代入函数表达式为y＝80x﹣40即可求解；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可得汽车仍按原速行驶能否准时到达，由汽车距乙地的距离和时间，求出速度即可．
【解答】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80km/h；
答：休息前汽车行驶的速度是80km/h；
（2）上午10点时汽车出发的时间x＝10﹣8＝2（h），
∵线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝80x﹣40，
∴汽车离开甲地的距离y＝80×2﹣40＝120（km），
答：汽车离开甲地的距离是120km；
（3）上午11点接到通知时，汽车离开甲地的距离y＝80×（11﹣8）﹣40＝200（km），
∴上午11点距离乙地的距离为300﹣200＝100（km），
接到通知后，汽车仍按原速行驶，则到乙地还需时间为：100÷80＝1.25（h），
∴汽车仍按原速行驶不能准时到达．
∴汽车要想按时到达速度为：＝100（km/h），
答：汽车仍按原速行驶不能准时到达，速度为速度提升为100km/h时，汽车能在12点准时到达乙地．
25．（10分）如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．
（1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由；
（2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE；
（3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．
【分析】（1）先证明∠BAC＝∠DAE，再由AB＝AD，AE＝AC及三角形全等的判定定理证明△ABC≌△ADE；
（2）过点A作AG⊥CE于点G，可证明△AGC≌△AGE≌△AFC，即可说明2CF＝CE；
（3）由（1）、（2）的结论可推出线段BF，DE，CD的数量关系是BF＝（CD﹣DE）．
【解答】解：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：
如图1，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°﹣∠CAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）如图2，作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGE＝90°，
∵AC＝AE，AG＝AG，
∴Rt△AGC≌Rt△AGE（HL），
∴CG＝EG＝CE，∠CAG＝∠EAG＝∠CAE＝45°，
∴∠ACG＝∠E＝45°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACF＝∠E＝45°，
∵AF⊥CB，
∴∠F＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∵∠ACF＝∠ACG＝45°，AC＝AC，∠CAF＝∠CAG＝45°，
∴△CAF≌△CAG，
∴CF＝CG＝CE，
∴2CF＝CE．
（3）BF＝（CD﹣DE），理由如下：
如图2，由（2）得，CF＝CG＝EG，
∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，
∴CF﹣BC＝EG﹣DE，
∴BF＝DG，
∵DG＝EG﹣DE＝CE﹣DE＝（CD+DE）﹣DE＝（CD﹣DE），
∴BF＝（CD﹣DE）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为l同侧的A，B两个居民小区发送快件．
（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图1中，画出点P的大致位置；
（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图2中画出点M的大致位置；
（3）如图3，D是△ABC内一点，连接BD，DC．延长BD交AC于点E．
∵在△DEC中，DE+EC＞DC①，
在△ABE中，AB+AE＞BD+DE②，
∴①+②得DE+EC+AB+AE＞DC+BD+DE；
∴AB+AC＞BD+DC．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图4中，画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．
【分析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，连接AP，PB，点P即为所求．
（2）如图2中，作点A关于直线l的对称点A′连接A′B交直线l于点M，连接AM，点M即为所求．
（3）如图4中，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′J交直线l于点Q，此时AQ+QJ+BJ的和最小，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．
（2）如图2中，点M即为所求．
（3）如图4中，如图，点Q即为所求，
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