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2020-2021学年吉林省第二实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
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这是一份2020-2021学年吉林省第二实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省第二实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．（3分）记者从长春市城区防汛办公室了解到，台风“海神”到来前，城区按照最高应急响应等级做好充足准备，23支队伍共12300人待命，12300这个数用科学记数法可以表示为（ ）
A．12.3×103 B．1.23×103 C．0.123×105 D．1.23×104
3．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．
下列结论正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠BDN B．BD＝2AD
C．∠DCA＝∠B D．2∠DCB+∠ACD＝90°
7．（3分）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC＝am，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则A处到控制点B的距离可表示为（ ）
A．asinαm B．atanαm C． m D． m
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴正半轴上，点B的坐标为（1，2），直角顶点C的坐标为（m，2），点D是BC边上的一个动点，函数y＝（x＞0）的图象经过点D，此函数图象经过AC的中点，DC的长为2，则k的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）二次函数的图象的开口方向是向 ．
10．（3分）二次函数的最大值是 ．
11．（3分）若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
13．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展开，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上，若CD＝6，则MA′的长为 ．
14．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝．
16．（6分）现有三张鼠年生肖邮票，三张邮票除图案之外，其余都相同，将这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率．（注：三张邮票从左到右依次可标记为A、B、C）
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB、BC的端点均在格点上，只有无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB、BC为邻边画四边形ABCD．
要求：
（1）在图①中画一个含有一个直角的四边形，在图②中画一个只含有两个直角的四边形，在图③中画一个含有三个直角的四边形．
（2）点D在格点上．
18．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
19．（7分）如图，▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC，已知AD＝AF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形．
（2）若AD＝10，AB＝6，则sin∠AFC＝ ．
20．（7分）某校为开展“我运动，我健康”活动，随机调查了n名学生每周参加体育锻炼的时间（单位：小时），并将收集的数据绘制成如下的条形统计图．
（1）求n的值．
（2）求调查的学生平均每周参加体育锻炼的时间．
（3）若规定每周参加锻炼不少于6小时为达标，根据统计结果，估计该校2800名学生中体育锻炼时间达标的人数．
21．（8分）疫情期间，甲、乙口罩生产厂家生产同一型号的口罩，甲厂家生产口罩的数量y甲（万只），乙厂家生产口罩的数量y乙（万只），y甲、y乙与生产天数x（天）之间的函数图象如图所示．
（1）甲每天生产口罩的数量为 万只．
（2）求y乙与x之间的函数关系式．
（3）若乙厂家第6天停止生产任务，甲厂家再生产多少天，使得甲、乙两家口罩的总量达到12万只．
22．（9分）【教材呈现】下图是华师大八年级上册数学教材第89页的部分内容．
请根据教材内容，结合上图，补全证明过程．
【探究】如图①，在△ABC中，E、O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连接DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF．若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 ．
【拓展】如图②，G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．
（1）AF＝ （用含t的代数式表示）．
（2）当点B落在DE上时，求t的值．
（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，点G为抛物线的顶点．
（1）求顶点G的坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，当x≥m，此函数图象上的函数值y随x的增大而减小，写出m的取值范围；
（4）点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间（含M、N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
2020-2021学年吉林省第二实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1，
故选：A．
2．（3分）记者从长春市城区防汛办公室了解到，台风“海神”到来前，城区按照最高应急响应等级做好充足准备，23支队伍共12300人待命，12300这个数用科学记数法可以表示为（ ）
A．12.3×103 B．1.23×103 C．0.123×105 D．1.23×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12300这个数用科学记数法可以表示为1.23×104．
故选：D．
3．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得图形是．
故选：B．
4．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7，即y＝（x﹣2）2﹣7．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≤3，得：x≤2，
解不等式x+1＞2，得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
表示在数轴上如下：
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．
下列结论正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠BDN B．BD＝2AD
C．∠DCA＝∠B D．2∠DCB+∠ACD＝90°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到DB＝DC，即可得出∠B＝∠BCD＜30°，再根据∠BAC＝90°，即可得到∠ACD＞30°，进而得出结论．
【解答】解：由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD＜30°，
∴∠ADC＜60°，∠BDN＞60°，
∴∠ADC＜∠BDN，故A选项错误；
∵∠B＝∠BCD＜30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＞30°，
∴CD≠2AD，即BD≠2AD，故B选项错误；
∠ACD＞∠B，故C选项错误；
由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∴∠ADC＝2∠DCB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
即2∠DCB+∠ACD＝90°，故D选项正确；
故选：D．
7．（3分）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC＝am，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则A处到控制点B的距离可表示为（ ）
A．asinαm B．atanαm C． m D． m
【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正弦值即可求出斜边．
【解答】解：根据题意可得：AC＝am，∠ABC＝α；
则AB＝a÷sinα（m），
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴正半轴上，点B的坐标为（1，2），直角顶点C的坐标为（m，2），点D是BC边上的一个动点，函数y＝（x＞0）的图象经过点D，此函数图象经过AC的中点，DC的长为2，则k的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．3
【分析】根据题意表示出D和AC中点的坐标，由k＝xy，得到k＝m＝（m﹣2）×2，解得即可．
【解答】解：∵点B的坐标为（1，2），直角顶点C的坐标为（m，2），
∴BC∥x轴，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥x轴，
∵函数图象经过AC的中点，DC的长为2，
∴AC的中点（m，1），D（m﹣2，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象经过点D和AC的中点，
∴k＝m＝（m﹣2）×2，
解得m＝4，
∴k＝4，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）二次函数的图象的开口方向是向 上 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数图象的开口方向．
【解答】解：∵二次函数，a＝＞0，
∴该函数图象的开口方向向上，
故答案为：上．
10．（3分）二次函数的最大值是 ．
【分析】直接利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：二次函数，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝3时，y有最大值为．
故答案为．
11．（3分）若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】可先求二次函数y＝x2的对称轴为y轴，根据两点到y轴的距离的大小即可判断．
【解答】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，
∵点（2，y1）到y轴的距离比点（4，y2）到y轴的距离近，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
12．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 20 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣60°﹣140°﹣180°）＝20°，
故答案为：20．
13．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展开，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上，若CD＝6，则MA′的长为 ．
【分析】在Rt△A'BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝＝，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
14．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 3.75 min．
【分析】根据二次函数的性质可得．
【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣4+4x﹣x2
＝4x﹣4，
当x＝时，
原式＝4×（﹣）﹣4
＝﹣﹣4
＝﹣．
16．（6分）现有三张鼠年生肖邮票，三张邮票除图案之外，其余都相同，将这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率．（注：三张邮票从左到右依次可标记为A、B、C）
【分析】先画出树状图，共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的结果有4个，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的结果有4个，
∴抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率为．
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB、BC的端点均在格点上，只有无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB、BC为邻边画四边形ABCD．
要求：
（1）在图①中画一个含有一个直角的四边形，在图②中画一个只含有两个直角的四边形，在图③中画一个含有三个直角的四边形．
（2）点D在格点上．
【分析】①根据条件画一个含有一个直角的四边形即可．
②根据条件画一个只含有两个直角的四边形即可．
③根据条件画一个含有三个直角的四边形即可．
【解答】解：符合条件的四边形如图所示．
18．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）设平移距离为h，根据“左加右减”平移规律写出平移后的解析式，然后代入求值．
【解答】解：（1）把（4，6）代入y＝ax2﹣ax﹣6，得16a﹣4a﹣6＝6，
解得a＝1．
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x﹣6；
（2）设平移距离为h（h＞0），
由抛物线y＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣沿x轴向右平移h个单位后得到抛物线y＝（x﹣﹣h）2﹣．
将代入，得（﹣﹣h）2﹣＝4．
解得h＝．
即平移的距离是．
19．（7分）如图，▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC，已知AD＝AF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形．
（2）若AD＝10，AB＝6，则sin∠AFC＝ ．
【分析】（1）先由AAS判定△ABE≌△FCE，得到AB＝CF，证出四边形ABFC是平行四边形，再证BC＝AF，可得到四边形ABFC是矩形．
（2）先由矩形的性质得∠ACF＝90°，AB＝CF，再由勾股定理去AC＝8，然后由锐角三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC是矩形，
∴∠ACF＝90°，AB＝CF，
∵AB＝CD，
∴CF＝CD＝AB＝6，
∵AF＝AD＝10，
∴AC＝＝＝8，
∴sin∠AFC＝＝＝，
故答案为：．
20．（7分）某校为开展“我运动，我健康”活动，随机调查了n名学生每周参加体育锻炼的时间（单位：小时），并将收集的数据绘制成如下的条形统计图．
（1）求n的值．
（2）求调查的学生平均每周参加体育锻炼的时间．
（3）若规定每周参加锻炼不少于6小时为达标，根据统计结果，估计该校2800名学生中体育锻炼时间达标的人数．
【分析】（1）各组频数的和即为n的值；
（2）利用加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，样本中“达标”所占的百分比为＝80%，因此估计总体800人的80%是达标人数．
【解答】解：（1）n＝6+14+34+36+10＝100，
答：n的值为100；
（2）＝6.3（时），
答：调查的学生平均每周参加体育锻炼的时间为6.3小时；
（3）800×＝640（人），
答：该校2800名学生中体育锻炼时间达标的人数为640人．
21．（8分）疫情期间，甲、乙口罩生产厂家生产同一型号的口罩，甲厂家生产口罩的数量y甲（万只），乙厂家生产口罩的数量y乙（万只），y甲、y乙与生产天数x（天）之间的函数图象如图所示．
（1）甲每天生产口罩的数量为 0.8 万只．
（2）求y乙与x之间的函数关系式．
（3）若乙厂家第6天停止生产任务，甲厂家再生产多少天，使得甲、乙两家口罩的总量达到12万只．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲每天生产口罩的数量；
（2）分段函数，利用待定系数法求解即可；
（3）根据（1）的结论列式计算即可．
【解答】解：（1）甲每天生产口罩的数量为：4.8÷6＝0.8（万只），
故答案为：0.8；
（2）当0≤x≤4时，设y乙与x之间的函数关系式为y＝k1x，
根据题意，得2k1＝4，
解得k1＝2，
∴y＝2x（0≤x≤4）；
当4＜x≤6时，设y乙与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y＝0.2x+3.6（4＜x≤6），
∴y乙与x之间的函数关系式为y＝；
（3）（12﹣4.8×2）÷0.8＝3（天），
即若乙厂家第6天停止生产任务，甲厂家再生产3天，使得甲、乙两家口罩的总量达到12万只．
22．（9分）【教材呈现】下图是华师大八年级上册数学教材第89页的部分内容．
请根据教材内容，结合上图，补全证明过程．
【探究】如图①，在△ABC中，E、O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连接DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF．若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 16 ．
【拓展】如图②，G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 4 ．
【分析】【教材呈现】：证明△AEO≌△CFO可得OE＝OF，AO＝OC，从而得OG＝OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
【探究】：分别根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可计算△AEC和△ABC的面积；
【拓展】：先证明四边形EHFG是矩形，再根据同高三角形面积的关系可得△EOG的面积，从而可得结论．
【解答】【教材呈现】
证明：如图1，连接EF交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵E、F分别是AB和CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，AO＝OC，
∵AG＝CH，
∴AO﹣AG＝OC﹣CH，
即OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
【探究】
解：如图2，连接CE，
由旋转得：S△DEF＝S△DFG，
∵四边形DEFG的面积为8，
∴S△DEF＝4，
∵O是AC的中点，
∴AO＝OC，
∵D、F分别是线段AO、CO的中点，
∴AD＝OD＝OF＝FC，
∴S△AEC＝2S△DEF＝8，
∵E是AB的中点，
∴S△ABC＝2S△AEC＝16；
故答案为：16；
【拓展】
解：如图3，连接EF，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是AB和CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝AB，
∵∠EAD＝90°，
∴▱AEFD是矩形，
∴∠AEF＝90°，
由【教材呈现】中可知：四边形EHFG是平行四边形，
∵GH＝AB，EF＝AB，
∴GH＝EF，
∴四边形EHFG是矩形，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝GH＝EF＝4，
∴AE＝EO＝OG＝2，
由勾股定理得：AO＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵＝，
∴＝，
∴S△EOG＝＝，
∴四边形EHFG的面积＝4×△EOG的面积＝4．
故答案为：4．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．
（1）AF＝ 6t （用含t的代数式表示）．
（2）当点B落在DE上时，求t的值．
（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【分析】（1）由点P的运动可知，AP＝PD＝2t，PF＝2PA＝4t，进而可得AF＝6t；
（2）当点B落在DE上，易得四边形DPCB是矩形，则DP＝BC，可求出t的值；
（3）先分析Rt△ABC，可知，AB＝4cm；根据题意需要分类讨论，AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解；
（4）需要分类讨论，当点E分别在边BC，AC，AB的垂直平分线时，画出对应图形，可求出t的值．
【解答】解：（1）由点P的运动可知，AP＝2t，
∴PD＝AP＝2t，PF＝2PA＝4t，
∴AF＝AP+PF＝6t．
故答案为：6t．
（2）当点B落在DE上时，如图1，
由题意可知，∠DPC＝∠D＝∠BCA＝90°，
∴四边形DPCB是矩形，
∴DP＝BC＝4，即2t＝4，
∴t＝2．
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，
由勾股定理可得，AB＝4．
若△ABF是等腰三角形，则需要分AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况：
①当AB＝AF时，如图2，
此时AF＝6t＝4，
则t＝；
②当BA＝BF时，如图3，
∵BC⊥AF，
∴点C是AF的中点，即AC＝CF＝8，
∴AF＝6t＝16，
∴t＝；
③当FA＝FB时，如图4，
此时点F在AB的垂直平分线MN上．
∴AM＝MB＝2，
∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠ACB＝90°，
∴△AMF∽△ACB，
∴AM：AC＝AF：AB，即2：8＝6t：4，
解得t＝．
综上，当△ABF是等腰三角形时，t的值为，或；
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，需要分三种情况：点E在边BC，AC，AB的垂直平分线时，
①当点E在线段BC的垂直平分线上时，如图5，
由题意可得，∠EFC＝∠C＝∠CQE＝90°，
∴四边形EFCQ是矩形，
∴PD＝EF＝CQ＝BC＝2，即2t＝2，
∴t＝1；
②当点E在线段AC的垂直平分线上时，如图6，
此时点F是AC的中点，即AF＝8，
∴6t＝8，
∴t＝；
③当点E在线段AB的垂直平分线上时，如图7，
由（3）可知，AN：AB＝AM：AC，
∴AN：4＝2：8，
∴AN＝5，
∴FN＝AN﹣AF＝5﹣6t，
又∠ENF＝∠ANM，∠EFN＝∠AMN＝90°，
∴△EFN∽△AMN，
∴EF：FN＝AM：MN＝AC：BC＝2：1，
∴2t：（5﹣6t）＝2：1，解得t＝；
综上，当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，t的值为：1，或．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，点G为抛物线的顶点．
（1）求顶点G的坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，当x≥m，此函数图象上的函数值y随x的增大而减小，写出m的取值范围；
（4）点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间（含M、N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【分析】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即可求解；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，即可求解；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，a＝﹣1＜0，故当x＞1时，函数值y随x的增大而减小，即可求解；
（4）求出点M，点N坐标，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G的坐标为（1，4）；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
故抛物线和x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
故当x＞1时，函数值y随x的增大而减小，
故m≥1；
（4）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点N坐标为（6，﹣21）
∴当点M坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣21≤yQ≤4；
当点M坐标为（4，﹣5）时，﹣21≤yQ≤﹣5，
∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为：﹣21≤yQ≤﹣5或﹣21≤yQ≤4．
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日期：2021/8/17 11:22:02；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年吉林省第二实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．（3分）记者从长春市城区防汛办公室了解到，台风“海神”到来前，城区按照最高应急响应等级做好充足准备，23支队伍共12300人待命，12300这个数用科学记数法可以表示为（ ）
A．12.3×103 B．1.23×103 C．0.123×105 D．1.23×104
3．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．
下列结论正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠BDN B．BD＝2AD
C．∠DCA＝∠B D．2∠DCB+∠ACD＝90°
7．（3分）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC＝am，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则A处到控制点B的距离可表示为（ ）
A．asinαm B．atanαm C． m D． m
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴正半轴上，点B的坐标为（1，2），直角顶点C的坐标为（m，2），点D是BC边上的一个动点，函数y＝（x＞0）的图象经过点D，此函数图象经过AC的中点，DC的长为2，则k的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）二次函数的图象的开口方向是向 ．
10．（3分）二次函数的最大值是 ．
11．（3分）若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °．
13．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展开，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上，若CD＝6，则MA′的长为 ．
14．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝．
16．（6分）现有三张鼠年生肖邮票，三张邮票除图案之外，其余都相同，将这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率．（注：三张邮票从左到右依次可标记为A、B、C）
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB、BC的端点均在格点上，只有无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB、BC为邻边画四边形ABCD．
要求：
（1）在图①中画一个含有一个直角的四边形，在图②中画一个只含有两个直角的四边形，在图③中画一个含有三个直角的四边形．
（2）点D在格点上．
18．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
19．（7分）如图，▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC，已知AD＝AF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形．
（2）若AD＝10，AB＝6，则sin∠AFC＝ ．
20．（7分）某校为开展“我运动，我健康”活动，随机调查了n名学生每周参加体育锻炼的时间（单位：小时），并将收集的数据绘制成如下的条形统计图．
（1）求n的值．
（2）求调查的学生平均每周参加体育锻炼的时间．
（3）若规定每周参加锻炼不少于6小时为达标，根据统计结果，估计该校2800名学生中体育锻炼时间达标的人数．
21．（8分）疫情期间，甲、乙口罩生产厂家生产同一型号的口罩，甲厂家生产口罩的数量y甲（万只），乙厂家生产口罩的数量y乙（万只），y甲、y乙与生产天数x（天）之间的函数图象如图所示．
（1）甲每天生产口罩的数量为 万只．
（2）求y乙与x之间的函数关系式．
（3）若乙厂家第6天停止生产任务，甲厂家再生产多少天，使得甲、乙两家口罩的总量达到12万只．
22．（9分）【教材呈现】下图是华师大八年级上册数学教材第89页的部分内容．
请根据教材内容，结合上图，补全证明过程．
【探究】如图①，在△ABC中，E、O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连接DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF．若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 ．
【拓展】如图②，G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．
（1）AF＝ （用含t的代数式表示）．
（2）当点B落在DE上时，求t的值．
（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，点G为抛物线的顶点．
（1）求顶点G的坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，当x≥m，此函数图象上的函数值y随x的增大而减小，写出m的取值范围；
（4）点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间（含M、N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
2020-2021学年吉林省第二实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1，
故选：A．
2．（3分）记者从长春市城区防汛办公室了解到，台风“海神”到来前，城区按照最高应急响应等级做好充足准备，23支队伍共12300人待命，12300这个数用科学记数法可以表示为（ ）
A．12.3×103 B．1.23×103 C．0.123×105 D．1.23×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12300这个数用科学记数法可以表示为1.23×104．
故选：D．
3．（3分）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得图形是．
故选：B．
4．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7，即y＝（x﹣2）2﹣7．
故选：C．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1≤3，得：x≤2，
解不等式x+1＞2，得：x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
表示在数轴上如下：
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．
下列结论正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠BDN B．BD＝2AD
C．∠DCA＝∠B D．2∠DCB+∠ACD＝90°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到DB＝DC，即可得出∠B＝∠BCD＜30°，再根据∠BAC＝90°，即可得到∠ACD＞30°，进而得出结论．
【解答】解：由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD＜30°，
∴∠ADC＜60°，∠BDN＞60°，
∴∠ADC＜∠BDN，故A选项错误；
∵∠B＝∠BCD＜30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACD＞30°，
∴CD≠2AD，即BD≠2AD，故B选项错误；
∠ACD＞∠B，故C选项错误；
由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∴∠ADC＝2∠DCB，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
即2∠DCB+∠ACD＝90°，故D选项正确；
故选：D．
7．（3分）如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC＝am，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则A处到控制点B的距离可表示为（ ）
A．asinαm B．atanαm C． m D． m
【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正弦值即可求出斜边．
【解答】解：根据题意可得：AC＝am，∠ABC＝α；
则AB＝a÷sinα（m），
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴正半轴上，点B的坐标为（1，2），直角顶点C的坐标为（m，2），点D是BC边上的一个动点，函数y＝（x＞0）的图象经过点D，此函数图象经过AC的中点，DC的长为2，则k的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．3
【分析】根据题意表示出D和AC中点的坐标，由k＝xy，得到k＝m＝（m﹣2）×2，解得即可．
【解答】解：∵点B的坐标为（1，2），直角顶点C的坐标为（m，2），
∴BC∥x轴，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥x轴，
∵函数图象经过AC的中点，DC的长为2，
∴AC的中点（m，1），D（m﹣2，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象经过点D和AC的中点，
∴k＝m＝（m﹣2）×2，
解得m＝4，
∴k＝4，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）二次函数的图象的开口方向是向 上 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数图象的开口方向．
【解答】解：∵二次函数，a＝＞0，
∴该函数图象的开口方向向上，
故答案为：上．
10．（3分）二次函数的最大值是 ．
【分析】直接利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：二次函数，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝3时，y有最大值为．
故答案为．
11．（3分）若点（2，y1）和点（4，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】可先求二次函数y＝x2的对称轴为y轴，根据两点到y轴的距离的大小即可判断．
【解答】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，
∵点（2，y1）到y轴的距离比点（4，y2）到y轴的距离近，
∴y1＜y2，
故答案为＜．
12．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 20 °．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣60°﹣140°﹣180°）＝20°，
故答案为：20．
13．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展开，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上，若CD＝6，则MA′的长为 ．
【分析】在Rt△A'BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝＝，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
14．（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 3.75 min．
【分析】根据二次函数的性质可得．
【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（4﹣x），其中x＝．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣4+4x﹣x2
＝4x﹣4，
当x＝时，
原式＝4×（﹣）﹣4
＝﹣﹣4
＝﹣．
16．（6分）现有三张鼠年生肖邮票，三张邮票除图案之外，其余都相同，将这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率．（注：三张邮票从左到右依次可标记为A、B、C）
【分析】先画出树状图，共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的结果有4个，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的结果有4个，
∴抽到两张图案都是三只老鼠的生肖邮票的概率为．
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB、BC的端点均在格点上，只有无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB、BC为邻边画四边形ABCD．
要求：
（1）在图①中画一个含有一个直角的四边形，在图②中画一个只含有两个直角的四边形，在图③中画一个含有三个直角的四边形．
（2）点D在格点上．
【分析】①根据条件画一个含有一个直角的四边形即可．
②根据条件画一个只含有两个直角的四边形即可．
③根据条件画一个含有三个直角的四边形即可．
【解答】解：符合条件的四边形如图所示．
18．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6经过（4，6）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．
（2）若将此抛物线沿x轴向右平移，平移后的抛物线经过时，求平移的距离．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）设平移距离为h，根据“左加右减”平移规律写出平移后的解析式，然后代入求值．
【解答】解：（1）把（4，6）代入y＝ax2﹣ax﹣6，得16a﹣4a﹣6＝6，
解得a＝1．
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x﹣6；
（2）设平移距离为h（h＞0），
由抛物线y＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣沿x轴向右平移h个单位后得到抛物线y＝（x﹣﹣h）2﹣．
将代入，得（﹣﹣h）2﹣＝4．
解得h＝．
即平移的距离是．
19．（7分）如图，▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC，已知AD＝AF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形．
（2）若AD＝10，AB＝6，则sin∠AFC＝ ．
【分析】（1）先由AAS判定△ABE≌△FCE，得到AB＝CF，证出四边形ABFC是平行四边形，再证BC＝AF，可得到四边形ABFC是矩形．
（2）先由矩形的性质得∠ACF＝90°，AB＝CF，再由勾股定理去AC＝8，然后由锐角三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC是矩形，
∴∠ACF＝90°，AB＝CF，
∵AB＝CD，
∴CF＝CD＝AB＝6，
∵AF＝AD＝10，
∴AC＝＝＝8，
∴sin∠AFC＝＝＝，
故答案为：．
20．（7分）某校为开展“我运动，我健康”活动，随机调查了n名学生每周参加体育锻炼的时间（单位：小时），并将收集的数据绘制成如下的条形统计图．
（1）求n的值．
（2）求调查的学生平均每周参加体育锻炼的时间．
（3）若规定每周参加锻炼不少于6小时为达标，根据统计结果，估计该校2800名学生中体育锻炼时间达标的人数．
【分析】（1）各组频数的和即为n的值；
（2）利用加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，样本中“达标”所占的百分比为＝80%，因此估计总体800人的80%是达标人数．
【解答】解：（1）n＝6+14+34+36+10＝100，
答：n的值为100；
（2）＝6.3（时），
答：调查的学生平均每周参加体育锻炼的时间为6.3小时；
（3）800×＝640（人），
答：该校2800名学生中体育锻炼时间达标的人数为640人．
21．（8分）疫情期间，甲、乙口罩生产厂家生产同一型号的口罩，甲厂家生产口罩的数量y甲（万只），乙厂家生产口罩的数量y乙（万只），y甲、y乙与生产天数x（天）之间的函数图象如图所示．
（1）甲每天生产口罩的数量为 0.8 万只．
（2）求y乙与x之间的函数关系式．
（3）若乙厂家第6天停止生产任务，甲厂家再生产多少天，使得甲、乙两家口罩的总量达到12万只．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲每天生产口罩的数量；
（2）分段函数，利用待定系数法求解即可；
（3）根据（1）的结论列式计算即可．
【解答】解：（1）甲每天生产口罩的数量为：4.8÷6＝0.8（万只），
故答案为：0.8；
（2）当0≤x≤4时，设y乙与x之间的函数关系式为y＝k1x，
根据题意，得2k1＝4，
解得k1＝2，
∴y＝2x（0≤x≤4）；
当4＜x≤6时，设y乙与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y＝0.2x+3.6（4＜x≤6），
∴y乙与x之间的函数关系式为y＝；
（3）（12﹣4.8×2）÷0.8＝3（天），
即若乙厂家第6天停止生产任务，甲厂家再生产3天，使得甲、乙两家口罩的总量达到12万只．
22．（9分）【教材呈现】下图是华师大八年级上册数学教材第89页的部分内容．
请根据教材内容，结合上图，补全证明过程．
【探究】如图①，在△ABC中，E、O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连接DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF．若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 16 ．
【拓展】如图②，G、H是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点，若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 4 ．
【分析】【教材呈现】：证明△AEO≌△CFO可得OE＝OF，AO＝OC，从而得OG＝OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
【探究】：分别根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可计算△AEC和△ABC的面积；
【拓展】：先证明四边形EHFG是矩形，再根据同高三角形面积的关系可得△EOG的面积，从而可得结论．
【解答】【教材呈现】
证明：如图1，连接EF交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵E、F分别是AB和CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，AO＝OC，
∵AG＝CH，
∴AO﹣AG＝OC﹣CH，
即OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
【探究】
解：如图2，连接CE，
由旋转得：S△DEF＝S△DFG，
∵四边形DEFG的面积为8，
∴S△DEF＝4，
∵O是AC的中点，
∴AO＝OC，
∵D、F分别是线段AO、CO的中点，
∴AD＝OD＝OF＝FC，
∴S△AEC＝2S△DEF＝8，
∵E是AB的中点，
∴S△ABC＝2S△AEC＝16；
故答案为：16；
【拓展】
解：如图3，连接EF，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是AB和CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝AB，
∵∠EAD＝90°，
∴▱AEFD是矩形，
∴∠AEF＝90°，
由【教材呈现】中可知：四边形EHFG是平行四边形，
∵GH＝AB，EF＝AB，
∴GH＝EF，
∴四边形EHFG是矩形，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝GH＝EF＝4，
∴AE＝EO＝OG＝2，
由勾股定理得：AO＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵＝，
∴＝，
∴S△EOG＝＝，
∴四边形EHFG的面积＝4×△EOG的面积＝4．
故答案为：4．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．
（1）AF＝ 6t （用含t的代数式表示）．
（2）当点B落在DE上时，求t的值．
（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【分析】（1）由点P的运动可知，AP＝PD＝2t，PF＝2PA＝4t，进而可得AF＝6t；
（2）当点B落在DE上，易得四边形DPCB是矩形，则DP＝BC，可求出t的值；
（3）先分析Rt△ABC，可知，AB＝4cm；根据题意需要分类讨论，AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解；
（4）需要分类讨论，当点E分别在边BC，AC，AB的垂直平分线时，画出对应图形，可求出t的值．
【解答】解：（1）由点P的运动可知，AP＝2t，
∴PD＝AP＝2t，PF＝2PA＝4t，
∴AF＝AP+PF＝6t．
故答案为：6t．
（2）当点B落在DE上时，如图1，
由题意可知，∠DPC＝∠D＝∠BCA＝90°，
∴四边形DPCB是矩形，
∴DP＝BC＝4，即2t＝4，
∴t＝2．
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，
由勾股定理可得，AB＝4．
若△ABF是等腰三角形，则需要分AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况：
①当AB＝AF时，如图2，
此时AF＝6t＝4，
则t＝；
②当BA＝BF时，如图3，
∵BC⊥AF，
∴点C是AF的中点，即AC＝CF＝8，
∴AF＝6t＝16，
∴t＝；
③当FA＝FB时，如图4，
此时点F在AB的垂直平分线MN上．
∴AM＝MB＝2，
∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠ACB＝90°，
∴△AMF∽△ACB，
∴AM：AC＝AF：AB，即2：8＝6t：4，
解得t＝．
综上，当△ABF是等腰三角形时，t的值为，或；
（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，需要分三种情况：点E在边BC，AC，AB的垂直平分线时，
①当点E在线段BC的垂直平分线上时，如图5，
由题意可得，∠EFC＝∠C＝∠CQE＝90°，
∴四边形EFCQ是矩形，
∴PD＝EF＝CQ＝BC＝2，即2t＝2，
∴t＝1；
②当点E在线段AC的垂直平分线上时，如图6，
此时点F是AC的中点，即AF＝8，
∴6t＝8，
∴t＝；
③当点E在线段AB的垂直平分线上时，如图7，
由（3）可知，AN：AB＝AM：AC，
∴AN：4＝2：8，
∴AN＝5，
∴FN＝AN﹣AF＝5﹣6t，
又∠ENF＝∠ANM，∠EFN＝∠AMN＝90°，
∴△EFN∽△AMN，
∴EF：FN＝AM：MN＝AC：BC＝2：1，
∴2t：（5﹣6t）＝2：1，解得t＝；
综上，当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，t的值为：1，或．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，点G为抛物线的顶点．
（1）求顶点G的坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m，当x≥m，此函数图象上的函数值y随x的增大而减小，写出m的取值范围；
（4）点M、N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间（含M、N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【分析】（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，即可求解；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，即可求解；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，a＝﹣1＜0，故当x＞1时，函数值y随x的增大而减小，即可求解；
（4）求出点M，点N坐标，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G的坐标为（1，4）；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
故抛物线和x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
故当x＞1时，函数值y随x的增大而减小，
故m≥1；
（4）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标为（6，﹣21），
∵点N坐标为（6，﹣21）
∴当点M坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣21≤yQ≤4；
当点M坐标为（4，﹣5）时，﹣21≤yQ≤﹣5，
∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为：﹣21≤yQ≤﹣5或﹣21≤yQ≤4．
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