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2020-2021学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．（y+1）（﹣y+3）＝﹣（y+1）（y﹣3）
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）
D．x2﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）化简的结果为（ ）
A． B． C．a+1 D．a﹣1
4．（3分）若a＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+5＜a+7 B．5 a＞7 a C．5﹣a＜7﹣a D．＞
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝2，则AD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
7．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜3 D．无法确定
8．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，1），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1（b，1），B1（﹣1，a），则b﹣a的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式无意义，则x的取值是 ．
10．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
11．（3分）若xy＝y﹣x≠0，则分式＝ ．
12．（3分）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．若设第一组有x人，则可列出的分式方程是 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，OE＝3cm，则CD＝ cm．
14．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个旋转角的度数等于 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．若∠CAE＝42°，则∠B的度数是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AB于点E，连接ED，若EA＝3，EB＝5，ED＝4，CE＝ ．
三、解答题：（17题8分，18题—22题每题6分，共38分）
17．（8分）把下列各式因式分解．
（1）3x2﹣27；
（2）16﹣8（x+y）+（x+y）2．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）解方程：＝8+
20．（6分）方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中C点所经过的路径长．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE＝AB．
22．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
四、解答题：（23题、24题每题8分，25题、26题每题9分，共34分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD＝2cm，求AC的长；
（2）求证：AB＝AC+CD．
24．（8分）某公司计划在“十一”期间组织员工x人到某地旅游，甲、乙两家旅行社服务质量相同，且报价都是每人2000元．甲旅行社表示一律按七五折优惠；乙旅行社表示免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠．该公司选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
25．（9分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
26．（9分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
2020-2021学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．（y+1）（﹣y+3）＝﹣（y+1）（y﹣3）
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）
D．x2﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解答】解：A．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B．等式左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
C．是因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．（3分）化简的结果为（ ）
A． B． C．a+1 D．a﹣1
【分析】先通分，然后再计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝a+1，
故选：C．
4．（3分）若a＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+5＜a+7 B．5 a＞7 a C．5﹣a＜7﹣a D．＞
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、a＜0，则a是负数，a+5＜a+7可以看作5＜7两边同时加上a，故A选项成立；
B、5a＞7a可以看作5＜7两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故B选项成立；
C、5﹣a＜7﹣a是不等号5＜7两边同时加上﹣a，不等号不变，故C选项成立；
D、a＜0，＞可以看作＞两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故D选项不成立．
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝2，则AD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可证出∠BCD＝∠A＝30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝4，
∴AB＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝6．
故选：A．
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
7．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜3 D．无法确定
【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
【解答】解：由图象得到当x＞3时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，
当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
故选：A．
8．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，1），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1（b，1），B1（﹣1，a），则b﹣a的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出a，b的值，即可得到答案．
【解答】解：∵A（﹣2，0）平移后对应点A1的坐标为（b，1），
∴线段向上平移了1个单位，
∵点B（0，1）平移后对应的点B1（﹣1，a），
∴线段向左平移了1个单位，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴b﹣a＝﹣5．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式无意义，则x的取值是 ．
【分析】根据分母为0时，分式无意义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵分式无意义，
∴1﹣2x＝0，
解得：x＝，
故答案为：．
10．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10
11．（3分）若xy＝y﹣x≠0，则分式＝ ﹣1 ．
【分析】利用异分母相加减的运算法则先计算，然后整体代入求值．
【解答】解：原式＝，
∵xy＝y﹣x≠0，
∴原式＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．若设第一组有x人，则可列出的分式方程是 ．
【分析】首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数＝1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，
根据题意，得．
故答案为：．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，OE＝3cm，则CD＝ 6 cm．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，又由点E是BC的中点，易得OE是△ABC的中位线，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，
∵点E是BC的中点，OE＝3cm，
∴AB＝2OC＝6cm，
∴CD＝AB＝6cm，
故答案为：6．
14．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个旋转角的度数等于 120° ．
【分析】根据旋转的性质，可得答案．
【解答】解：由旋转的性质，得
∠ABA′＝′CBC′．
由邻补角的性质，得
∠CBC′＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120，
故答案为：120°．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．若∠CAE＝42°，则∠B的度数是 24° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EAB＝∠B，根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，∠CAE＝42°，
∴∠EAB+∠B+∠CAE＝90°，即2∠B+42°＝90°，
解得：∠B＝24°，
故答案为：24°．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AB于点E，连接ED，若EA＝3，EB＝5，ED＝4，CE＝ 4 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案为：4．
三、解答题：（17题8分，18题—22题每题6分，共38分）
17．（8分）把下列各式因式分解．
（1）3x2﹣27；
（2）16﹣8（x+y）+（x+y）2．
【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式即可；
（2）利用完全平方公式即可进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝[4﹣（x+y）]2＝（4﹣x﹣y）2．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣5＜3x+1得，x＜3；
解不等式x﹣6≥得，x≥2；
∴原不等式组的解集为2≤x＜3．
19．（6分）解方程：＝8+
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣8＝8x﹣56﹣1，
移项合并得：﹣7x＝﹣49，
解得：x＝7，
经检验x＝7是增根，分式方程无解．
20．（6分）方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中C点所经过的路径长．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用点C的坐标求得OC，然后根据弧长公式即可求得．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）∵C（﹣3，2），
∴OC＝＝，
∴（2）中C点所经过的路径长：＝π．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE＝AB．
【分析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE＝∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E＝∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴∠BAE＝∠CAE．
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAE．
∴∠E＝∠CAE．
∴CE＝AC．
∵AB＝AC，
∴CE＝AB．
22．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
四、解答题：（23题、24题每题8分，25题、26题每题9分，共34分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD＝2cm，求AC的长；
（2）求证：AB＝AC+CD．
【分析】（1）依据角平分线的性质可证明DC＝DE，接下来证明△BDE为等腰直角三角形，从而得到DE＝EB＝2，然后依据勾股定理可求得BD的长，然后由AC＝BC＝CD+DB求解即可；
（2）先证明AC＝AE，然后由EB＝DC＝DC求解即可．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝2cm，
∴DE＝2cm，
又∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝DE＝2cm，
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD＝＝cm，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+（cm）．
（2）
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE．
又∵CD＝DE＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
24．（8分）某公司计划在“十一”期间组织员工x人到某地旅游，甲、乙两家旅行社服务质量相同，且报价都是每人2000元．甲旅行社表示一律按七五折优惠；乙旅行社表示免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠．该公司选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
【分析】哪一家的旅行社费用少，主要和参加旅游的人数有关，用函数关系分别表示出两家旅行社的费用与人数的关系，然后再分类讨论．
【解答】解：设甲旅行社收费为y1元，乙旅行社收费为y2元，
∴y1＝2000×0.75x，即y1＝1500x，
y2＝2000×0.8（x﹣1），即y2＝1600x﹣1600，
当y1＝y2，即1500x＝1600x﹣1600．解得x＝16，
当y1＞y2，即1500x＞1600x﹣1600．解得x＜16，
当y1＜y2，即1500x＜1600x﹣1600．解得x＞16，
所以，当 x＝16时，甲、乙两家旅行社收费相同；
当x＞16时，选择甲旅行社费用较少；
当x＜16时，选择乙旅行社费用较少．
25．（9分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【分析】（1）利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：﹣＝24，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
则2.5x＝50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
26．（9分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．
∴∠ADE＝∠CBF＝60°．
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．
∴∠ADE＝∠CBF．
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．
∴∠AED＝∠CFB．
又∵AD＝BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．
又∵∠DAB＝∠BCD，
∴∠EAF＝∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/17 11:20:55；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．（y+1）（﹣y+3）＝﹣（y+1）（y﹣3）
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）
D．x2﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）化简的结果为（ ）
A． B． C．a+1 D．a﹣1
4．（3分）若a＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+5＜a+7 B．5 a＞7 a C．5﹣a＜7﹣a D．＞
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝2，则AD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
7．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜3 D．无法确定
8．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，1），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1（b，1），B1（﹣1，a），则b﹣a的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式无意义，则x的取值是 ．
10．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
11．（3分）若xy＝y﹣x≠0，则分式＝ ．
12．（3分）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．若设第一组有x人，则可列出的分式方程是 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，OE＝3cm，则CD＝ cm．
14．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个旋转角的度数等于 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．若∠CAE＝42°，则∠B的度数是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AB于点E，连接ED，若EA＝3，EB＝5，ED＝4，CE＝ ．
三、解答题：（17题8分，18题—22题每题6分，共38分）
17．（8分）把下列各式因式分解．
（1）3x2﹣27；
（2）16﹣8（x+y）+（x+y）2．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）解方程：＝8+
20．（6分）方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中C点所经过的路径长．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE＝AB．
22．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
四、解答题：（23题、24题每题8分，25题、26题每题9分，共34分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD＝2cm，求AC的长；
（2）求证：AB＝AC+CD．
24．（8分）某公司计划在“十一”期间组织员工x人到某地旅游，甲、乙两家旅行社服务质量相同，且报价都是每人2000元．甲旅行社表示一律按七五折优惠；乙旅行社表示免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠．该公司选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
25．（9分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
26．（9分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
2020-2021学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（m+n）＝am+an
B．（y+1）（﹣y+3）＝﹣（y+1）（y﹣3）
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1）
D．x2﹣16+8x＝（x+4）（x﹣4）+8x
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解答】解：A．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B．等式左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
C．是因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．（3分）化简的结果为（ ）
A． B． C．a+1 D．a﹣1
【分析】先通分，然后再计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝a+1，
故选：C．
4．（3分）若a＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．a+5＜a+7 B．5 a＞7 a C．5﹣a＜7﹣a D．＞
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、a＜0，则a是负数，a+5＜a+7可以看作5＜7两边同时加上a，故A选项成立；
B、5a＞7a可以看作5＜7两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故B选项成立；
C、5﹣a＜7﹣a是不等号5＜7两边同时加上﹣a，不等号不变，故C选项成立；
D、a＜0，＞可以看作＞两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故D选项不成立．
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝2，则AD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可证出∠BCD＝∠A＝30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝4，
∴AB＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝6．
故选：A．
6．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
7．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜3 D．无法确定
【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
【解答】解：由图象得到当x＞3时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，
当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
故选：A．
8．（3分）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，1），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1（b，1），B1（﹣1，a），则b﹣a的值是（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣1
【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出a，b的值，即可得到答案．
【解答】解：∵A（﹣2，0）平移后对应点A1的坐标为（b，1），
∴线段向上平移了1个单位，
∵点B（0，1）平移后对应的点B1（﹣1，a），
∴线段向左平移了1个单位，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴b﹣a＝﹣5．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9．（3分）若分式无意义，则x的取值是 ．
【分析】根据分母为0时，分式无意义列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵分式无意义，
∴1﹣2x＝0，
解得：x＝，
故答案为：．
10．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故答案为：10
11．（3分）若xy＝y﹣x≠0，则分式＝ ﹣1 ．
【分析】利用异分母相加减的运算法则先计算，然后整体代入求值．
【解答】解：原式＝，
∵xy＝y﹣x≠0，
∴原式＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．若设第一组有x人，则可列出的分式方程是 ．
【分析】首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数＝1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，
根据题意，得．
故答案为：．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，OE＝3cm，则CD＝ 6 cm．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，又由点E是BC的中点，易得OE是△ABC的中位线，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，
∵点E是BC的中点，OE＝3cm，
∴AB＝2OC＝6cm，
∴CD＝AB＝6cm，
故答案为：6．
14．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个旋转角的度数等于 120° ．
【分析】根据旋转的性质，可得答案．
【解答】解：由旋转的性质，得
∠ABA′＝′CBC′．
由邻补角的性质，得
∠CBC′＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120，
故答案为：120°．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．若∠CAE＝42°，则∠B的度数是 24° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EAB＝∠B，根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，∠CAE＝42°，
∴∠EAB+∠B+∠CAE＝90°，即2∠B+42°＝90°，
解得：∠B＝24°，
故答案为：24°．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AB于点E，连接ED，若EA＝3，EB＝5，ED＝4，CE＝ 4 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案为：4．
三、解答题：（17题8分，18题—22题每题6分，共38分）
17．（8分）把下列各式因式分解．
（1）3x2﹣27；
（2）16﹣8（x+y）+（x+y）2．
【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式即可；
（2）利用完全平方公式即可进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝[4﹣（x+y）]2＝（4﹣x﹣y）2．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣5＜3x+1得，x＜3；
解不等式x﹣6≥得，x≥2；
∴原不等式组的解集为2≤x＜3．
19．（6分）解方程：＝8+
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣8＝8x﹣56﹣1，
移项合并得：﹣7x＝﹣49，
解得：x＝7，
经检验x＝7是增根，分式方程无解．
20．（6分）方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中C点所经过的路径长．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用点C的坐标求得OC，然后根据弧长公式即可求得．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）∵C（﹣3，2），
∴OC＝＝，
∴（2）中C点所经过的路径长：＝π．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE＝AB．
【分析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE＝∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E＝∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴∠BAE＝∠CAE．
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAE．
∴∠E＝∠CAE．
∴CE＝AC．
∵AB＝AC，
∴CE＝AB．
22．（6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
四、解答题：（23题、24题每题8分，25题、26题每题9分，共34分）
23．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD＝2cm，求AC的长；
（2）求证：AB＝AC+CD．
【分析】（1）依据角平分线的性质可证明DC＝DE，接下来证明△BDE为等腰直角三角形，从而得到DE＝EB＝2，然后依据勾股定理可求得BD的长，然后由AC＝BC＝CD+DB求解即可；
（2）先证明AC＝AE，然后由EB＝DC＝DC求解即可．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝2cm，
∴DE＝2cm，
又∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝DE＝2cm，
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD＝＝cm，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+（cm）．
（2）
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE．
又∵CD＝DE＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
24．（8分）某公司计划在“十一”期间组织员工x人到某地旅游，甲、乙两家旅行社服务质量相同，且报价都是每人2000元．甲旅行社表示一律按七五折优惠；乙旅行社表示免去一位游客的费用，其余游客按八折优惠．该公司选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
【分析】哪一家的旅行社费用少，主要和参加旅游的人数有关，用函数关系分别表示出两家旅行社的费用与人数的关系，然后再分类讨论．
【解答】解：设甲旅行社收费为y1元，乙旅行社收费为y2元，
∴y1＝2000×0.75x，即y1＝1500x，
y2＝2000×0.8（x﹣1），即y2＝1600x﹣1600，
当y1＝y2，即1500x＝1600x﹣1600．解得x＝16，
当y1＞y2，即1500x＞1600x﹣1600．解得x＜16，
当y1＜y2，即1500x＜1600x﹣1600．解得x＞16，
所以，当 x＝16时，甲、乙两家旅行社收费相同；
当x＞16时，选择甲旅行社费用较少；
当x＜16时，选择乙旅行社费用较少．
25．（9分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【分析】（1）利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：﹣＝24，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
则2.5x＝50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
26．（9分）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．
∴∠ADE＝∠CBF＝60°．
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．
∴∠ADE＝∠CBF．
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．
∴∠AED＝∠CFB．
又∵AD＝BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．
又∵∠DAB＝∠BCD，
∴∠EAF＝∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
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