2021年上海市杨浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市杨浦区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 关于抛物线 y=x2−x，下列说法中，正确的是
A. 经过坐标原点B. 顶点是坐标原点
C. 有最高点D. 对称轴是直线 x=1

2. 在 △ABC 中，如果 sinA=12，ctB=33 那么这个三角形一定是
A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形

3. 如果小丽在楼上点 A 处看到楼下点 B 处小明的俯角是 35∘，那么点 B 处小明看点 A 处小丽的仰角是
A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 65∘

4. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中，能判定 DE∥BC 的是
A. ADAB=DEBCB. ADDB=AEECC. DBEC=AEADD. ADAC=AEAB

5. 下列命题中，正确的是
A. 如果 e 为单位向量，那么 a=∣a∣e
B. 如果 a，b 都是单位向量，那么 a=b
C. 如果 a=−b，那么 a∥b
D. 如果 ∣a∣=∣b∣，那么 a=b

6. 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列说法中，错误的是
A. S△AOB=S△DOC；B. S△AOBS△BOC=ODOB；C. S△AODS△BOC=OAOC；D. S△ABDS△ABC=ADBC．

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：3a+2b−2a−b= ．

8. 已知抛物线 y=1−ax2+1 的开口向上，那么 a 的取值范围是 ．

9. 如果小明沿着坡度为 1:2.4 的山坡向上走了 130 米，那么他的高度上升了 米．

10. 已知线段 AB 的长为 4 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点 AP
11. 已知抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，那么 △ABC 的面积等于 ．

12. 已知抛物线 y=x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点 A2,2，那么平移后的抛物线的表达式是 ．

13. 如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度 y（米）关于水平距离 x（米）的函数解析式为 y=−112x2+23x+53，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．

14. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，AEEB=12，联结 DE 交对角线 AC 于点 O，那么 AOOC 的值为 ．

15. 如图，已知在 △ABC 中，∠ACB=90∘，点 G 是 △ABC 的重心，CG=2，BC=4，那么 cs∠GCB=

16. 如图，已知在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=10，ctB=12，正方形 DEFG 的顶点 G，F 分别在边 AC，BC 上，点 D，E 在斜边 AB 上，那么正方形 DEFG 的边长为 ．

17. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．如图，已知在对余四边形 ABCD 中，AB=10，BC=12，CD=5，tanB=34，那么边 AD 的长为 ．

18. 如图，已知在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=60∘，将 △ABC 绕点 A 旋转，点 B，C 分别落在点 B1，C1 处，如果 BB1∥AC，联结 C1B1 交边 AB 于点 D，那 BDB1D 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：tan260∘−2sin30∘4cs245∘+ct30∘．

20. 已知一个二次函数的图象经过点 A−1,0，B0,3，C2,3．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点 Px1,y1，Qx2,y2 在这个二次函数图象上，且 x1”）

21. 如图，已知在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，点 M 为边 BC 上一点，BM=13BC，连接 AM 交 DE 于点 N．
（1）求 DNNE 的值；
（2）设 AB=a，AM=b，如果 ADDB=23，请用向量 a，b 表示向量 NE．

22. 如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取 B，C 两点，对岸岸边有一块石头 A，在 △ABC 中，测得 ∠B=64∘，∠C=45∘，BC=50 米，求河宽（即点 A 到边 BC 的距离）（结果精确到 0.1 米）．
（参考数据：2≈1.41，sin64∘=0.90，cs64∘=0.44，tan64∘=2.05）

23. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD，AC 相交于点 E，过点 A 作 AF∥DC，交对角线 BD 于点 F．
（1）求证：DFBD=DEBE；
（2）如果 ∠ADB=∠ACD，求证：线段 CD 是线段 DF 与 BE 的比例中项．

24. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x−m2+4 与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C 、 D （点 C 在点 D 左侧），顶点 A 在第一象限，异于顶点 A 的点 P1,n 在该抛物线上．
（1）如果点 P 与点 C 重合，求线段 AP 的长；
（2）如果抛物线经过原点，点 Q 是抛物线上一点，tan∠OPQ=3，求点 Q 的坐标：
（3）如果直线 PB 与 x 轴的负半轴相交，求 m 的取值范围．

25. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，点 D 为边 BC 上一动点（与点 B，C 不重合），点 E 为边 AB 上一点，∠EDB=∠ADC，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为点 G，交射线 AC 于点 F．
（1）如果点 D 为边 BC 的中点，求 ∠DAB 的正切值；
（2）当点 F 在边 AC 上时，设 CD=x，CF=y，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；
（3）连接 DF，如果 △CDF 与 △AGE 相似，求线段 CD 的长．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A
4. B
5. C
6. C
第二部分
7. a+8b
8. a<1
9. 50
10. 6−25
11. 3
12. y=x2−2
13. 3
14. 13
15. 23
16. 207
17. 9
18. 6−22
第三部分
19. 原式=32−2×124×222+3=3−12+3=4−23
20. （1） 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c．
∴a−b+c=0,c=3,4a+2b+c=3.
∴a=−1,b=2,c=3.
∴ 二次函数解析式为 y=−x2+2x+3．
对称轴是直线 x=1．
（2） <
21. （1） 因为 DE∥BC，
所以 DNBM=ANAM，
NEMC=ANAM，
所以 DNBM=NEMC．
所以 DNNE=BMCM．
又因为 BMBC=13，
所以 BMCM=12，
所以 DNNE=12．
（2） 45b−45a
22. 过 A 作 AH⊥BC，垂足为点 H．
设 AH=x 米，在 Rt△ACH 中，
∵∠C=45∘，
∴CH=AH=x．
又 ∵BC=50 米，
∴BH=50−x 米．
在 Rt△ABH 中，由 tanB=AHBH，得 x50−x=2.05．
∴x≈33.6．
答：河宽约为 33.6 米．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DBC．
∵AF∥DC，
∴∠AFD=∠CDB．
∴△AFD∽△CDB．
∴DFBD=ADBC．
∵AD∥BC，
∴DEBE=ADBC．
∴DFBD=DEBE．
（2） ∵∠ADB=∠DBC，∠ADB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DBC．
又 ∵∠CDE=∠BDC，
∴△DCE∽△DBC．
∴CDBD=DECD．
∴CD2=DE⋅BD．
∵DFBD=DEBE，
∴DF⋅BE=DE⋅BD，
∴CD2=DF⋅BE．
即线段 CD 是线段 DF，BE 的比例中项．
24. （1） ∵ 点 P 与点 C 重合，
∴ 点 P 的坐标是 1,0．
∴−1−m2+4=0．
解得 m1=−1，m2=3．
∵ 点 Am,4 在第一象限，
∴m>0，
∴ 点 A 的坐标是 3,4．
∴AP=1−32+0−42=25 .
（2） ∵ 抛物线过原点，
∴−0−m2+4=0．
解得 m1=2，m2=−2 （不合题意，舍去）．
∴ 点 A 的坐标是 2,4．
当 x=1 时，n=−1−22+4=3，
∴ 点 P 的坐标是 1,3．
过点 P 作 PG⊥x 轴，垂足为点 G，则 PG=3，OG=1．
∴tan∠POG=PGOG=3 .
又 tan∠OPQ=3，
∴ 锐角 ∠OPQ=∠POG．
设直线 PQ 与 x 轴交于点 H，则 HO=HP，即 HO2=HP2．
设点 Hx,0，
∴x−12+0−32=x，
∴x=5，
∴H5,0．
设直线 PQ 为 y=kx+bk≠0．
∴k+b=3,5k+b=0.
∴k=−34,b=154.
∴y=−34x+154．
∴y=−34x+154,y=−x−22+4. 解得 x1=154,y1=1516.
x2=1,y2=3. （舍去）
∴Q154,1516．
（3） ∵ 点 A 在第一象限，
∴m>0．
∵ 点 A 与点 P 不重合，
∴m≠1，
当 x=0 时，y=−m2+4，
∴B0,−m2+4．
当 x=1 时，n=−1−m2+4=−m2+2m+3，
∴P1,−m2+2m+3．
∵ 直线 PB 与 x 轴的负半轴相交，
∴−m2+2m+3>−m2+4．
∴m>12．
∵ 当 y=0 时，−1−m2+4=0，x1=m−2，x2=m+2．
∴Cm−2,0，Dm+2,0．
∵ 当直线 PB 与 x 的负半轴相交时，点 C 也在 x 轴的负半轴，
∴m<2．
∴1225. （1） 过 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H．
在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB=90∘，AC=BC=4，
∴AB=42+42=42．
在 Rt△BDH 中，
∵BD=2，
∴BH=DH=2．
在 Rt△ADH 中，AH=32，tan∠DAB=DHAH=232=13．
（2） 过 A 作 AH∥DE 交 BC 的延长线于 H，垂足为点 M．
∵EF⊥AD，
∴∠AFG+∠CAD=90∘．
∵∠ACB=90∘，
∴∠ADC+∠CAD=90∘．
∴∠AFG=∠ADC．
又 ∵∠EDB=∠ADC，
∴∠AFG=∠EDB．
∵AC=BC=4，
∴∠BAC=∠B=45∘．
∴△AEF∽△BED．
∴AEBE=AFBD．
∵AH∥DE，
∴AEBE=DHBD．
∴AF=DH．
∵AH∥DE，
∴∠H=∠EDB．
又 ∵∠EDB=∠ADC，
∴∠H=∠ADC．
∴AD=AH．
∵AC⊥DH，
∴HC=CD．
∵CD=x，
∴HC=x．
∴AF=DH=2x．
y=4−2x0 （3） （i）当点 F 在边 AC 上时，
∵∠FCD=∠AGE=90∘，
∴ 当 △CDF 与 △AGE 相似时，∠DFC=∠GAE 或 ∠FDC=∠GAE．
过 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H．
在 Rt△ADH 中，tan∠GAE=DHAH=224−x42−224−x=4−x4+x．
①当 ∠DFC=∠GAE 时，
∴tan∠DFC=tan∠GAE．
∴xy=4−x4+x．
∴x=8−43．
②当 ∠FDC=∠GAE 时，
∴tan∠FDC=tan∠GAE．
∴yx=4−x4+x．
∴x=42−4．
（ii）当点 F 在边 AC 的延长线上时，同理可得 CD=433．
综上所述：如果 △CDF 与 △AGE 相似，线段 CD 的长为 8−43 、 42−4 、 433．