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中考复习专题一 实数 知识点总结与练习
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这是一份中考复习专题一 实数 知识点总结与练习，共6页。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 负无理数 无限不循环小数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
3、实数与数轴上点的关系：
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
；注意的双重非负性：
-（<0） 0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫科学记数法。
五、实数大小的比较 的几种方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
① ② ③
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【抛砖引玉】
【例1】下列实数，，0，，0.123456，0.1010010001，，，中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．所以在，，0，，0.123456，0.1010010001，，，中，无理数是，，．
答案：B．
【例2】已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列命题中正确的是（ ）
A．丨a+b丨=丨a丨+丨b丨 B．丨a﹣b丨=丨a丨﹣丨b丨
C．丨a+b丨=丨b丨﹣丨a丨 D．丨a﹣b丨=丨b丨﹣丨a丨
【解析】本题运用实数与数轴的对应关系确定b＜0，a＞0，且|b|＞|a|，然后绝对值的意义化简即可求解．由数轴上a，b两点的位置可知b＜0，a＞0，且|b|＞|a|，
设a=1，b=﹣2．
A．|a+b|=|1﹣2|=1，丨a丨+丨b丨=|1|+|﹣2|=3，故选项A错误；
B．丨a﹣b丨=|1+2|=3，丨a丨﹣丨b丨=1﹣2=﹣1，故选项B错误；
C．|a+b|=|1﹣2|=1，丨b丨﹣丨a丨=2﹣1=1，故选项C正确；
D．丨a﹣b丨=|1+2|=3，|b丨﹣丨a|=2﹣1=1，故选项D错误．
答案：C．
【例3】已知，那么值是（ ）
A． B． C． D．或1
【解析】由得到a为正数，故原式可化为，然后把变形为中，然后把已知条件代入即可求出结果．所以∵，则=1+|a|＞0，
故0＜a＜1，则原式可化为﹣a=1，
+|a|===中，∴=．
答案：A．
【例4】计算：= ．
【解析】本题涉及零指数幂、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．所以原式=﹣1=﹣1．
答案：﹣1
【沙场点兵】
1. 若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则= ．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A．a2+ab+b2=（a+b）2 B．
C． D．÷2=a
3. a，b的关系如图，化简：+|b+a﹣1|得（ ）
A．1 B．1﹣2b﹣2a C．2a﹣2b+1 D．2a+2b﹣1
4. 若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
5. 如图，已知OA=OB，数轴上点C表示的数是2，那数轴上线段AC的长度是 ．
6. 下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．无理数就是开方开不尽而产生的数
C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数
【实战演练】
一．选择题
1．（2017•泰安）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（ ）
A．3×1014美元 B．3×1013美元
C．3×1012美元 D．3×1011美元
2．（2017•南京）若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
3．（2017•日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
4．（2017•吉林）下列计算正确的是（ ）
A．+= B．•= C．= D．=
二．填空题
1．（2017•孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，则可化简为 ．
2．（2017•荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+=0，则m+2n的值为 ．
三．解答题
1．（2017•内江）计算：
﹣12017﹣丨1﹣丨+×+（2017﹣π）0．
2．（2016•盐城）计算：
（1）|﹣2|﹣
（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 负无理数 无限不循环小数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
3、实数与数轴上点的关系：
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
；注意的双重非负性：
-（<0） 0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫科学记数法。
五、实数大小的比较 的几种方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
① ② ③
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【抛砖引玉】
【例1】下列实数，，0，，0.123456，0.1010010001，，，中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．所以在，，0，，0.123456，0.1010010001，，，中，无理数是，，．
答案：B．
【例2】已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列命题中正确的是（ ）
A．丨a+b丨=丨a丨+丨b丨 B．丨a﹣b丨=丨a丨﹣丨b丨
C．丨a+b丨=丨b丨﹣丨a丨 D．丨a﹣b丨=丨b丨﹣丨a丨
【解析】本题运用实数与数轴的对应关系确定b＜0，a＞0，且|b|＞|a|，然后绝对值的意义化简即可求解．由数轴上a，b两点的位置可知b＜0，a＞0，且|b|＞|a|，
设a=1，b=﹣2．
A．|a+b|=|1﹣2|=1，丨a丨+丨b丨=|1|+|﹣2|=3，故选项A错误；
B．丨a﹣b丨=|1+2|=3，丨a丨﹣丨b丨=1﹣2=﹣1，故选项B错误；
C．|a+b|=|1﹣2|=1，丨b丨﹣丨a丨=2﹣1=1，故选项C正确；
D．丨a﹣b丨=|1+2|=3，|b丨﹣丨a|=2﹣1=1，故选项D错误．
答案：C．
【例3】已知，那么值是（ ）
A． B． C． D．或1
【解析】由得到a为正数，故原式可化为，然后把变形为中，然后把已知条件代入即可求出结果．所以∵，则=1+|a|＞0，
故0＜a＜1，则原式可化为﹣a=1，
+|a|===中，∴=．
答案：A．
【例4】计算：= ．
【解析】本题涉及零指数幂、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．所以原式=﹣1=﹣1．
答案：﹣1
【沙场点兵】
1. 若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则= ．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A．a2+ab+b2=（a+b）2 B．
C． D．÷2=a
3. a，b的关系如图，化简：+|b+a﹣1|得（ ）
A．1 B．1﹣2b﹣2a C．2a﹣2b+1 D．2a+2b﹣1
4. 若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
5. 如图，已知OA=OB，数轴上点C表示的数是2，那数轴上线段AC的长度是 ．
6. 下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．无理数就是开方开不尽而产生的数
C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数
【实战演练】
一．选择题
1．（2017•泰安）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（ ）
A．3×1014美元 B．3×1013美元
C．3×1012美元 D．3×1011美元
2．（2017•南京）若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
3．（2017•日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
4．（2017•吉林）下列计算正确的是（ ）
A．+= B．•= C．= D．=
二．填空题
1．（2017•孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，则可化简为 ．
2．（2017•荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+=0，则m+2n的值为 ．
三．解答题
1．（2017•内江）计算：
﹣12017﹣丨1﹣丨+×+（2017﹣π）0．
2．（2016•盐城）计算：
（1）|﹣2|﹣
（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）
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