中考复习专题六 分式方程 知识点总结与练习
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这是一份中考复习专题六 分式方程 知识点总结与练习,共8页。
一、知识脉络图
二、列方程解应用题
1. 列方程解应用题的一般步骤是:①审;②设;③列;④解;⑤答。
2. 应用题的基本类型:
(1)行程问题:路程=速度×时间,行程问题又分为相遇问题和追及问题。
(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示方法。
(3)工程问题:工作量=工时×工效。
(4)顺水、逆水航行问题:v顺水=v静水+v水,v逆水=v静水-v水。
【抛砖引玉】
【例1】若方程 eq \f(2x+a,x-2)=-1的解是最小的正整数,则a的值为__________。
【解析】最小的正整数是1,所以x=1,把它代入方程得 eq \f(2+a,1-2)=-1,解得a=-1。
答案:-1
【例2】解下列方程:
(1) eq \f(1,x+1)+ eq \f(2,x-1)= eq \f(4,x2-1);
(2) eq \f(6x+12,x2+4x+4)+ eq \f(x2,x2-4)= eq \f(x2-4,x2-4x+4);
(3)5(2+ eq \f(1,2x-3))+ eq \f(84x-105,x-\f(3,2))=0。
【解析】(1)、(2)题考查分式方程的解法,解题思路是去分母,将分式方程转化为整式方程。(3)题若去分母,则运算较繁,可把2+ eq \f(1,2x-3)看作一个整体,然后用2+ eq \f(1,2x-3)表示 eq \f(84x-105,x-\f(3,2))。
答案:(1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x-1)+2(x+1)=4,
解此方程,得x=1。
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0。
故x=1不是原分式方程的解,原分式方程无解。
(2)原方程可以化为: eq \f(6(x+2),(x+2)2)+ eq \f(x2,(x+2)(x-2))= eq \f((x+2)(x-2),(x-2)2),
即 eq \f(6,x+2)- eq \f(x+2,x-2)+ eq \f(x2,(x+2)(x-2))=0。
方程两边同乘以(x+2)(x-2),得6(x-2)-(x+2)2+x2=0。
解这个方程得x=8。
检验:把x=8代入(x+2)(x-2),得(8+2)(8-2)≠0。
所以x=8是原方程的解。
(3)因为 eq \f(84x-105,x-\f(3,2))= eq \f(168x-210,2x-3)= eq \f(84(2x-3)+42,2x-3)=42(2+ eq \f(1,2x-3)),
所以原方程可化为5(2+ eq \f(1,2x-3))+42(2+ eq \f(1,2x-3))=0。
于是2+ eq \f(1,2x-3)=0,解得x= eq \f(5,4),经检验x= eq \f(5,4)是原方程的解。
例3 解关于x的方程 eq \f(2,x-2)+ eq \f(ax,x2-4)= eq \f(3,x+2)产生增根,求a的值。
【解析】分式方程中最简公分母为(x+2)(x-2),方程如果产生增根,最简公分母必须为0,即x=2或x=-2,因此可以通过x=2或x=-2来讨论a的值。
答案:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2)。整理得(1-a)x=10。因方程有增根,所以最简公分母必须为0,即x=2或x=-2。又因为增根是整式方程的解,故当x=2时,a=-4;当x=-2时,a=6。所以a的值为-4或6。
例4 两名老师带若干名学生去旅游,联系了甲、乙两家旅游公司,甲公司提供的优惠条件是:1名老师按行业统一规定收全票,其余人按7.5折收费;乙公司提供的优惠条件是:全部按8折收费。经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜 eq \f(1,32),那么参加旅游的学生人数是多少?
【解析】首先理解题目叙述的情境,要求的学生人数可设为x,而旅游的票价也是未知的,也需设未知数,不过这个未知数会在解题中消去。
答案:设参加旅游的学生人数是x人,全票价为a元,由题意得:
eq \f((x+2)·80%a-[(x+1)×75%a+a],(x+2)·80%a)= eq \f(1,32),
解得x=8。经检验x=8是原方程的解且符合题意。
答:参加旅游的学生有8人。
例5 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏,商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑,绕过P点跑回到起跑线(如图所示);途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑,用时少者胜。结果:甲同学由于心急,掉了球,浪费了6秒钟,乙同学则顺利跑完。事后,甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”,乙同学说:“捡球过程不算在内时,甲的速度是我的1.2倍”。根据图文信息,请问哪位同学获胜?
【解析】本题的等量关系是“我俩所用的全部时间的和为50秒”,设乙同学的速度为x米/秒,数量关系如下表:
根据表格数据列出方程,求得甲、乙二人的速度,再求出时间,比较二人所用时间的长短便可以区分哪位同学获胜。
答案:设乙同学的速度为x米/秒,则甲同学的速度为1.2x米/秒,根据题意得:
( eq \f(60,1.2x)+6)+ eq \f(60,x)=50,
解得x=2.5。
经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意。
所以,甲同学所用的时间为: eq \f(60,1.2x)+6=26(秒),
乙同学所用的时间为: eq \f(60,x)=24(秒)。
因为26>24,
所以乙同学获胜。
例6 解分式方程,要先把分式方程化为整式方程,你怎样解决下面的方程:
(1) eq \f(1,x-7)+ eq \f(1,x-1)= eq \f(1,x-6)+ eq \f(1,x-2);
(2)你发现方程的解有什么规律;
(3)利用你发现的规律,猜想方程 eq \f(1,x+a)+ eq \f(1,x+b)= eq \f(1,x+c)+ eq \f(1,x+d)(a、b、c、d表示不同的数,且a+b=c+d)的解是什么?【解析】
【解析】用常规的方法去分母,计算量大。观察分母的特点,看到四个分母中的x-7比x-6差1,x-2比x-1差1,因此方程移项得到 eq \f(1,x-7)- eq \f(1,x-6)= eq \f(1,x-2)- eq \f(1,x-1),方程的左右两边相减后,分子均为1,从而将分式方程化简。根据整数常数之间的关系,可以得出一定的规律。
答案:(1)方程移项,得 eq \f(1,x-7)- eq \f(1,x-6)= eq \f(1,x-2)- eq \f(1,x-1),方程两边分别相减,得 eq \f(1,(x-7)(x-6))= eq \f(1,(x-2)(x-1))。所以(x-7)(x-6)=(x-2)(x-1),即x2-13x+42=x2-3x+2,化简得10x=40,解得x=4。经检验,x=4是原方程的根。
(2)发现分式分母中的常数项都是整数,并且有规律:①(-7)+(-1)=(-6)+(-2),即(-7)-(-6)=(-2)-(-1);②- eq \f((-7)+(-1),2)=- eq \f((-6)+(-2),2)=4。
(3)猜想:方程的解是x=- eq \f(a+b,2)=- eq \f(c+d,2)。
【沙场点兵】
1.分式方程=1的解为( )
A.x=﹣1B.x=C.x=1D.x=2
2.若关于x的分式方程无解,则m的值为( )
A.0B.2C.0或2D.±2
3.若关于x的分式方程的解为x=2,则m值为( )
A.2B.0C.6D.4
4.已知关于x的方程=3的解是正数,那么m的取值范围为( )
A.m>﹣6且m≠﹣2B.m<6C.m>﹣6且m≠﹣4D.m<6且m≠﹣2
5.张三和李四两人加工同一种零件,每小时张三比李四多加工5个零件,张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等,求张三和李四每小时各加工多少个这种零件?若设张三每小时经过这种零件x个,则下面列出的方程正确的是( )
A.=B.=C.=D.=
6.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数,则k的取值范围是( )
A.k>或k≠1B.k>且k≠1C.k<且k≠1D.k<或k≠1
7.若关于x的方程无解,则a的值为( )
A.或﹣2B.或﹣1C.或﹣2或﹣1D.﹣2或﹣1
8.若方程的根为正数,则k的取值范围是( )
A.k<2B.﹣3<k<2C.k≠﹣3D.k<2且 k≠﹣3
9.若方程+=﹣1无解,则m的值是( )
A.﹣1B.3C.﹣1或3D.﹣1或﹣
10.下列说法:
①解分式方程一定会产生增根;
②方程=0的根为2;
③方程的最简公分母为2x(2x﹣4);
④x+=1+是分式方程.
其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.某人往返于A,B两地,去时先步行2公里再乘汽车10公里;回来时骑自行车,来去所用时间恰好一样,已知汽车每小时比步行多走16公里,汽车比步行每小时多走8公里,若步行速度为x公里/小时,则可列出方程( )
A.B.
C.D.
12.已知实数x满足x2++x﹣=4,则x﹣的值是( )
A.﹣2B.1C.﹣1或2D.﹣2或1
13.关于x的分式方程=1,下列说法正确的是( )
A.m<﹣5时,方程的解为负数B.m>﹣5时,方程的解是正数
C.方程的解是x=m+5D.无法确定
14.某市处理污水,需要铺设一条长为1000米的管道,为了尽量减少施工对交通所造成的影响,实际施工时,每天比原计划多铺设10米,结果提前5天完成任务.设原计划每天铺设管道x米,则可得方程( )
A.B.
C.D.
15.若解关于x的方程有增根x=﹣1,则a的值为( )
A.3B.﹣3C.3或1D.﹣3或﹣1
【实战演练】
1.(2016•宜兴)已知关于x的方程的解是负数,则m的取值范围为 .
2.(2016•黑龙江)已知关于x的分式方程=1无解,则a的值为 .
3.(2015•黄冈)观察方程①:x+=3,方程②:x+=5,方程③:x+=7.则第10个方程解是 .
4.(2015•市北)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意可列方程 .
5.(2015•遂宁)若关于x的方程=3+无解,则m值为 .
6.(2015•甘肃)使分式方程产生增根,m的值为 .
7.(2015•北京)如表:方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程:
(1)若方程﹣=1(a>b)的解是x1=6,x2=10,则a= b= .
(2)请写出这列方程中第n个方程: 方程的解: .
8.(2014•杨浦)已知:2x2﹣4x=﹣1,求x2﹣2x的值 .
9.(2014•杭州)观察分析下列方程:①x+=3;②x+=5;③x+=7.请利用它们所蕴含的规律,求关于x的方程x+=2(n﹣1)(n为正整数)的根,你的答案是: .
10.(2014•虹口)方程x2﹣=3x﹣4中,如果设y=x2﹣3x,那么原方程可化为关于y的整式方程是 .
三.解答题
11.(2016•呼和浩特)某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成.根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,6天可以完成,共需工程费用385200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比乙队多4000元,从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?
12.(2016•吉安)某商店用1050元购进第一批某种文具盒,很快卖完.又用1440元购进第二批该种文具盒,但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍,数量比第一批多了10只.
(1)求第一批每只文具盒的进价是多少元?
(2)卖完第一批后,第二批按24元/只的价格销售,恰好销售完一半时,根据市场情况,商店决定对剩余的文具盒全部按同一标准一次性打折销售,但要求这批文具盒利润不得少于288元,问最低可打几折?
13.(2016•罗平)一辆汽车从A出发开往相距180千米的B地,出发后第一小时按计划匀速行驶,一小时后加速为原速的1.5倍,结果比计划提前40分钟到达B地,问:前一小时的平均速度是多少?
14.(2016•徐州)园林部门计划在一定时间内完成植树任务,甲队独做正好按期完成,乙队独做则要误期3天.现两队合作2天后,余下任务由乙队独做,正好按期完成任务.问原计划多少天完成植树任务?
15.(2016•高邮)某高速公路由于遭受冰雪灾害而瘫痪,解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务.为尽快清除公路冰雪,该部官兵每小时比原计划多清除25米冰雪,结果提前30小时完成任务,该部原计划每小时清除公路冰雪多少米?
16.(2016•顺义区一模)进入春季,大家都喜欢周末户外踏青郊游,住在顺义同一小区的大明和小丽都和全家自驾车到金海湖旅游,下图是网上提供的驾车路线方案:
实际出行时,大明选择了方案1,小丽选择了方案2,小丽平均每小时比大明多行35公里,结果大明所用时间是小丽的1.5倍,求两人去金海湖各用了多长时间?
路程
速度
时间
甲
60
1.2x
eq \f(60,1.2x)+6
乙
60
x
eq \f(60,x)
序号
方程
方程的解
1
﹣=1
x1=3,x2=4
2
﹣=1
x1=4,x2=6
3
﹣=1
x1=5,x2=8
…
…
…
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