中考复习专题十三 三角形 知识点总结与练习

这是一份中考复习专题十三 三角形 知识点总结与练习，共12页。
1、三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，
三角形的表示
三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
_
C
_
B
_
A
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．
3、三角形的分类： 三角形
等腰三角形
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形 （）（）
等边三角形
(1)按边分类：
三角形
直角三象形
斜三角形
锐角三角形大于0度
钝角三角形
（2）按角分类

4、三角形的主要线段的定义：
（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=BC.
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 （注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）
③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）
③用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）
③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）
5、三角形的主要线段的表示法：
三角形的角平分线的表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
AD是ABC的角平分线；
AD平分BAC，交BC于D；
③ 如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=BAC.
(2)三角形的中线表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
①AE是ABC的中线；
②AE是ABC中BC边上的中线；
③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=BC.
A
B
C
D
E
图1
(3)三角线的高的表示法：
如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：
AM是ABC的高；
AM是ABC中BC边上的高；
如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E；
如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90.
⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：
(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.
(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.
图4
图3
如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
图5
图7
图6
6、三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
7、三角形的角与角之间的关系：
(1)三角形三个内角的和等于180;
图8
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
8、三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：
一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，
即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，
即∠BAC+∠B+∠C=1800．
注意：
（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
9、三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
10、三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11、三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.
关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形
(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=DAC.
图9
(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.
基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.


12、多边形
在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。
（1）多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形
各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形
多边形的内角和为 （n-2）*180度
多边形的外角和为 360度
【抛砖引玉】
【例1】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A,C,D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）AE与BD互相垂直吗？请说明你的结论。
【解析】∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC EC=CD又∵∠BCD=∠ACB=90°在△ACE与△BCD中，｛AC=BC｛EC=DC｛∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）
直线AE与BD互相垂直就是证明∠AFD=90° 所以延长AE叫BD与F（题目已有） 又因为△ACE≌△BCD。所以∠AEC=∠BDC 又因为∠BEF=∠AEC（对顶角） 所以∠BEF=∠BDC 又因为∠B+∠BDC=90° 所以∠BEF+∠B=90° 所哟AF⊥BD 所以直线AE与BD互相垂直
【例2】如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，AB‖DE，且AB=DE，求证：1.△ABC≌△DEF 2.∠CBF=∠FEC
【解析】证∶∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3
∴∠ead＝∠bac
在△ead和△bac中
∵∠b=∠e
ab=ae
∠ead=∠bac ∴△ead≌△bac﹙ASA﹚ ∴BC=ED ﹙全等三角形的对应边相等﹚
【沙场点兵】
1、已知△ABC,P为内角平分线AD,BE,CF的交点，过点P作PG⊥BC于点G,说明∠BPD、∠CPG的大小关系，并说明理由。
2、如图所示,△ABC与△DEF全等,问经过怎样的图形变换,可使这两个三角形重合？
3、AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，容易说明∠E=90°，试探究∠BAE和∠DCE有何关系时∠E=90°，并写出理由。
【实战演练】
1.（2002南京）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF=EF．
2.（2003北京）如图,在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,若∠A=42°,（1）求∠BOC的度数。
2）把（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC与∠A之间有怎样的数量关系。
3.（2007陕西）如图的花环状图案中，ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形．试说明∠1=∠2。
4.（2003大连）如图,已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB和∠DGB的度数。