中考复习专题七 不等式（组） 知识点总结与练习

专题七  不等式（组）

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一．不等式的概念及其性质

1. 不等式：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）(或≠)连成的式子叫做不等式。

2．不等式的基本性质

  不等式的基本性质一：不等式的两边都加或（减）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质二：不等式的两边都乘或（除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质三：不等式的两边都乘或（除以）同一个负数，不等号的方向改。

3．不等式的解;使不等式成立的未知数的值。

4.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围。

二．一元一次不等式及其解法

1. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

2. 解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1。在（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况。

三．一元一次不等式组及其解法

1.一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

2. 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

3.解一元一次不等式组的步骤

① 先求出一元一次不等式组中每个不等式的解集。

② 再求出它们解集的公共部分。

4.一元一次不等式组的解集表示。

一元一次不等式组解集的规律四种情况可文字表示为：

①同大取大      ②同小取小    ③大小小大中间找   ④大大小小找不着

四.列不等式（组）解决实际问题

 1.步骤：（1）审清题意找出不等关系；（2）设出未知数;(3)列不等式（组）；（4）解不等式（组）：（5）写出答案。

2.解不等式（组）的实际应用问题时常用的关键词语与不等号的对应关系：

(1).大于、多余、超过、高于    符号_______

(2).少于、小于、不足、低于    符号________

(3).至少、不低于、不少于、不小于    符号__________

(4)、至多、不超过、不高于、不大于  符号_________.

【抛砖引玉】

例1.          给出下列表达式：①a（b+c）=ab+ac；②﹣2＜0；③x≠5；④2a＞b+1；⑤x2﹣2xy+y2；⑥2x﹣3＞6，其中不等式的个数是​ ________ 

【解析】

①   a（b+c）=ab+ac是等式；
②  ﹣2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③  x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；
④  2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤  x2﹣2xy+y2是代数式；
⑥  2x﹣3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，
故答案为：4

例2. 已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）

A．a＞b      B．a+2＞b+2          C．-a＜-b        D．2a＞3b

【解析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，-a＜-b．
故选D．
例3. 若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2

【解析】解：，

解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，

由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，

∵不等式组：不等式组有解，

∴a＞﹣2，

故选D．

例4. 如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），求关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集。

【解析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可．

解：∵函数y1=﹣2x过点A（m，2），

∴﹣2m=2，

解得：m=﹣1，

∴A（﹣1，2），

∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．

例5. 某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．

（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．

【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；

（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．

【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：

，

 解之得：，

答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．

（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；

由题意得： 

解之得：8≤m≤10

因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10

即：学校的购买方案有以下三种：

方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，

方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，

方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．

【沙场点兵】

一．选择题

1．给出下面5个式子：①3＞0；②4x+3y≠0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3，其中不等式有（　　）

A．2个    B．3个     C．4个     D．5个

2. 下列不等式变形正确的是（　　）

A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2

C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b

3. 下列不等式变形正确的是（　　）

A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2

C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b

4. 关于x的不等式x﹣b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）

A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2

5. 如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（　　）

A．x＞0   B．0＜x＜1   C．1＜x＜2   D．x＞2

二．填空题

1. 用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1　　0．

2.已知关于x的不等式3x+mx＞﹣8的解集如图所示，则m的值为　　．

3. 如图，已知函数y=ax+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3＜0的解集是　__________　．

4. 不等式组的解集为　_________　．

三．解答题

1. 哈市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种君子兰进行培育，若购进甲种2株，乙种3株，则共需要成本1700元；若购进甲种3株，乙种1株，则共需要成本1500元．

（1）求甲乙两种君子兰每株成本分别为多少元？

（2）该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下购进甲、乙两种君子兰，若购进乙种君子兰的株数比甲种君子兰的3倍还多10株，求最多购进甲种君子兰多少株？

【实战演练】

一．选择题

1. 无论x取什么数，下列不等式总成立的是（　　）

A．x+5＞0 B．x+5＜0 C．﹣（x+5）2＜0 D．（x﹣5）2≥0

2. 如果a+b＜0，且b＞0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系为（　　）

A．a＜b＜﹣a＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．a＜﹣b＜﹣a＜b D．a＜﹣b＜b＜﹣a

3.若不等式组的解集中的任何一个x的值均不在2≤x≤5范围内，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1  B．a＜1或a＞5     C．a≤1或a≥5      D．a＜1且a＞5

4. 使不等式3x﹣7＜5﹣x成立的最大整数x为（　　）

A．0    B．1  C．2      D．3

5．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为（　　）

A．x≥m B．x≥2 C．x≥1 D．y≥2

二．填空题

1. 已知x≥2的最小值是a，x≤﹣6的最大值是b，则a+b=　___　．

2．若a＜b，那么﹣2a+9　　﹣2b+9（填“＞”“＜”或“=”）．

3. 根据图所示，用不等式表示公共部分x的范围是　___________　．

4. 阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8时离开家，要在8时30分到8时40分之间（不含8时30分和8时40分）到学校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为　_______　．

三．解答题

1. 2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．

（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？

（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？