中考复习专题十一 二次函数 知识点总结与练习

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专题十一  二次函数【考点扫描】二次函数的有关概念：1.概念一般地，把形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。2.性质（1）二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线。（2）二次函数的三种表达式一般式：y=ax²;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)²;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a   k=(4ac-b²;)/4a   x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a3.图像（1）抛物线有一个顶点P，坐标为   P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。 当-b/2a=0时，P在y轴上；    当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。 （2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；  当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 （3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 （4）常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）（5）抛物线与x轴交点个数 Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。【抛砖引玉】【例1】）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；③当x=﹣2时，函数y的值等于0；④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】此题考查了根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法观察图象即可判断．①开口向上，应有最小值；②根据抛物线与x轴的交点坐标来确定抛物线的对称轴方程；③x=﹣2时，对应的图象上的点在x轴下方，所以函数值小于0；④图象与x轴交于﹣3和1，所以当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．选C【例2】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是（　　） A．    B．  C．  D． 【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系及一次函数图象与系数的关系，难度不大，关键注意题图结合认真分析．图象开口向上可知a大于0，又对称轴x=﹣b/2a＜0．可得b＞0，所以，函数y=ax+b图象是递增趋势，且与y轴的交点坐标大于0，故选B．【例3】抛物线y=﹣3x2+2x﹣1的图象与坐标轴的交点情况是（　　）A．没有交点 B．只有一个交点C．有且只有两个交点 D．有且只有三个交点【解析】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，此题的易错点是忽略了抛物线与y轴的交点．∵△=22﹣4×（﹣3）×（﹣1）=﹣8＜0，∴抛物线y=﹣3x2+2x﹣1的图象与x轴没有交点，∵抛物线与y轴一定有一个交点，∴此抛物线与坐标轴有一个交点．故选B．【例4】福娃们在一起探讨研究：函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a﹣1时，函数值（　　）参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（　　）贝贝：我注意到当x=0时，y=m＞0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=．欢欢：我判断出x1＜a＜x2．迎迎：我认为关键要判断a﹣1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【解析】本题考查了两根关系、函数增减性的运用 ，由两根关系判断两根的范围，根据x1＜a＜x2，再确定a的范围，可知x=a﹣1的符号，从而确定对应的函数值的符号．由两根关系可知，x1+x2=1，x1•x2=m＞0，∴0＜x1＜x2＜1，又∵x1＜a＜x2＜1，∴x=a﹣1＜0，x=0时，y=m，当x＜时，y随x的增大而减小，∴当x=a﹣1时，y＞m，故选C．【沙场点兵】1.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）22.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b＞n（an+b）（n≠1），其中正确的结论有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1　　y2．（填“＞”，“＜”或“=”）4．已知两点A（﹣5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2＞y0，则x0的取值范围是　．5、某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？    6、14．（2016•阳泉模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒1 个单位长的速度运动 t（t＞0）秒，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（可用含 t 的代数式表示）；（2）当 t＞1 时，抛物线与线段 AB 交于点 M．在点 P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围．【实战演练】一．选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．32、把一段长1.6m的铁丝围成长方形ABCD，设宽为xm，面积为ym2．则当y最大时，x所取的值是（　　）A．0.5  B．0.4   C．0.3 D．0.6二．填空题1．矩形周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为　   　．2．求一次函数y=kx+n（k≠0）的图象l与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的交点，解方程组　   　．三、解答题5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线过y=ax2+bx+c（a≠0）点A．（1）求c的值；（2）若a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点，A，D，E，求△ADE的面积S的最大值． 6．已知：关于x的一元二次方程：x2﹣2mx+m2﹣4=0．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式．