2019年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知二次函数 y=a−1x2+3 的图象有最高点，那么 a 的取值范围是
A. a>0B. a<0C. a>1D. a<1

2. 下列二次函数中，如果图象能与 y 轴交于点 A0,1，那么这个函数是
A. y=3x2B. y=3x2+1C. y=3x+12D. y=3x2−x

3. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使 △ADE 与 △ABC 相似，那么这个条件是
A. ∠AED=∠BB. ∠ADE=∠CC. ADAC=AEABD. ADAB=DEBC

4. 已知 a，b，c 都是非零向量，如果 a=2c，b=−2c，那么下列说法中，错误的是
A. a∥bB. a=b
C. a+b=0D. a 与 b 方向相反

5. 已知 ⊙O1 和 ⊙O2，其中 ⊙O1 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于 2，那么两圆外切时圆心距等于
A. 1B. 4C. 5D. 8

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，且 DE 经过重心 G，在下列四个说法中：① DEBC=23；② BDAD=13；③ C△ADEC△ABC=23；④ S△ADES四边形DBCE=45，正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 xy=72，那么 x−2yy 的值是 ．

8. 化简：3a+12b−2a−b= ．

9. 如果抛物线 y=2x2+x+m−1 经过原点，那么 m 的值等于 ．

10. 将抛物线 y=12x+32−4 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．

11. 已知抛物线 y=2x2+bx−1 的对称轴是直线 x=1，那么 b 的值等于 ．

12. 已知 △ABC 三边的比为 2:3:4，与它相似的 △AʹBʹCʹ 最小边的长等于 12，那么 △AʹBʹCʹ 最大边的长等于 ．

13. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=3，BC=1，那么 ∠A 的正弦值是 ．

14. 正八边形的中心角为 度．

15. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD=12，BC=5，那么 DC 的长等于 ．

16. 如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，过 E 作 EF∥CD 交 BD 于点 F，如果 AB:CD=2:3，EF=6，那么 CD 的长等于 ．

17. 已知二次函数 y=ax2+ca>0 的图象上有纵坐标分别为 y1，y2 的两点 A，B，如果点 A，B 到对称轴的距离分别等于 2，3，那么 y1 y2（填“<”，“=”或“>”）．

18. 如图，△ABC 中，AB=AC=8，csB=34，点 D 在边 BC 上，将 △ABD 沿直线 AD 翻折得到 △AED，点 B 的对应点为点 E，AE 与边 BC 相交于点 F，如果 BD=2，那么 EF= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：4sin45∘+cs230∘−2ct45∘tan60∘−2．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在边 BC 上，AE 与 BD 相交于点 G，AG:GE=3:1．
（1）求 EC:BC 的值；
（2）设 BA=a，AO=b，那么 EC= ，GB= （用向量 a，b 表示）．

21. 如图，⊙O1 和 ⊙O2 相交于 A，B 两点，O1O2 与 AB 交于点 C，O2A 的延长线交 ⊙O1 于点 D，点 E 为 AD 的中点，AE=AC，连接 OE．
（1）求证：O1E=O1C；
（2）如果 O1O2=10，O1E=6，求 ⊙O2 的半径长．

22. 如图，小山的一个横断面是梯形 BCDE，EB∥DC，其中斜坡 DE 的坡长为 13 米，坡度 i=1:2.4，小山上有一座铁塔 AB，在山坡的坡顶 E 处测得铁塔顶端 A 的仰角为 45∘，在与山坡的坡底 D 相距 5 米的 F 处测得铁塔顶端 A 的仰角为 31∘（点 F，D，C 在一直线上），求铁塔 AB 的高度．
（参考数值：sin31∘≈0.52，cs31∘≈0.86，tan31∘≈0.6）

23. 已知：如图，△ADE 的顶点 E 在 △ABC 的边 BC 上，DE 与 AB 相交于点 F，AE2=AF⋅AB，∠DAF=∠EAC．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求证：DFDE=CECB．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−3a≠0 与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，且 OB=3OA，与 y 轴交于点 C，此抛物线顶点为点 D．
（1）求抛物线的表达式及点 D 的坐标；
（2）如果点 E 是 y 轴上的一点（点 E 与点 C 不重合），当 BE⊥DE 时，求点 E 的坐标；
（3）如果点 F 是抛物线上的一点，且 ∠FBD=135∘，求点 F 的坐标．

25. 如图，点 O 在线段 AB 上，AO=2OB=2a，∠BOP=60∘，点 C 是射线 OP 上的一个动点．
（1）如图 ①，当 ∠ACB=90∘，OC=2，求 a 的值；
（2）如图 ②，当 AC=AB 时，求 OC 的长（用含 a 的代数式表示）；
（3）在第（2）题的条件下，过点 A 作 AQ∥BC，并使 ∠QOC=∠B，求 AQ:OQ 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意可知 a−1<0，
∴a<1．
2. B【解析】当 x=0 时，y=3x2=0；
当 x=0 时，y=3x2+1=1；
当 x=0 时，y=3x+12=9；
当 x=0 时，y=3x2−x=0，
∴ 抛物线 y=3x2+1 与 y 轴交于点 0,1．
3. D【解析】由题意得，∠A=∠A．
A．当 ∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B．当 ∠ADE=∠C 时，△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
C．当 ADAC=AEAB 时，△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
D．当 ADAB=DEBC 时，不能推断 △ADE 与 △ABC 相似，故选项符合题意．
4. C【解析】A．因为 a=2c，b=−2c，所以 a∥b，且 a 与 b 方向相反，故本选项说法正确；
B．因为 a=2c，b=−2c，所以 a=b=2c，故选项说法正确；
C．因为 a=2c，b=−2c，所以 a∥b，则 a⋅b=0，故本选项说法错误；
D．因为 a=2c，b=−2c，所以 a∥b，且 a 与 b 方向相反，故本选项说法正确．
5. B
【解析】∵ 两圆相内切，设小圆半径为 x，圆心距为 2，
∴3−x=2，
∴x=1，
∴ 小圆半径为 1，
这两圆外切时，圆心距为 1+3=4．
6. C【解析】如图所示，连接 AG 并延长，交 BC 于 F．
∵DE∥BC 且 DE 经过重心 G，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=AGAF=23，故①正确；
∴C△ADEC△ABC=23，故③正确；
∵DG∥BF，
∴GFGA=DBDA=12，故②错误；
∵△ADE∽△ABC，DEBC=23，
∴S△ADES△ABC=49，
∴S△ADES四边形DBCE=45，故④正确．
第二部分
7. 32
【解析】∵xy=72，
∴ 设 x=7a，则 y=2a，
那么 x−2yy=7a−4a2a=32．
8. a+72b
【解析】3a+12b−2a−b=3a+32b−2a+2b=3−2a+32+2b=a+72b.
9. 1
【解析】把 0,0 代入 y=2x2+x+m−1 得 m−1=0，解得 m=1．
10. y=12x+12−1
【解析】将抛物线 y=12x+32−4 向右平移 2 个单位所得直线解析式为 y=12x+3−22−4=12x+12−4，再向上平移 3 个单位为 y=12x+12−4+3，即 y=12x+12−1．
11. −4
【解析】∵y=2x2+bx−1，
∴ 抛物线对称轴为 x=−b2×2=−b4，
∴−b4=1，解得 b=−4．
12. 24
【解析】设 △AʹBʹCʹ 的最大边长是 x，
根据相似三角形的对应边的比相等，可得 x12=42，解得 x=24，
∴△AʹBʹCʹ 最大边的长等于 24．
13. 13
【解析】∵∠ACB=90∘，AB=3，BC=1，
∴∠A 的正弦值 sinA=BCAB=13．
14. 45
【解析】正八边形的中心角等于 360∘÷8=45∘．
15. 25
【解析】∵AB⊥BC，
∴∠ABD+∠DBC=90∘，
∵BD⊥DC，
∴∠C+∠DBC=90∘，
∴∠ABD=∠C，
∴tanC=BDDC=12，
∴BD=12CD，
由勾股定理得 BD2+CD2=BC2，即 12CD2+CD2=52，
解得 CD=25．
16. 15
【解析】∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴BEEC=ABCD=23，
∴BEBC=25，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴EFCD=BEBC=25，
∵EF=6，
∴CD=15．
17. <
【解析】∵ 二次函数 y=ax2+ca>0，
∴ 抛物线开口向上，
∵ 点 A，B 到对称轴的距离分别等于 2，3，
∴y118. 3215
【解析】如图所示，过 A 作 AH⊥BC 于 H．
∵AB=AC=8，csB=34，
∴BH=6=CH，BC=12，
由折叠可得 BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=6，
又 ∵∠AFC=∠DFE，
∴△AFC∽△DFE，
∴DFAF=EFCF=DEAC=14，
设 EF=x，则 CF=4x，AF=8−x，
∴DF=14AF=2−14x，
∵BD+DF+CF=BC，
∴2+2−14x+4x=12，解得 x=3215，
∴EF=3215．
第三部分
19. 原式=4×22+322−2×13−2=22+34−23+2=34−23.
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴ADBE=AGGE=3，
∴BCBE=3，
∴EC:BC=2:3．
（2） 23a+43b；−12a−12b
【解析】∵AO=b，AC=2AO，
∴AC=2b，
∵BC=BA+AC=a+2b，EC=23BC，
∴EC=23a+43b；
∵AD∥BE，
∴BGGD=EGAG=13，
∴BG=14BD，
∵BD=BA+AD=BA+BC=a+a+2b=2a+2b，
∴BG=142a+2b=12a+12b，
∴GB=−12a−12b．
21. （1） 连接 O1A．
∵ 点 E 为 AD 的中点，
∴O1E⊥AD，
∵⊙O1 和 ⊙O2 相交于 A，B 两点，O1O2 与 AB 交于点 C，
∴O1C⊥AB，
在 Rt△O1EA 和 Rt△O1CA 中，
O1A=O1A,AE=AC,
∴Rt△O1EA≌Rt△O1CAHL，
∴O1E=O1C．
（2） 设 ⊙O2 的半径长为 r．
∵O1E=O1C=6，
∴O2C=10−6=4，
在 Rt△O1EO2 中，O2E=O1O22−O1E2=8，则 AC=AE=8−r，
在 Rt△ACO2 中，O2A2=AC2+O2C2，即 r2=8−r2+42，
解得 r=5，即 ⊙O2 的半径长为 5．
22. 延长 AB 交 DC 于 G，过 E 作 EH⊥CD 于 H，
则四边形 EHGB 是矩形．
∵ 斜坡 DE 的坡长为 13 米，坡度 i=1:2.4，
∴ 设 EH=5x，DH=12x，
∵EH2+DH2=DE2，
∴5x2+12x2=132，
∴x=1，
∴EH=5，DH=12，
∵EB∥DC，
∴∠ABE=∠AGH=90∘，
∵∠AEB=45∘，
∴AB=BE，
∴HG=AB，
∴FG=5+12+AB，AG=AB+5，
∵∠F=31∘，
∴tanF=tan31∘=AGFG=AB+517+AB=0.6，
∴AB=13 米．
答：铁塔 AB 的高度是 13 米．
23. （1） ∵AE2=AF⋅AB，
∴AEAB=AFAE，
∵∠EAF=∠BAE，
∴△AEF∽△ABE，
∴∠AEF=∠B，
∵∠DAF=∠EAC，
∴∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB．
（2） ∵△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，∠D=∠C，
∵∠DAF=∠EAC，
∴△ADF∽△ACE，
∴ADAC=DFEC，
∴DEBC=DFEC，
∴DFDE=CECB．
24. （1） OB=3OA=3，则点 B 的坐标为 3,0，点 A−1,0，
则函数的表达式为 y=ax+3x−1=ax2+2x−3，则 −3a=−3，解得 a=1，
则抛物线的表达式为 y=x2−2x−3. ⋯⋯①
函数对称轴为 x=−b2a=1，则点 D 的坐标为 1,−4．
（2） 如图，过点 D 作 DL⊥y 轴，交于点 L．
设 OE=m，则 EL=4−m，OB=3，DL=1．
∵∠LED+∠OEB=90∘，∠OEB+∠OBE=90∘，
∴∠LED=∠OBE，
∴tan∠LED=tan∠OBE，即 OEOB=LDEL，m3=14−m，
解得 m=1 或 3（舍去 x=3），则点 E 的坐标为 0,−1．
（3） 延长 BD 交 y 轴于点 H，将 △BCH 围绕点 B，顺时针旋转 135∘ 至 △BCʹHʹ 的位置，延长 BHʹ 交抛物线于点 F．
∵OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45∘，
则 ∠FBD=135∘，BCʹ⊥x 轴，则点 Cʹ3,32，
∠HʹCʹB=∠HCB=180∘−45∘=135∘，tan∠ABD=−yDOB−xD=42=2，
OH=OB⋅tan∠ABD=2×3=6，则 HC=6−3=3=HʹCʹ，
过点 Cʹ 作 CʹG⊥GHʹ 交于点 G，
在 △BGHʹ 中，GCʹ=HʹCʹcs45∘=322=GHʹ，
则点 Hʹ 的坐标为 3−322,922，
将点 Hʹ，B 的坐标代入一次函数表达式 y=kx+b 得 0=3k+b,922=3−322k+b,
解得 k=−3,b=9,
则直线 BHʹ 的表达式为 y=−3x+9, ⋯⋯②
联立 ①② 并解得 x=3 或 −4（x=3 舍去），故点 F 的坐标为 −4,21．
25. （1） 如图 ① 中，作 CH⊥AB 于 H．
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=∠BHC=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACH+∠BCH=90∘，
∵∠ACH+∠A=90∘，
∴∠BCH=∠A，
∴△ACH∽△CBH，
∴CHBH=AHCH，
∵OC=2，∠COH=60∘，
∴∠OCH=30∘，
∴OH=12OC=1，CH=3，
∴3a−1=2a+13，整理得 2a2−a−4=0，
解得 a=1+334 或 1−334（舍弃），经检验 a=1+334 是分式方程的解．
∴a=1+334．
（2） 如图 ② 中，设 OC=x，作 CH⊥AB 于 H，则 OH=x2，CH=32x．
在 Rt△ACH 中，
∵AC2=AH2+CH2，
∴3a2=32x2+2a+12x2，整理得 x2+ax−5a2=0，
解得 x=6−1a 或−6−1a（舍弃），
∴OC=6−1a．
（3） 如图 ②−1 中，延长 QC 交 CB 的延长线于 K．
∵∠AOC=∠∠AOQ+∠QOC=∠ABC+∠OCB，∠QOC=∠ABC，
∴∠AOQ=∠KCO，
∵AQ∥BK，
∴∠Q=∠K，
∴△QOA∽△KCO，
∴AQOK=OQKC，
∴AQOQ=OKKC，
∵∠K=∠K，∠KOB=∠AOQ=∠KCO，
∴△KOB∽△KCO，
∴OKKC=OBOC，
∴AQOQ=OBOC=a6−1a=6+15．