2019年上海市闵行区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市闵行区中考一模数学试卷（期末），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，下列等式中不成立的是
A. tanB=baB. csB=acC. sinA=acD. ctA=ab

2. 如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30∘ 方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的
A. 北偏东 30∘B. 北偏西 30∘C. 北偏东 60∘D. 北偏西 60∘

3. 将二次函数 y=2x−22 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得图象的函数解析式为
A. y=2x−22−4B. y=2x−12+3
C. y=2x−12−3D. y=2x2−3

4. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是
A. a<0B. b>0C. c>0D. abc>0

5. 已知：点 C 在线段 AB 上，且 AC=2BC，那么下列等式正确的是
A. AC+2BC=43ABB. AC−2BC=0
C. AC+BC=BCD. AC−BC=BC

6. 已知在 △ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC 和 BC 上，且 DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是
A. AEEC=CFFBB. AEEC=DEBCC. DFAC=DEBCD. ECAC=FCBC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知：x:y=2:5，那么 x+y:y= ．

8. 化简：−32a+b+12a−32b= ．

9. 抛物线 y=x2+3x+2 与 y 轴的交点坐标是 ．

10. 已知二次函数 y=−12x2−3，如果 x>0，那么函数值 y 随着自变量 x 的增大而 （填“增大”或“减小”）．

11. 已知线段 AB=4 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP>BP），那么线段 AP= 厘米．（结果保留根号）

12. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DE∥BC．如果 ADAB=35，DE=6，那么 BC= ．

13. 如果两个相似三角形的相似比为 2:3，那么这两个相似三角形的面积比为 ．

14. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=210，tanA=13，那么 BC= ．

15. 某超市自动扶梯的坡比为 1:2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了 5.2 米，那么这位顾客此时离地面的高度为 米．

16. 在 △ABC 和 △DEF 中，ABDE=BCEF．要使 △ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是 （只需填写一个正确的答案）．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=42，点 D，E 分别在边 AB 上，且 AD=2，∠DCE=45∘，那么 DE= ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，点 D 为边 AB 上一点．将 △BCD 沿直线 CD 翻折，点 B 落在点 E 处，连接 AE．如果 AE∥CD，那么 BE= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A1,0，B0,−5，C2,3．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．E 为边 AB 上一点，且 BE=2AE．设 AB=a，AD=b．
（1）填空：向量 DE= ；
（2）如果点 F 是线段 OC 的中点，那么向量 EF= ，并在图中画出向量 EF 在向量 AB 和 AD 方向上的分向量．
（注：本题结果用向量 a，b 的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=6，AC=8．点 D 是 AB 边上一点，过点 D 作 DE∥BC，交边 AC 于 E．过点 C 作 CF∥AB，交 DE 的延长线于点 F．
（1）如果 ADAB=13，求线段 EF 的长；
（2）求 ∠CFE 的正弦值．

22. 如图，某公园内有一座古塔 AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 9 时太阳光线与水平面的夹角为 32∘，此时塔在建筑物的墙上留下了高 3 米的影子 CD．中午 12 时太阳光线与地面的夹角为 45∘，此时塔尖 A 在地面上的影子 E 与墙角 C 的距离为 15 米（B，E，C 在一条直线上），求塔 AB 的高度．（结果精确到 0.01 米）
参考数据：sin32∘≈0.5299，cs32∘≈0.8480，tan32∘≈0.6249，2≈1.4142．

23. 如图，在 △ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，且 AD=AB，AE⊥BC，垂足为点 E．过点 D 作 DF∥AB，交边 AC 于点 F，连接 EF，EF2=12BD⋅EC．
（1）求证：△EDF∽△EFC．
（2）如果 SΔEDFSΔADC=14，求证：AB=BD．

24. 已知：在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A5,0，B−3,4，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 OB，BD．求 ∠BDO 的余切值；
（3）如果点 P 在线段 BO 的延长线上，且 ∠PAO=∠BAO，求点 P 的坐标．

25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，AD=5，BC=15，cs∠ABC=513．E 为射线 CD 上任意一点，过点 A 作 AF∥BE，与射线 CD 相交于点 F．连接 BF，与直线 AD 相交于点 G．设 CE=x，AGDG=y．
（1）求 AB 的长；
（2）当点 G 在线段 AD 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果 S平行四边形ABEFS四边形ABCD=23，求线段 CE 的长．
答案
第一部分
1. D【解析】∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，
∴tanB=ba，故A选项成立；
csB=ac，故B选项成立；
sinA=ac，故C选项成立；
ctA=ba，故D选项不成立．
2. B【解析】∵ 从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30∘ 方向，
∴ 从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西 30∘ 方向．
3. C【解析】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数 y=2x−22 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后，得以新的抛物线的表达式是 y=2x−2+12−3，即 y=2x−12−3．
4. B【解析】（A）由图象的开口方向可知：a<0，故A正确；
（B）由对称轴可知：x=−b2a<0，∴b<0，故B错误；
（C）由图象可知：c>0，故C正确；
（D）∵a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故D正确．
5. C
【解析】∵AC=2BC，
∴BC=13AB，AC=23AB，
∴AC+2BC=43AB，AC−2BC=0，AC+BC=AB，AC−BC=BC，
∴AC+2BC=0，AC−2BC=4BC，AC+BC=BC，AC−BC=3BC．
故选项ABD等式不成立，选项C等式正确．
6. A【解析】∵DE∥BC，DF∥AC，
∴AEEC=ADDB，FCFB=ADDB，
∴AEEC=CFBF．
第二部分
7. 7:5
【解析】∵x:y=2:5，
∴ 设 x=2a，则 y=5a，
那么 x+y:y=7:5．
8. −a+14b
【解析】−32a+b+12a−32b=−32a+b+12a−34b=−32+12a+1−34b=−a+14b.
9. 0,2
【解析】令 x=0，y=2，则抛物线 y=x2+3x+2 与 y 轴的交点坐标是 0,2．
10. 减小
【解析】∵ 二次函数 y=−12x2−3，
∴ 该函数的开口向下，顶点坐标为 0,−3，
∴ 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小．
11. 25−2
【解析】∵ 点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>BP，
∴AP=5−12AB=25−2．
12. 10
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵ADAB=35，
∴6BC=35，
解得：BC=10．
13. 4:9
【解析】∵ 两个相似三角形的相似比为 2:3，
∴ 这两个相似三角形的面积比为 4:9．
14. 2
【解析】∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，tanA=13，
∴ 可设 BC=a，AC=3a，
∵BC2+AC2=AB2，
∴a2+3a2=2102，
解得 a=2，
∴BC=2．
15. 2
【解析】由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为 1:2.4．
设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为 x 米，则水平宽度为 2.4x 米，
由勾股定理得 x2+2.4x2=5.22，
解之得 x=2（负值舍去）．
16. ∠B=∠E
【解析】在 △ABC 和 △DEF 中，ABDE=BCEF．要使 △ABC∽△DEF，需要添加的条件是 ∠B=∠E（答案不唯一）．
17. 103
【解析】如图，将 △BCE 绕点 C 逆时针旋转 90∘ 得到 △ACF，连接 DF，
∵∠ACB=90∘，AC=BC=42，
∴AB=8，∠CAB=∠ABC，
∵AD=2，
∴BD=6=DE+BE，
∵ 将 △BCE 绕点 C 逆时针旋转 90∘ 得到 △ACF，
∴△AFC≌△BEC，
∴AF=BE，CF=EC，∠FAC=∠ABC=45∘=∠CAB，∠ACF=∠BCE，
∴∠FAD=90∘，
∵∠DCE=45∘，∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=45∘，
∴∠ACD+∠FCA=45∘=∠DCE，且 CF=BC，CD=CD，
∴△FCD≌△ECDSAS，
∴DE=DF，
在 Rt△ADF 中，DF2=AD2+AF2，
∴DE2=4+6−DE2，
∴DE=103．
18. 245
【解析】如图所示，过 D 作 DG⊥BC 于 G，
由折叠可得，CD 垂直平分 BE，
∴ 当 CD∥AE 时，∠AEB=∠DFB=90∘，
∴∠DEB+∠DEA=90∘，∠DBE+∠DAE=90∘，
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∴AD=BD，
∴D 是 AB 的中点，
∴Rt△ABC 中，CD=BD=2.5，
∵DG⊥BC，
∴BG=1.5，
∴Rt△BDG 中，DG=2，
∵12BC×DG=12CD×BF，
∴BF=BC×DGCD=125，
∴BE=2BF=245．
第三部分
19. 由这个函数的图象经过点 A1,0，B0,−5，C2,3，
∴a+b+c=0,c=−5,4a+2b+c=3,
解得 a=−1,b=6,c=−5,
∴ 所求函数的解析式为 y=−x2+6x−5；
∵y=−x2+6x−5=−x−32+4，
∴ 这个函数图象的顶点坐标为 3,4，对称轴为直线 x=3．
20. （1） −b+13a
【解析】∵AB=a，BE=2AE，
∴AE=13a，
∵DE=DA+AE=−b+13a．
（2） 512a+34b
【解析】∵AC=AB+BC=a+b，AF=34AC，
∴AF=34a+34b，
∵EF=EA+AF=−13a+34a+34b=512a+34b．
向量 EF 在向量 AB 和 AD 方向上的分向量分别为：EM，EN（如图所示）．
21. （1） ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=13，
又 ∵BC=6，
∴DE=2，
∵DF∥BC，CF∥AB，
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形，
∴DF=BC=6，
∴EF=DF−DE=4．
（2） ∵ 四边形 BCFD 是平行四边形，
∴∠B=∠F，
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=6，AC=8，
利用勾股定理，得 AB=BC2+AC2=62+82=10，
∴sinB=ACAB=810=45，
∴sin∠CFE=45．
22. 过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，
由题意，得 HB=CD=3，EC=15，HD=BC，∠ABC=∠AHD=90∘，∠ADH=32∘，
设 AB=x，则 AH=x−3，
在 Rt△ABE 中，由 ∠AEB=45∘，得 tan∠AEB=tan45∘=ABEB．
∴EB=AB=x．
∴HD=BC=BE+EC=x+15，
在 Rt△AHD 中，由 ∠AHD=90∘，得 tan∠ADH=AHHD，
即得 tan32∘=x−3x+15，
解得：x=15−tan32∘+31−tan32∘≈32.99，
∴ 塔高 AB 约为 32.99 米．
23. （1） ∵ AB=AD，AE⊥BC，
∴ BE=ED=12DB，
∴ EF2=12⋅BD⋅EC，
∴ EF2=ED⋅EC，即得 EFEC=EDEF，
又 ∵ ∠FED=∠CEF，
∴ △EDF∽△EFC．
（2） ∵ AB=AD，
∴ ∠B=∠ADB，
又 ∵ DF∥AB，
∴ ∠FDC=∠B，
∴ ∠ADB=∠FDC，
∴ ∠ADB+∠ADF=∠FDC+∠ADF，即得 ∠EDF=∠ADC，
∵ △EDF∽△EFC，
∴ ∠EFD=∠C，
∴ △EDF∽△ADC，
∴ S△EDFS△ADC=EDAD2=14，
∴ EDAD=12，即 ED=12AD，
又 ∵ ED=BE=12BD，
∴ BD=AD，
∴ AB=BD．
24. （1） 将 A5,0，B−3,4 代入 y=ax2+bx，得：25a+5b=0,9a−3b=4,
解得：a=16,b=−56,
∴ 所求抛物线的表达式为 y=16x2−56x．
（2） ∵ 抛物线的表达式为 y=16x2−56x，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=52，
∴ 点 D 的坐标为 52,0．
过点 B 作 BC⊥x轴，垂足为点 C，如图 1 所示．
∵ 点 B 的坐标为 −3,4，点 D 的坐标为 52,0，
∴BC=4，OC=3，CD=3+52=112，
∴ct∠BDO=CDCB=118．
（3） 设点 P 的坐标为 m,n，过点 P 作 PQ⊥x轴，垂足为点 Q，如图 2 所示．
则 PQ=−n，OQ=m，AQ=5−m．
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴ct∠BAC=ACBC=84=2．
∵∠PAO=∠BAO，
∴ct∠PAO=AQPQ=5−m−n=2，即 m−2n=5. ⋯⋯①
∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴∠BCO=∠PQA=90∘，
∴BC∥PQ，
∴BCPQ=OCOQ，
∴4−n=3m，即 4m=−3n. ⋯⋯②
由 ①，② 得：m−2n=5,4m=−3n,
解得：m=1511,n=−2011,
∴ 点 P 的坐标为 1511,−2011．
25. （1） 分别过点 A，D 作 AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为点 M，N．
∵AD∥BC，AB=CD，AD=5，BC=15，
∴BM=12BC−AD=12×15−5=5，
在 Rt△ABM 中，∠AMB=90∘，
∴cs∠ABM=BMAB=5AB=513．
∴AB=13．
（2） ∵AGDG=y，
∴AG+DGDG=y+1．即得 DG=5y+1，
∵∠AFD=∠BEC，∠ADF=∠C．
∴△ADF∽△BCE．
∴FDEC=ADBC=515=13，
又 ∵CE=x，FD=13x，AB=CD=13．
即得 FC=13x+13．
∵AD∥BC，
∴FDFC=DGBC．
∴13x13x+13=5y+115．
∴y=39−2x3x．
∴ 所求函数的解析式为 y=39−2x3x，函数定义域为 0 （3） 在 Rt△ABM 中，利用勾股定理，得 AM=AB2−BM2=12．
∴S梯形ABCD=12AD+BC⋅AM=125+15×12=120．
∵S四边形ABEFS四边形ABCD=23，
∴S四边形ABEF=80．
设 S△ADF=S．
由 △ADF∽△BCE，FDEC=13，得 S△AEC=9S．
过点 E 作 EH⊥BC，垂足为点 H．
由题意，本题有两种情况：
（ⅰ）如果点 G 在边 AD 上，则 S四边形ABCD−S四边形ABEF=8S=40．
∴S=5．
∴S△AEC=9S=45．
∴S△BEC=12BC−EH=12×15−EH=45．
∴EH=6．
由 DN⊥BC，EH⊥BC，易得 EH∥DN．
∴CECD=EHEN=612=12．
又 CD=AB=13，
∴CE=132，
（ⅱ）如果点 G 在边 DA 的延长线上，则 S四边形ABCD+S四边形ABEF+S△ADF=9S．
∴8S=200．解得 S=25．
∴S△BEC=9S=225．
∴S△BEC=12BC⋅EH=12×15×EH=225．解得 EH=30．
∴CECD=EHEN=3012=52．
∴CE=652，
∴CE=132或652．