2018年长春市南关区中考一模数学试卷

这是一份2018年长春市南关区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2 的相反数是
A. −2B. −12C. 2D. 12

2. 据财政部在 2018 年全国人民代表大会上的预算报告，今年全国一般公共预算支出 209830 亿元，209830 这个数用科学记数法表示为
A. 20.983×104B. 2.0983×105C. 0.20983×106D. 2.0983×106

3. 如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是
A. B.
C. D.

4. 不等式组 2x−1<3x,x≥2x−1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 如图，直线 a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若 ∠1=38∘，则 ∠2 的度数为
A. 38∘B. 52∘C. 60∘D. 62∘

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，ACA. 7B. 8C. 12D. 13

7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上．若 ∠BAC=20∘，则 ∠ADC 的大小是
A. 130∘B. 120∘C. 110∘D. 100∘

8. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 B 是反比例函数 y=12xx>0 图象上一点，过 B 点平行于 x 轴的直线交反比例函数 y=kxx>0 的图象于点 A．若 △OAB 的面积为 4，则 k 的值是
A. 2B. 4C. 6D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：27−12= ．

10. 体育委员带了 500 元钱去体育用品商店，买了一个足球花了 x 元，买了一个篮球花了 y 元．则他还剩 元．

11. 抛物线 y=2x2+3x−2 与 x 轴交点的个数是 ．

12. 如图，点 B 是半径为 2 的 ⊙O 外的一点，BA 与 ⊙O 相切于点 A．若 ∠B=45∘，则图中阴影部分图形的面积为 ．（结果保留 π）

13. 如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 40∘ 得到 △ABʹCʹ．若 AC⊥BʹCʹ，则 ∠C 的大小是 度．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2−4x+1 与 y 轴交于点 A，过点 A 平行于 x 轴的直线交抛物线 y=x2 于 B，C 两点，点 P 在抛物线 y=−x2−4x+1 上且在 x 轴的上方，连接 PB，PC，则 △PBC 面积的最大值是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简：x2x+3÷x2−2xx2−9+xx−2+2，再从 −3，−1，0，2，2 这 5 个数中选一个合适 x 的进行求值．

16. 在一个不透明的口袋里装有 2 个红球、 1 个黑球和 1 个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出 2 个球，请你用画树状图或列表法的方法，求摸到的两个球是一黑一白的概率．

17. 甲、乙两名同学在练习打字时发现，甲打 1800 字的时间与乙打 2400 字的时间相同．已知乙每分钟比甲多打 20 个字，求甲打字的速度．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F，交 BA 的延长线于点 G．
（1）求证：OE=OF；
（2）若 AC⊥AB，E 是 OG 的中点，AE=1 cm，直接写出 GF 的长．

19. 如图，小明放一个线长 AB 为 120 米的风筝（风筝线近似地看作直线）．若测得他的风筝线 AB 与水平线构成的角为 38∘，他放风筝的手距地面的距离 BC 为 1.9 米，求小明的风筝放飞的高度 AD．（精确到 1 米）【参考数据：sin38∘=0.62，cs38∘=0.79，tan38∘=0.78 】

20. 为节约水资源，某市已于 2015 年 1 月按居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．每户家庭年用水量分档如表：
第一档第二档第三档年用水量m180及以下181−240241及以上
为了解阶梯水价实行三年来有关情况，有关部门随机抽查了该市 5 万户家庭的年用水量（取整数，单位：m3），绘制了如图所示的统计图（每组只含最大值，不含最小值）．已知最初的设计目标是使第一档、第二档和第三档水价用户分别占全市家庭的 80%，15% 和 5%，且上下波动不超过 0.5%．结合图表回答下列问题．
（1）实施过程中，第一档水价用户标准符合最初的设计目标吗?为什么?
（2）若该市有 120 万户家庭用户，估计该市居民家庭年用水量在 90 m3∼120 m3 这一组的户数．
（3）请结合所给数据，发表一条你的观点或提出一条建议．

21. 某假日上午 8:00，小宇从家出发乘直达车到图书馆．11:00 时他在图书馆接到爸爸的电话，因急事要开车来图书馆接他回家．他即刻约好爸爸按他来时的路线接他，并以 6 千米/小时的速度跑步返回．爸爸接上了小宇立即保持原来的车速原路返回．设小宇、爸爸各自经过的路程为 y（千米），小宇离家的时间为 x（时），y 与 x 之间的函数图象如图所示．
（1）按题中路线，图书馆与小宇家的路程是 千米，小宇在图书馆活动时间为 小时，爸爸接上小宇时与家的路程是 千米．
（2）求小宇跑步返回时行驶的路程 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写 x 的范围）．
（3）直接写出爸爸的车速和他们到家时时钟显示的时间．

22. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交边 AB，CD，AD，BC 于点 E，F，G，H．
【感知】如图①，若四边形 ABCD 是正方形，且 EF⊥GH，易知 S△BOE=S△AOG，又因为 S△AOB=14S四边形ABCD，所以 S四边形AEOG=14S正方形ABCD（不要求证明）；
（1）【拓展】如图②，若四边形 ABCD 是矩形，且 S四边形AEOG=14S矩形ABCD，若 AB=a，AD=b，BE=m，求 AG 的长（用含 a，b，m 的代数式表示）；
（2）【探究】如图③，若四边形 ABCD 是平行四边形，且 S四边形AEOG=14S平行四边形ABCD，若 AB=3，AD=5，BE=1，则 AG= ．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5 cm，BC=5 cm，AC=25 cm．动点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动；与此同时，动点 Q 从点 C 出发，沿 CA 向点 A 以 5 cm/s 的速度运动．P，Q 两点当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．当点 P，B 不重合时，过点 P 作 PE⊥BC 交线段 AB 或 AD 于点 E，过点 Q 作 QF⊥BC 交 BC 于点 F，连接 PQ，EQ．设点 P 运动的时间为 ts，△PQE 的面积为 Scm2．
（1）当点 Q 在线段 PE 上时，t= ．
（2）求 S 与 t 之间的函数关系式．
（3）当点 F 在线段 PC 上时，直接写出 △PQE 是轴对称图形时 t 的值．

24. 对于给定的两个函数 y=k1x+b1（k1≠0）和 y=k2x+b2（k2≠0），在这里我们把 y=k1x+b1k2x+b2 叫做这两个函数的积函数，把直线 y=k1x+b1 和 y=k2x+b2 叫做抛物线 y=k1x+b1k2x+b2 的母线．
（1）直接写出函数 y=x−3 和 y=−x−1 的积函数，然后写出这个积函数的图象与 x 轴交点的坐标．
（2）点 P 在（1）中的抛物线上，过点 P 垂直于 x 轴的直线分别交此抛物线的母线于 M，N 两点，设点 P 的横坐标为 m，求 PM=PN 时 m 的值．
（3）已知函数 y=x−2n 和 y=−x．
①当它们的积函数自变量的取值范围是 −1≤x≤2，且当 n≥2 时，这个积函数的最大值是 8，求 n 的值以及这个积函数的最小值．
②当它们的积函数自变量的取值范围是 12n−12≤x≤12n+32 时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标 y 与 n 之间的函数关系式．
答案
第一部分
1. A【解析】2 的相反数是 −2．
2. B
3. B
4. A
5. B
6. C【解析】由尺规作图可知，MN 是线段 AB 的垂直平分线，
∴DA=DB=5，
在 Rt△ACD 中，AC=AD2−CD2=4，
则 △ACD 的周长 =AC+CD+AD=12．
7. C
8. B
第二部分
9. 3
10. 500−x−y
11. 两个
【解析】当 y=0 时，
2x2+3x−2=0，
Δ=b2−4ac=9−4×2×−2=25>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
12. 2−π2
13. 50
14. 4
【解析】当 x=0 时，y=−x2−4x+1=1，则 A0,1，
当 y=1 时，x2=1，解得 x1=1，x2=−1，则 B−1,1，C1,1，
∴BC=2，
设 Px,−x2−4x+1，
P 点在 BC 上方时，△PBC 面积有最大值，
∵S△PBC=12×2×−x2−4x+1−1=−x2−4x=−x+2+4，
∴ 当 x=−2 时，△PBC 面积的最大值为 4．
第三部分
15. 原式=x2x+3⋅x+3x−3xx−2+xx−2+2=x2−3xx−2+xx−2+2=x2−2xx−2+2=x+2,
当 x=−1 时，原式=1；
当 x=2 时，原式=2+2．
16. 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中摸到的两个球是一黑一白的结果数为 2，
∴摸到的两个球是一黑一白的概率=212=16．
17. 设甲每分钟打 x 个字，则乙每分钟打 x+20 个字，
依题意得：
1800x=2400x+20,
解得
x=60,
经检验知 x=60 是原方程的解，且符合题意．
答：甲打字的速度是每分钟 60 个字．
18. （1） 在平行四边形 ABCD 中，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵O 是对角线 AC 的中点，
∴OA=OC．
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF．
（2） GF=3 cm．
19. 过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，
∴∠ABE=38∘．
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，
∵sin∠ABE=AEAB，
∴AE=ABsin∠ABE=120×sin38∘=120×0.62=74.4．
∴AD=AE+ED=AE+BC=74.4+1.9=76.3≈76．
答：小明的风筝放飞的高度为 76 米．
20. （1） 符合．
∵0.25+0.75+1.5+1.0+0.55=45=80%，
∴ 实施方案中，第一档水价用户标准符合最初的设计目标；
（2） ∵1.55×120=36（万户），
∴ 该市居民家庭年用水量在 90 m3∼120 m3 这一组的约有 36 万户；
（3） 第二档、第三档水价用户分别占全市家庭用户的 13%，7%，实施方案不符合最初的设计目标．
21. （1） 22；2；20
（2） 设所求函数关系式为 y=kx+b，
由题意，图象经过点 3,22，103,24，
则 22=3k+b,24=103k+b, 解得 k=6,b=4.
所以所求函数关系式为：y=6x+4．
（3） 爸爸的车速：60 千米/小时；他们到家时时钟显示的时间是 11:40．
22. （1） 如图②，过点 O 作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥AD 于点 N，
∵S△AOB=14S矩形ABCD，S四边形AEOG=14S矩形ABCD，
∴S△AOB=S四边形AEOG，
∵S△BOE=12BE⋅OM=12m⋅12b=14mb，
S△AOG=12AG⋅ON=12AG⋅12a=14AG⋅a，
∴14mb=14AG⋅a，
∴AG=bma．
（2） 53
【解析】如图③，过点 O 作 QM⊥AB，PN⊥AD，
则 MQ=2OM，PN=2ON，
∵S平行四边形ABCD=AB⋅MQ=AD⋅PN，
∴3×2OM=5×2ON，
∴OMON=53，
∵S△AOB=14S平行四边形ABCD，S四边形AEOG=14S平行四边形ABCD，
∴S△AOB=S四边形AEOG，
∵S△BOE=12BE⋅OM=12×1×OM，S△AOG=12AG⋅ON，
∴12×1×OM=12AG⋅ON，OM=AG⋅ON，OMON=AG=53，
∴AG=53．
23. （1） 53
（2） ①当 0 PE=2t，PF=5−3t，S=−3t2+5t．
②当 1 PE=2，PF=5−3t，S=−3t+5．
③当 53 PE=2，PF=3t−5，S=3t−5．
（3） 0【解析】如图④，
PE=2，PF=5−3t，FQ=t，MQ=2−t，
PQ2=PF2+FQ2=5−3t2+t2=10t2−30t+25．
EQ2=EM2+MQ2=PF2+MQ2=5−3t2+2−t2=10t2−34t+29．
PQ2=EQ2，10t2−30t+25=10t2−34t+29，t=1．
PQ2=PE2，10t2−30t+25=4，t=15−1510，t=15+1510>53（舍），
EQ2=PE2，10t2−34t+29=4，t=17−3910，t=17+3910>2（舍）．
24. （1） ∵ 函数 y=x−3 和 y=−x−1，
∴ 函数 y=x−3 和 y=−x−1 的积函数为 y=x−3−x−1=−x+1x−3=−x2+2x+3，
令 y=0，
∴−x+1x−3=0，
∴x=−1或3，
∴ 积函数的图象与 x 轴交点的坐标为 −1,0 和 3,0；
（2） 由（1）知，抛物线解析式为 y=−x2+2x+3，设 Pm,−m2+2m+3，
∵ 函数 y=x−3 和 y=−x−1，
∴Mm,m−3，Nm,−m−1，
∴PM=∣−m2+2m+3−m−3∣=∣m2−m−6∣，PN=∣−m2+2m+3−−m−1∣=∣m2−3m−4∣，
∵PM=PN，
∴∣m2−m−6∣=∣m2−3m−4∣，
∴m=1或1±6；
（3） ① ∵ 函数 y=x−2n 和 y=−x，
∴ 函数 y=x−2n 和 y=−x 积函数为 y=x−2n−x=−x2+2nx=−x−n2+n2，
∵ 积函数自变量的取值范围是 −1≤x≤2，且当 n≥2 时，这个积函数的最大值是 8，
∴ 当 x=2 时，ymax=−4+4n=8，
∴n=3，
∴ 积函数的解析式为 y=−x2+6x，
当 x=−1 时，ymin=−1−6=−7．
②由①知，积函数的解析式为 y=−x−n2+n2，
∴ 此积函数的对称轴为直线 x=n，且对称轴左侧 y 随 x 的增大增大，对称轴右侧 y 随 x 增大而减小，
∵ 积函数自变量的取值范围是 12n−12≤x≤12n+32，
Ⅰ、当 12n−12>n 时，即：n<−1，
此时，当 x=12n−12 时，最高点的纵坐标 y 与 n 之间的函数关系式 y=−12n−122+2n12n−12=34n2−12n−14，
Ⅱ 、当 12n−12≤n≤12n+32 时，即：−1≤n≤3，
此时，当 x=n 时，最高点的纵坐标 y 与 n 之间的函数关系式 y=−n2+2n⋅n=n2；
Ⅲ、当 n>12n+32 时，即：n>3，
此时，当 x=12n+32 时，最高点的纵坐标 y 与 n 之间的函数关系式 y=−12n+322+2n12n+32=34n2−32n−94．