2018年长春市名校调研（市命题）中考一模数学试卷

这是一份2018年长春市名校调研（市命题）中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 计算 3−−9 的结果是
A. 12B. −12C. 6D. −6

2. 地球平均半径约等于 6400000 米，6400000 用科学记数法表示为
A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×107

3. 如图是由 7 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体
A. 主视图改变，俯视图改变B. 左视图改变，俯视图改变
C. 俯视图不变，左视图改变D. 主视图不变，左视图不变

4. 不等式组 −x<1,3x−5≤1 的解集是
A. x>−1B. x≤2C. −1
5. 如图，已知 AB∥CD，∠1=115∘，∠2=65∘，则 ∠C 等于
A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

6. 不解方程，判别方程 2x2−32x=3 的根的情况
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根D. 无实数根

7. 已知，如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 D，C 在 ⊙O 上，连接 AD，BD，DC，AC，如果 ∠BAD=25∘，那么 ∠C 的度数是
A. 75∘B. 65∘C. 60∘D. 50∘

8. 如图，过点 A4,5 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 y=−x+6 于 B，C 两点，若函数 y=kxx>0 的图象与 △ABC 的边有公共点，则 k 的取值范围是
A. 5≤k≤20B. 8≤k≤20C. 5≤k≤8D. 9≤k≤20

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 因式分解：9a3b−ab= ．

10. 计算：18−50 的结果为 ．

11. 如图，在 2×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上，将 △ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转一定角度后，得到 △AʹBʹCʹ，点 Aʹ，Bʹ 在格点上，则点 A 走过的路径长为 （结果保留 π）．

12. 如图，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，DE∥AC，若 DB=4，AB=6，BE=3，则 EC 的长是 ．

13. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在 AD 边上，以 E 为圆心 EA 长为半径的 ⊙E 与 BC 相切，交 CD 于点 F，连接 EF．若扇形 AEF 的面积为 43π，则 BC 的长是 ．

14. 如图 ①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动，到达点 B 时停止，设点 P 所走的路程为 x，线段 OP 的长为 y，若 y 与 x 之间的函数图象如图 ② 所示，则矩形 ABCD 的周长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：2x+32x−3−4xx－1+x−22，其中 x=−3．

16. 如图，甲、乙用 4 张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同．

17. 为提高城市清雪能力，某区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪 300 立方米，现在清雪 4000 立方米所需时间与原来清雪 3000 立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量．

18. 如图，在自东向西的公路 l 上有一检查站 A，在观测点 B 的南偏西 53∘ 方向，检查站一工作人员家住在与观测点 B 的距离为 7132 km，位于点 B 南偏西 76∘ 方向的点 C 处，求工作人员家到检查站的距离 AC．（参考数据：sin76∘≈2425，cs76∘≈625，tan76∘≈4，sin53∘≈35，tan53∘≈43）

19. 如图，把两个边长相等的等边 △ABC 和 △ACD 拼成菱形 ABCD，点 E，F 分别是 CB，DC 延长上的动点，且始终保持 BE=CF，连接 AE，AF，EF．求证：△AEF 是等边三角形．

20. 某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90 分 −100 分；B 级：75 分 −89 分；C级：60 分 −74 分；D级：60 分以下）
（1）写出D 级学生的人数占全班总人数的百分比为 ， C 级学生所在的扇形圆心角的度数为 ；
（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级 内；
（3）若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次考试中A级和B 级的学生共有多少人?

21. 爸爸和小芳驾车去郊外登山，欣赏美丽的达子香（兴安杜鹃），到了山下，爸爸让小芳先出发 6 min，然后他再追赶，待爸爸出发 24 min 时，妈妈来电话，有急事，要求立即回去．于是爸爸和小芳马上按原路下山返回（中间接电话所用时间不计），二人返回山下的时间相差 4 min，假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的，登山过程中小芳和爸爸之间的距离 s（单位：m）关于小芳出发时间 t（单位：min）的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：
（1）小芳和爸爸上山时的速度各是多少?
（2）求出爸爸下山时 CD 段的函数解析式；
（3）因山势特点所致，二人相距超过 120 m 就互相看不见，求二人互相看不见的时间有多少分钟?

22. 定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．
（1）判断：一个内角为 120∘ 的菱形 等距四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图 2，在 5×5 的网格图中有 A，B 两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出 C，D 两个格点，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为 ，端点均为非等距点的对角线长为 ．
（3）如图 1，已知 △ABE 与 △CDE 都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90∘，连接 AD，AC，BC，若四边形 ABCD 是以 A 为等距点的等距四边形，求 ∠BCD 的度数．

23. 定义：对于给定的二次函数 y=ax−h2+ka≠0，其伴生一次函数为 y=ax−h+k，例如：二次函数 y=2x+12−3 的伴生一次函数为 y=2x+1−3，即 y=2x−1．
（1）已知二次函数 y=x−12−4，则其伴生一次函数的表达式为 ；
（2）试说明二次函数 y=x−12−4 的顶点在其伴生一次函数的图象上；
（3）如图，二次函数 y=mx−12−4mm≠0 的伴生一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，A，且两函数图象的交点的横坐标分别为 1 和 2，在 ∠AOB 内部的二次函数 y=mx−12−4m 的图象上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点 Q，设点 P 的横坐标为 n，直接写出线段 PQ 的长为 32 时 n 的值．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，AB=8，点 P 从点 A 出发，沿折线 AB−BC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 3 个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止．设点 P 运动的时间为 t 秒．
（1）求线段 AQ 的长（用含 t 的代数式表示）；
（2）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与 △ABC 的一边垂直时 t 的值；
（3）设 △APQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；
（4）当 △APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】3−−9=3+9=12．
2. C【解析】6400000=6.4×106．
3. D【解析】将正方体①移走前的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，没有改变．
将正方体①移走前的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，发生改变．
4. D
5. C
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD=115∘，
∵∠2=65∘，
∴∠C=115∘−65∘=50∘．
6. B【解析】方程整理得 2x2−32x−3=0，
∵Δ=−322−4×2×−3=18+24>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
7. B
8. A【解析】∵ 过点 A4,5 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交直线 y=−x+6 于 B，C 两点，
∴ 点 B 的纵坐标为 5，点 C 的横坐标为 4．
将 y=5 代入 y=−x+6，得 x=1，
将 x=4 代入 y=−x+6，得 y=2，
∴ 点 B 的坐标为 1,5，点 C 的坐标为 4,2．
∵ 函数 y=kxx>0 的图象与 △ABC 的边有公共点，点 A4,5，点 B1,5，
∴1×5≤k≤4×5，
即 5≤k≤20．
第二部分
9. ab3a+13a−1
【解析】原式=ab9a2−1=ab3a+13a−1.
10. −22
【解析】原式=32−52=−22.
11. 52π
【解析】连接 AAʹ，如图所示．
∵AC=AʹC=5，AAʹ=10，
∴AC2+AʹC2=AAʹ2，
∴△ACAʹ 为等腰直角三角形，
∴∠ACAʹ=90∘，
∴ 点 A 走过的路径长 =90∘360∘×2πAC=52π．
12. 32
【解析】∵DE∥AC，
∴DB:AB=BE:BC，
∵DB=4，AB=6，BE=3，
∴4:6=3:BC，
解得：BC=92，
∴EC=BC−BE=92−3=32．
13. 3
【解析】设 ∠AEF=n∘，
由题意 nπ⋅22360=43π，解得 n=120，
∴∠AEF=120∘，
∴∠FED=60∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BC=AD，∠D=90∘，
∴∠EFD=30∘，
∴DE=12EF=1，
∴BC=AD=2+1=3．
14. 28
【解析】∵ 当 OP⊥AB 时，OP 最小，且此时 AP=4，OP=3，
∴AB=2AP=8，AD=2OP=6，
∴C矩形ABCD=2AB+AD=2×8+6=28．
第三部分
15. 原式=4x2−9−4x2+4x+x2−4x+4=x2−5.
当 x=−3 时，
原式=−32−5=3−5=−2.
16.
∴P甲胜=512，P乙胜=712．
∴ 甲、乙获胜的机会不相同．
17. 设现在平均每天清雪量为 x 立方米，
由题意，得
4000x=3000x−300.
解得
x=1200.
经检验 x=1200 是原方程的解，并符合题意．
答：现在平均每天清雪量为 1200 立方米．
18. 如图，过点 B 作 BH⊥l 交 l 于点 H，
∵ 在 Rt△BCH 中，∠BHC=90∘，∠CBH=76∘，BC=7132 km，
∴CH=BC⋅sin∠CBH≈22532×2425=274km，
BH=BC⋅cs∠CBH≈22532×625=2716km．
∵ 在 Rt△BAH 中，∠BHA=90∘，∠ABH=53∘，BH=2716 km，
∴AH=BH⋅tan∠ABH≈2716×43=94km，
∴AC=CH−AH=274−94=92km．
答：工作人员家到检查站的距离 AC 的长约为 92 km．
19. ∵△ABC 和 △ACD 均为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACD=60∘，
∴∠ABE=∠ACF=120∘，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAF=∠BAC=60∘，
∴△AEF 是等边三角形．
20. （1） 4%；72∘
【解析】总人数为 25÷50%=50（人），
D级的人数占的比例为 2÷50×100%=4%，
表示C 级的扇形的圆心角为 360∘×10÷50=360∘×20%=72∘．
（2） B
【解析】由于 A级人数为 13 人，C级人数为 10 人，D 级人数为 2 人，而B级人数为 25 人，将所有人按照等级排列，第 25 位和第 26 位均落在 B等级内，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内．
（3） 13+2550×500=380（人），
答：估计这次考试中 A级和B级的学生共有 380 人．
21. （1） 小芳上山的速度为 120÷6=20m/min，爸爸上山的速度为 120÷21−6+20=28m/min．
答：小芳上山的速度为 20 m/min，爸爸上山的速度为 28 m/min．
（2） ∵28−20×24+6−21=72m，
∴ 点 C 的坐标为 30,72；
∵ 二人返回山下的时间相差 4 min，44−4=40min，
∴ 点 D 的坐标为 40,192．
设爸爸下山时 CD 段的函数解析式为 y=kx+b，
将 C30,72，D40,192 代入 y=kx+b，
30k+b=72,40k+b=192, 解得：k=12,b=−288.
答：爸爸下山时 CD 段的函数解析式为 y=12x−28824≤x≤40．
（3） 设 DE 段的函数解析式为 y=mx+n，
将 D40,192，E44,0 代入 y=mx+n，
40m+n=192,44m+n=0, 解得：m=−48,n=2112,
∴DE 段的函数解析式为 y=−48x+211240≤x≤44．
当 y=12x−288>120 时，34当 y=−48x+2112>120 时，40≤x<41.5．
41.5−34=7.5min．
答：二人互相看不见的时间有 7.5 分钟．
22. （1） 是
（2） 10；32
【解析】如图 2，图 3 所示：
在图 2 中，由勾股定理得：CD=12+32=10；
在图 3 中，由勾股定理得：CD=32+32=32．
（3） 连接 BD．如图 1 所示：
∵△ABE 与 △CDE 都是等腰直角三角形，
∴DE=EC，AE=EB，
∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，即 ∠AEC=∠DEB，
在 △AEC 和 △BED 中，
DE=CE,∠AEC=∠BED,AE=BE,
∴△AEC≌△BED，
∴AC=BD，
∵ 四边形 ABCD 是以 A 为等距点的等距四边形，
∴AD=AB=AC，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠DAB=60∘，
∴∠DAE=∠DAB−∠EAB=60∘−45∘=15∘，
在 △AED 和 △AEC 中，
AD=AC,DE=CE,AE=AE,
∴△AED≌△AEC，
∴∠CAE=∠DAE=15∘，
∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30∘，∠BAC=∠BAE−∠CAE=30∘，
∵AB=AC，AC=AD，
∴∠ACB=180∘−30∘2=75∘，∠ACD=180∘−30∘2=75∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75∘+75∘=150∘．
23. （1） y=x−5
【解析】∵ 二次函数 y=x−12−4，
∴ 其伴生一次函数的表达式为 y=x−1−4=x−5．
（2） ∵ 二次函数 y=x−12−4，
∴ 顶点坐标为 1,−4，
其伴生一次函数的表达式为 y=x−5，
∴ 当 x=1 时，y=1−5=−4，
∴1,−4 在直线 y=x−5 上，
即：二次函数 y=x−12−4 的顶点在其伴生一次函数的图象上；
（3） n=3±72．
【解析】∵ 二次函数 y=mx−12−4m，
∴ 其伴生一次函数为 y=mx−1−4m=mx−5m，
∵P 点的横坐标为 nn>2，
∴P 的纵坐标为 mn−12−4m，
即：Pn,mn−12−4m，
∵PQ∥x 轴，
∴Qn−12+1,mn−12−4m，
∴PQ=n−12+1−n，
∵ 线段 PQ 的长为 32，
∴n−12+1−n=32，
∴n=3±72．
24. （1） 如图 1，
Rt△ABC 中，∠A=30∘，AB=8，
∴BC=12AB=4，
∴AC=82−42=64−16=43，
由题意得：CQ=3t，
∴AQ=43−3t．
（2） 当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与 △ABC 的一边垂直，有四种情况：
①当 Q 在 C 处，P 在 A 处时，PQ⊥BC，此时 t=0；
②当 PQ⊥AB 时，如图 2，
∵AQ=43−3t，AP=8t，∠A=30∘，
∴cs30∘=APAQ=32，
∴8t43−3t=32，t=1219；
③当 PQ⊥AC 时，如图 3，
∵AQ=43−3t，AP=8t，∠A=30∘，
∴cs30∘=AQAP=32，
∴43−3t8t=32，t=45；
④当 P 与 C 重合，Q 在 AC 上时，PQ⊥BC，此时 t=3．
综上所述，当点 P 在 AB 边上运动时，PQ 与 △ABC 的一边垂直时 t 的值是 0 或 1219 或 45 或 3．
（3） 分两种情况：
①当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1，如图 4，作 PG⊥AC 交 AC 于 G，
∵∠A=30∘，AP=8t，∠AGP=90∘，
∴PG=4t，
∴S△APQ=12AQ⋅PG=1243−3t⋅4t=−23t2+83t；
②当 P 在边 BC 上时，即 1由题意得：PB=2t−1，
∴PC=4−2t−1=−2t+6，
∴S△APQ=12AQ⋅PC=1243−3t−2t+6=3t2−73t+123.
综上所述，S 与 t 的函数关系式为：S=−23t2+83t,0≤t≤13t2−73t+123,1 （4） t 的值为 49 或 3．
【解析】当 △APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况：
①当 P 在边 AB 上时，如图 6，AP=PQ，作 PG⊥AC 于 G，则 AG=GQ，
∵∠A=30∘，AP=8t，∠AGP=90∘，
∴PG=4t，
∴AG=43t，
由 AQ=2AG 得：43−3t=83t，t=49；
②当 P 在边 AC 上时，如图 7，AQ=PQ，
Rt△PCQ 中，由勾股定理得：CQ2+CP2=PQ2，
∴3t2+−2t+62=43−3t2，t=3或−3（舍）．
综上所述，t 的值为 49 或 3．