2018年长春市汽开区中考一模数学试卷

这是一份2018年长春市汽开区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −18 的相反数是
A. 8B. −8C. 18D. −18

2. 中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《 2022 相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过 810000 次，810000 这个数用科学记数法表示为
A. 8.1×106B. 8.1×105C. 81×105D. 81×104

3. 如图是由 6 个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是
A. B.
C. D.

4. 不等式 2x−1<1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，点 D 在 BC 的延长线上，AE∥BD，点 E，D 在 AC 同侧．若 ∠CAE=118∘，则 ∠B 的大小为
A. 31∘B. 32∘C. 59∘D. 62∘

6. 如图①，把一个长为 2m，宽为 2nm>n 的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形．最后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分图形的面积是
A. 2mB. m+n2C. m−n2D. m2−n2

7. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，OA∥BC，∠OAC=19∘，则 ∠AOB 的大小为
A. 19∘B. 29∘C. 38∘D. 52∘

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为 0,4．将 △ABO 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 后得到 △AʹBOʹ．若函数 y=kxx>0 的图象经过点 Oʹ，则 k 的值为
A. 23B. 4C. 43D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：2×5= ．

10. 一元二次方程 x2+3x−2=0 的根的判别式的值为 ．

11. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，DE∥AC．若 DB=5，DA=2.5，BE=4，则 EC 的长为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘．以点 C 为圆心，CB 长为半径作圆弧，交 AB 于点 D．若 CB=4，则 BD 的长为 ．

13. 如图，分别以正六边形相间隔的 3 个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案．若正六边形的边长为 3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=ax+322+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点．若 AB∥x 轴，则以 AB 为边的正方形 ABCD 的周长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：a2a−1+11−a⋅1a，其中 a=−12．

16. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别标有数字 −1，0，1，每张卡片除数字不同外其余均相同．文博同学从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求文博同学两次摸出的卡片上的数字和为正数的概率．

17. 如图，延长平行四边形 ABCD 的边 AD 到点 F，使 DF=DC，延长 CB 到点 E，使 BE=BA，分别连接 AE，CF．求证：AE=CF．

18. 某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔．已知毛笔单价是钢笔单价的 1.5 倍，购买钢笔用了 1500 元，购买毛笔用了 1800 元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多 30 支．求钢笔的单价．

19. 如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的 P 点测得直立于地面的旗杆 AB 的顶端 A 与底端 B 的俯角分别为 34∘ 和 45∘，此时 P 点距地面高度 PC 为 75 米，求旗杆 AB 的高度（结果精确到 0.1 米）．【参考数据：sin34∘=0.56，cs34∘=0.83，tan34∘=0.67 】

20. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有 300 名．为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下：
① 收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取 10 名学生，进行英语单词测试，测试成绩（百分制）如下：
南校921008689739854959885北校10010094837486751007375②
整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩 90 分及以上为优秀，80∼89 分为良好，60∼79 分为合格，60 分以下为不合格）
③ 分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、 中位数、众数、方差如表：
校区平均数中位数众数方差南校8790.5179.4北校86121.6④
得出结论．
结合上述统计全过程，回答下列问题：
（1）补全 ③ 中的表格；
（2）请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数；
（3）你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好?说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

21. 小明在练习操控航拍无人机．该型号无人机在上升和下落时的速度相同．设无人机的飞行高度为 y（米），小明操控无人机飞行的时间为 x（分），y 与 x 之间的函数图象如图所示．
（1）无人机上升的速度为 米/分．无人机在 40 米的高度上飞行了 分．
（2）求无人机下落过程中，y 与 x 之间的函数关系式．
（3）求无人机距地面的高度为 50 米时 x 的值．

22. （1）【探究】如图①，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90∘，AD=CD．点 E，F 分别在边 AB，BC 上，ED=FD．证明：∠ADE=∠CDF．
（2）【拓展】如图②，在菱形 ABCD 中，∠A=120∘．点 E，F 分别在边 AB，BC 上，ED=FD．若 ∠EDF=30∘，求 ∠CDF 的大小．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，连接 DE．点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 AD−DE−EA 向终点 A 运动．过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 QC 上．设点 P 的运动时间为 t 秒 0（1）当点 P 在线段 EA 上运动时，求线段 PE 的长（用含 t 的代数式表示）；
（2）当点 N 落在 AC 边上时，求 t 的值；
（3）当正方形 PQMN 与 △ABC 重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；
（4）当点 N 与点 E 不重合时，作直线 NE，直接写出直线 NE 将 △ABC 分成的两部分图形的面积比为 1:2 时 t 的值．

24. 定义：在平面直角坐标系中，将点 P 绕点 Tt,0t>0 旋转 180∘ 得到点 Q，则称点 Q 为点 P 的“发展点”．
（1）当 t=3 时，点 0,0 的“发展点”坐标为 ，点 −1,−1 的“发展点”坐标为 ．
（2）若 t>2，则点 2,3 的“发展点”的横坐标为 （用含 t 的代数式表示）．
（3）若点 P 在直线 y=2x+6 上，其“发展点”Q 在直线 y=2x−8 上，求点 T 的坐标．
（4）点 P2,2 在抛物线 y=−x2+k 上，点 M 在这条抛物线上，点 Q 为点 P 的“发展点”．若 △PMQ 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，求 t 的值．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. B
4. D
5. A
6. C
7. C
8. C
第二部分
9. 10
10. 17
11. 2
12. 4
13. 18π
14. 12
第三部分
15. a2a−1+11−a⋅1a=a2a−1−1a−1⋅1a=a+1a−1a−1⋅1a=a+1a,
当 a=−12 时，原式=−1．
16. 树状图如图：
或列表如下：
∴P两次摸出的卡片上的数字和为正数=39=13．
17. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD∥BC，AD=BC，AB=DC．
所以 AF∥EC．
又因为 DF=DC，BE=BA，
所以 DF=BE．
所以 AD+DF=BC+BE，即 AF=EC．
因为 AF∥EC，AF=EC，
所以四边形 AECF 是平行四边形．
所以 AE=CF．
18. 设钢笔的单价为 x 元，则毛笔的单价为 1.5x 元．
根据题意，得
1500x−18001.5x=30.
解得
x=10.
经检验，x=10 是原方程的解，且符合题意．
答：钢笔的单价为 10 元．
19. 如图，作 AH⊥PC 于点 H，
依题可得 ∠PHA=∠PCB=90∘，四边形 HCBA 为矩形，
∴AH=BC，AB=HC，
在 Rt△PBC 中，∠PCB=90∘，∠PBC=45∘，PC=75，
∴BC=75，
在 Rt△PHA 中，∠PHA=90∘，∠PAH=34∘，AH=BC=75，tan∠PAH=PHAH，
∴PH=AH⋅tan∠PAH=75×tan34∘=75×0.67，
∴AB=HC=PC−PH=75−75×0.67=75×0.33=24.75≈24.8（米）．
答：旗杆 AB 的高度约为 24.8 米．
20. （1）
校区平均数中位数众数方差南校8790.598179.4北校8684.5100121.6
（2） 410×300=120（人），
估计北校九年学生英语单词掌握优秀的人数约为 120 人．
（3） 我认为南校九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下：
① 南校九年级学生在英语单词测试中，测试成绩的平均数较高，表示南校英语单词掌握情况较好；
② 南校九年级学生在英语单词测试中，测试成绩的中位数较高，表示南校英语单词掌握优秀的学生较多．
【解析】另解：
我认为北校九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下：
① 北校九年级学生在英语单词测试中，测试成绩的方差小，表示北校学生成绩比较集中，整体水平较好；
② 北校九年级学生在英语单词测试中，测试成绩的众数较高，表示北校学生英语单词掌握情况较好；
③ 北校九年级学生在英语单词测试中，没有不合格的学生．
21. （1） 20；3
（2） 60÷20=3，12−3=9．
设所求函数关系式为 y=kx+bk≠0．
将点 9,60，12,0 代入，得 9k+b=60,12k+b=0, 解得 k=−20,b=240.
所以函数关系式为 y=−20x+2409≤x≤12．
（3） 易求得无人机从 40 米高度到 60 米高度之间的函数关系式为 y=20x−605≤x≤6．所以 20x−60=50，解得 x=5.5．
在无人机下落过程中，−20x+240=50，解得 x=9.5．
综上，无人机距地面的高度为 50 米时，x=5.5或9.5．
22. （1） ∵∠A=∠C=90∘，AD=CD，ED=FD，
∴△AED≌△CFD．
∴∠ADE=∠CDF．
（2） 如图，过点 D 作 DM⊥BA 交 BA 延长线于点 M，作 DN⊥BC 交 BC 延长线于点 N．
∴∠AMD=∠CND=90∘．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C．
∴∠MAD=∠NCD．
∴△AMD≌△CND．
∴MD=CN，∠MDA=∠NDC．
由探究得 ∠MDE=∠NDF．
∴∠MDE−∠MDA=∠NDF−∠NDC，即 ∠ADE=∠CDF．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，∠A=120∘，
∴∠ADC=60∘．
∵∠EDF=30∘，
∴∠CDF+∠ADE=60∘−30∘=30∘．
∵∠ADE=∠CDF，
∴∠CDF=15∘．
23. （1） 如图 ①，
在 Rt△ABC 中，AB=6，BC=8，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，
∴AD=12AB=3，DE=12BC=4．
当点 P 在线段 EA 上运动时，PE=t−AD−DE=t−77 （2） 当 0 ∵AP+PB=AB，
∴t+43t=6，
∴t=187．
当 3 ∵DP+PE=DE，
∴t−3+3=4，
∴t=4．
（3） 当 187≤t≤3 时，如图 ④，
S=PB2=6−t2=t2−12t+36．
当 3 S=PQ2=32=9．
当 7≤t<12 时，如图 ①，
S=PQ2−12PN⋅NF=35t−22−12×35×34×35t−22=940t2−910t+910.
（4） t=65或10613．
【解析】如图 ⑥，⑦．
24. （1） 6,0；7,1
（2） 2t−2
（3） 令 y=0，由 y=2x+6，得 x=−3；由 y=2x−8，得 x=4．
∴ 直线 y=2x+6 与 x 轴交点为 −3,0，直线 y=2x−8 与 x 轴交点为 4,0，即 −3,0 的“发展点”坐标为 4,0．
∴t−−3=4−t，解得 t=12．
∴ 点 T 的坐标为 12,0．
【解析】另解：
设点 P 的坐标为 m,2m+6，则点 Q 的坐标为 2t−m,−2m−6．
把 2t−m,−2m−6 代入 y=2x，得 22t−m−8=−2m−6，解得 t=12．
∴ 点 T 的坐标为 12,0．
（4） 把 2,2 代入 y=−x2+k 得，−22+k=2，解得 k=6．
∴ 抛物线所对应的函数表达式为 y=−x2+6．
∵△PMQ 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为 PQ 的中点，
∴△PTM 是以点 T 为直角顶点的等腰直角三角形．
当 0解得 t1=−5+412，t2=−5−412（不合题意，舍去）．
当 t>2 时，点 M 的坐标可表示为 t−2,2−t，代入 y=−x2+6 得，−t−22+6=2−t，解得 t1=0（不合题意，舍去），t2=5．
综上，t=−5+412 或 t=5．