2018_2019学年天津市和平区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年天津市和平区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为
A. 16B. 13C. 12D. 23

2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为 x=−2 的是
A. y=x+22B. y=2x2−2C. y=−2x2−2D. y=2x−22

3. 下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 △ABC 相似的三角形所在的网格图形是
A. B.
C. D.

4. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 是边 BC 延长线上的一点，AE 与 CD 相交于点 F，则图中的相似三角形共有
A. 4 对B. 3 对C. 2 对D. 1 对

5. 如图，在平面直角坐标系中有 △ABC，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为
A. 2,32，32,12，12,1
B. 8,6，6,2，2,4
C. 8,6，6,2，2,4 或 −8,−6，−6,−2，−2,−4
D. 8,−6，6,−2，2,−4 或 −8,6，−6,2，−2,4

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E，Q 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DE∥BC，AQ 交 DE 于点 P，已知 DPBQ=35，则 PEQC=
A. 35B. 25C. 23D. 32

7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是
A. 18B. 38C. 58D. 34

8. 反比例函数 y=mx 的图象如图所示，以下结论：
① 常数 m<−1；
② 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；
③ 若 A−1,h，B2,k 在图象上，则 h④ 若 Px,y 在图象上，则 Pʹ−x,−y 也在图象上．
其中正确的是

A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④

9. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 A2,2，Bx,y，当 −3A. −4
10. 已知点 A4,y1，B2,y2，C−2,y3 都在二次函数 y=x−22−1 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系
A. y1>y3>y2B. y1>y2>y3C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2

11. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x⋯−10123⋯y⋯105212⋯
则当 y<5 时，x 的取值范围为
A. 0C. x<−4 或 x>4D. x>4

12. 如图是抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象，其顶点坐标为 1,n，且与 x 轴的一个交点在点 3,0 和 4,0 之间．则下列结论：
① a−b+c>0；
② 3a+b=0；
③ b2=4ac−n；
④一元二次方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 等边三角形绕它的中心至少旋转 度，才能和原图形重合．

14. 面积等于 63 cm2 的正六边形的周长是 ．

15. 如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且 ∠A=55∘，∠E=30∘，则 ∠F= ．

16. 如图，过反比例函数 y=4xx>0 的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 AO，则 S△AOB= ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，△ABC 的内切圆 ⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，若 ⊙O 的半径为 2，AD⋅DB=24，则 AB 的长 = ．

18. 将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 60∘ 得到线段 OC，继续旋转 α0∘<α<120∘ 得到线段 OD，连接 CD．
（1）如图，连接 BD，则 ∠BDC 的大小 = （度）；
（2）将线段 OB 放在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，点 B 的坐标为 −6,0，以 OB 为斜边作 Rt△OBE，使 ∠OBE=∠OCD，且点 E 在第三象限，若 ∠CED=90∘，则 α 的大小 = （度），点 D 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+k+3x+k=0 的一个根是 1，求该方程的另一个根．

20. 如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 DE=CE，⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线交于点 F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若 ⊙O 的半径为 6，∠A=35∘，求 DBC 的长．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC 交 ⊙O 于点 D，点 E 是 BD 的中点，AE 与 BC 交于点 F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（2）已知 CD=4，CA=6，
①求 CB 的长；
②求 DF 的长．

22. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了 45 份合同，共有多少家公司参加商品交易会?
设共有 x 家公司参加商品交易会．
（1）用含 x 的代数式表示：每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 份合同；
（2）列出方程并完成本题解答．

23. 图中是抛物线拱桥，点 P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4 m，以点 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，已知点 P 的坐标为 3,32．
（1）点 P 与水面的距离是 m；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）水面上升 1 m，水面宽是多少?

24. 已知 △ABC 是边长为 4 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA=6，点 D 是射线 OM 上的动点，当点 D 不与点 A 重合时，将 △ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60∘ 得到 △BCE，连接 DE．
（1）如图 1，求证：△CDE 是等边三角形．
（2）设 OD=t，
①当 6②求 t 为何值时，△DEB 是直角三角形（直接写出结果即可）．

25. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线 y=x2．
（1）写出抛物线 y=x2 的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）已知点 A2,4，直线 x=2 与 x 轴相交于点 B，将抛物线 y=x2 从点 O 沿 OA 方向平移，与直线 x=2 交于点 P，顶点 M 到 A 点时停止移动，设抛物线顶点 M 的横坐标为 m，当 m 为何值时，线段 PB 最短?
（3）如图，点 C 为 y 轴正半轴上一点，过点 C 任作直线交抛物线 y=x2 于点 D，E 两点，点 F 为 y 轴负半轴上一点，且 ∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．
答案
第一部分
1. C【解析】∵ 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴ 朝上一面的数字是偶数的概率为：36=12．
2. A
3. B
4. B【解析】（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，
∴△CEF∽△DAF．
（2）∵∠E 是公共角，∠B=∠FCE，
∴△ABE∽△FCE，
（3）∵∠DAF=∠E，∠B=∠D，
∴△ABE∽△FDA．
故有 3 对．
5. C
【解析】由坐标系可知，点 A，点 B，点 C 的坐标分别为 4,3，3,1，1,2，
∵ 以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为 4×2,3×2，3×2,1×2，1×2,2×2 或 −4×2,−3×2，−3×2,−1×2，−1×2,−2×2，
即 8,6，6,2，2,4 或 −8,−6，−6,−2，−2,−4．
6. A【解析】∵DE∥BC，
∴△ADP∽△ABQ，△APE∽△AQC，
∴DPBQ=APAQ，PEQC=APAQ，
∴PEQC=DPBQ=35．
7. B【解析】画树状图如下：
一共有 8 种等可能情况，有两只雄鸟的情况有 3 种，
∴P恰有两只雄鸟=38．
8. C【解析】由反比例函数 y=mx 的图象过一、三象限知 m>0，图象在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，故 ①② 均错误；
由图象知 A−1,h 在第三象限，B2,k 在第一象限，则 h根据反比例函数关于原点对称的性质知若 Px,y 在图象上，则 Pʹ−x,−y 也在图象上，故 ④ 正确．
9. A【解析】∵ 反比例函数关系式为 y=kxk≠0 图象经过点 A2,2，
∴k=2×2=4，
∴y=4x，
当 x=−3 时，y=−43；当 x=−1 时，y=−4，
∴ 当 −310. D
【解析】∵y=x−22−1，
∴ 图象的开口向上，对称轴是直线 x=2，A4,y1 关于直线 x=2 的对称点是 0,y1，
∵−2<0<2，
∴y3>y1>y2 .
11. A【解析】由表可知，二次函数的对称轴为直线 x=2，
所以，x=4 时，y=5，
所以，y<5 时，x 的取值范围为 012. C
第二部分
13. 120
14. 12 cm
【解析】如图，
设正六边形外接圆的半径为 a，
∵ 正六边形的面积为 63 cm2，
∴S△AOF=16×63=3cm2，
即 12a⋅a⋅sin∠OFA=12a2⋅32=3．
∴a=2 cm，
∴ 正六边形的周长是 12 cm．
15. 40∘
【解析】∵ ∠A=55∘，∠E=30∘，
∴ ∠EBF=∠A+∠E=85∘ .
∵ ∠A+∠BCD=180∘，
∴ ∠BCD=180∘−55∘=125∘ .
∵ ∠BCD=∠F+∠CBF，
∴ ∠F=125∘−85∘=40∘．
16. 2
【解析】根据题意得：S△AOB=42=2．
17. 10
【解析】如图连接 OE，OF．
则由题意可知四边形 ECFO 是正方形，边长为 2．
∵△ABC 的内切圆 ⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，
∴ 可以假设设 AD=AF=a，BD=BE=b，
则 AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，
∵AC2+BC2=AB2，
∴a+22+b+22=a+b2，
∴4a+4b+8=2ab，
∴4a+b=48−8，
∴a+b=10，
∴AB=10．
18. 30，90，33,−3
【解析】（1）∵ 线段 OC，OD 由 OB 旋转而成，
∴OB=OC=OD．
∴ 点 B，C，D 在以点 O 为圆心，OB 为半径的圆上．
∴∠BDC=12∠BOC=30∘．
（2）如图，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，连接 EM，过点 D 作 DF⊥BO 的延长线于点 F．
∵∠OMD=90∘，
∴∠OMC=90∘．
在 △OEB 与 △OMC 中，
∠OEB=∠OMC,∠B=∠OCD,OB=OC,
∴△OEB≌△OMCAAS．
∴OE=OM，∠BOE=∠COM．
∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60∘．
∴△OEM 是等边三角形．
∴EM=OM=OE．
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴CM=DM．
又 ∵∠DEC=90∘，
∴EM=CM=DM．
∴OM=CM=DM．
∴ 点 O，C，D，E 在以点 M 为圆心，MC 为半径的圆上．
∴α=∠COD=90∘，
∴∠FOD=30∘，
∴OF=33，DF=3，
∴ 点 D 的坐标为 33,−3．
第三部分
19. 将 x=1 代入原方程，得：
1+k+3+k=0.
解得：
k=−2.
设方程的另一个根为 x1，
根据题意得：
1+x1=−−2+3.
所以
x1=−2.
所以该方程的另一个根为 −2．
20. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF 是 ⊙O 的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF．
（2） 连接 OD，OC，
∵∠A=35∘，
∴∠BOD=2∠A=70∘，
∴∠COD=2∠BOD=140∘，
∴DBC 的长 =140π×6180=14π3．
21. （1） 连接 AD，如图 1，
∵ 点 E 是 BD 的中点，
∴DE=BE，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠DAC+∠ACB=90∘，
∴∠DAC+∠DAB=90∘，即 ∠BAC=90∘，
∴AC⊥AB，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） ①在 Rt△ACB 中，
∵csC=ACBC=CDAC=23，AC=6，
∴BC=9．
②过点 F 作 FH⊥AB 于点 H，如图 2．
∵BD=BC−CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，设 FB=x，则 DF=FH=5−x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在 Rt△BFH 中，
∵cs∠BFH=cs∠C=23=FHBF，
∴5−xx=23，
解得 x=3，即 BF 的长为 3，
∴DF=2．
22. （1） x−1；12xx−1
（2） 根据题意列方程得：
12xx−1=45.
解得
x1=10,x2=−9舍去.∴x=10
．
答：共有 10 家公司参加商品交易会．
23. （1） 32
【解析】由点 P 的坐标为 3,32 知点 P 与水面的距离为 32 m．
（2） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx，
将点 A4,0，P3,32 代入，得：16a+4b=0,9a+3b=32,
解得：a=−12,b=2,
所以抛物线的解析式为 y=−12x2+2x．
（3） 当 y=1 时，−12x2+2x=1，即 x2−4x+2=0，解得：x=2±2，
则水面的宽为 2+2−2−2=22m．
24. （1） ∵ 将 △ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60∘ 得到 △BCE，
∴∠DCE=60∘，DC=EC，
∴△CDE 是等边三角形；
（2） ①存在，当 6由旋转的性质得，BE=AD，
∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
由（1）知，△CDE 是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C△DBE=CD+4，
由垂线段最短可知，当 CD⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，CD=23，
∴△BDE 的最小周长 =CD+4=23+4；
②存在，
① ∵ 当点 D 与点 B 重合时，D，B，E 不能构成三角形，
∴ 当点 D 与点 B 重合时，不符合题意，
②当 0≤t<6 时，由旋转可知，∠ABE=60∘，∠BDE<60∘，
∴∠BED=90∘，
由（1）可知，△CDE 是等边三角形，
∴∠DEC=60∘，
∴∠CEB=30∘，
∵∠CEB=∠CDA，
∴∠CDA=30∘，
∵∠CAB=60∘，
∴∠ACD=∠ADC=30∘，
∴DA=CA=4，
∴OD=OA−DA=6−4=2，
∴t=2；
③当 690∘，
∴ 此时不存在；
④当 t>10 时，由旋转的性质可知，∠DBE=60∘，
又由（1）知 ∠CDE=60∘，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60∘+∠BDC，
而 ∠BDC>0∘，
∴∠BDE>60∘，
∴ 只能 ∠BDE=90∘，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CDE=60∘，
∴∠BDC=∠BEC=30∘，
∴∠ACD=90∘．
从而 ∠BCD=30∘，
∴BD=BC=4，
∴OD=14，
∴t=14，
综上所述：当 t=2或14 时，以 D，E，B 为顶点的三角形是直角三角形．
25. （1） 由题可得，抛物线 y=x2 的开口方向向上，对称轴为直线 x=0，顶点坐标为 0,0．
（2） ∵ 点 A2,4，
∴OA 解析式为 y=2x，
∵ 抛物线 y=x2 从点 O 沿 OA 方向平移，
∴ 可设顶点坐标为 m,2m，
∴ 抛物线的解析式为 y=x−m2+2m，
∵ 抛物线与直线 x=2 交于点 P，
∴P2,m2−2m+4，
又 ∵ 直线 x=2 与 x 轴相交于点 B，
∴B2,0，
∴PB=m2−2m+4=m−12+3，
∴ 当 m=1 时，PB 最短．
（3） 设直线 DE 为 y=kx+b，则 C0,b，OC=b，
直线 DE 与抛物线 y=x2 联立，得 x2−kx−b=0，
设 Dx1,y1，Ex2,y2，则 x1+x2=k，x1x2=−b，
∴y1+y2=kx1+b+kx2+b=k2+2b，y1y2=kx1+bkx2+b=b2，
如图，分别过点 D，E 作 DQ⊥y 轴于点 Q，EP⊥y 轴于点 P，
则 ∠DQC=∠EPC=90∘，而 ∠DCQ=∠ECP，
∴△DCQ∽△ECP，
∴CQCP=DQEP，
∵∠CFD=∠CFE，∠DQF=∠EPF，
∴△DQF∽△EPF，
∴DQEP=FQFP，
∴CQCP=FQFP，
设 F0,f，则 OF=−f，
y1−bb−y2=y1−fy2−f，整理可得，k2b+f=0，
∵k≠0，
∴b+f=0，
∴b=−f，即 OC=OF．