2018_2019学年上海市长宁区八上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年上海市长宁区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. a−b 的有理化因式是
A. a−bB. a+bC. a−bD. a+b

2. 下列方程中，一元二次方程的是
A. x2−1=0B. x2+1=0C. y+x2=1D. 1x2=1

3. 关于正比例函数 y=2x 的图象，下列叙述错误的是
A. 点 −1,−2 在这个图象上
B. 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小
C. 图象关于原点对称
D. 图象经过一、三象限

4. 下列命题中，假命题是
A. 对顶角相等
B. 等角的补角相等
C. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
D. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等

5. 一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多 2 cm，另一条直角边长 6 cm，那么这个直角三角形的斜边长为
A. 4 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm

6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A−2,0，与 x 轴夹角为 30∘，将 △ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=kx（k≠0）上，则 k 的值为
A. 4B. −2C. 3D. −3

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 化简：27x2x>0= ．

8. 已知函数 y=2x+6，其定义域为 ．

9. 在实数范围内因式分解 2x2+4x−3= ．

10. 已知函数 fx=x−22x，那么 f3= ．

11. 关于 x 的一元二次方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ．

12. 某地区 PM2.5 的年平均值经过测算，2015 年为 180，经过治理后，2017 年为 80，如果设 PM2.5 的平均值每年的降低率均为 x，列出关于 x 的方程： ．

13. 已知直角坐标平面内的点 A2,−1 和 B−3,4，那么 A，B 两点的距离等于 ．

14. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点．若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于 ．

15. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=56∘，三角形的外角 ∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点 E，则 ∠ABE= 度．

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=30∘，以直角顶点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 BC 于点 D，过 D 作 DE⊥AC 于点 E．若 DE=a，则 △ABC 的周长用含 a 的代数式表示为 ．

17. 如图，在反比例函数 y=2xx>0 的图象上，有点 P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为 1，2，3，4．分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1，S2，S3，则 S1+S2+S3= ．

18. 已知在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=3，AC=4，点 D 是 AB 边上一点，将 △ABC 沿着直线 CD 翻折，点 A 落在直线 AB 上的点 Aʹ 处，则 AʹB= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：12−3+27−12+48−24÷6．

20. 解方程：32×x−83=3x−4．

21. 甲、乙两车分别从 A 地将一批物资运往 B 地，两车离 A 地的距离 s（千米）与其相关的时间 t（小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
（1）A 地与 B 地之间的距离是多少千米；
（2）甲车由 A 地前往 B 地时所对应 s 与 t 的函数解析式及定义域；
（3）甲车由 A 地前往 B 地比乙车由 A 地前往 B 地多用了多少小时．

22. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=15∘，边 AB 的垂直平分线交边 BC 于点 E，垂足为点 D，取线段 BE 的中点 F，连接 DF．求证：AC=DF．
（说明：此题的证明过程需要批注理由）

23. 已知 y=y1+y2，并且 y1 与 x−1 成正比例，y2 与 x 成反比例．当 x=2 时，y=5；当 x=−2 时，y=−9．求 y 关于 x 的函数解析式．

24. 如图，已知直线 y=12x 与双曲线 y=kxk>0 交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4．
（1）求 k 的值；
（2）若双曲线 y=kxk>0 上一点 C 的纵坐标为 8，求 △AOC 的面积；
（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y=kxk>0 于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标．

25. 如图（1），已知四边形 ABCD 的四条边相等，四个内角都等于 90∘，点 E 是 CD 边上一点，F 是 BC 边上一点，且 ∠EAF=45∘．
（1）求证：BF+DE=EF；
（2）若 AB=6，设 BF=x，DE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（3）过点 A 作 AH⊥FE 于点 H，如图（2），当 FH=2，EH=1 时，求 △AFE 面积．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 a−b×a−b=a−b，
所以二次根式 a−b 的有理化因式是：a−b．
2. B【解析】A、 x2−1=0 是无理方程，故A错误；
B、 x2+1=0 是一元二次方程，故B正确；
C、 y+x2=1 是二元二次方程，故C错误；
D、 1x2=1 是分式方程，故D错误；
故选B．
3. B【解析】A．当 x=−1 时，y=2×−1=−2，所以点 −1,−2 在这个图象上，此选项正确；
B．由 k=2>0 知函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，此选项错误；
C．正比例函数图象都关于原点对称，此选项正确；
D．由 k=2>0 知图象经过一、三象限，此选项正确；
故选B．
4. D【解析】A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、等角的补角相等，正确，是真命题；
C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题；
D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题．
故选D．
5. C
【解析】设直角三角形的斜边是 x cm，则另一条直角边是 x−2cm．
根据勾股定理，得 x−22+36=x2，
解得：x=10，
则斜边的长是 10 cm．
6. D【解析】设点 C 的坐标为 x,y，过点 C 作 CD⊥x 轴，作 CE⊥y 轴．
∵ 将 △ABO 沿直线 AB 翻折，
∴∠CAB=∠OAB=30∘，AC=AO=2，∠ACB=∠AOB=90∘，
∴CD=y=AC⋅sin60∘=2×32=3．
∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠BCE=∠ACD=30∘．
∵BC=BO=AO⋅tan30∘=2×33=233，CE=∣x∣=BC⋅cs30∘=233×32=1．
∵ 点 C 恰好落在双曲线 y=kx（k≠0）上，
∴k=x⋅y=−1×3=−3．
故选D．
第二部分
7. 33x
【解析】27x2=27⋅x2=33x．
8. x≥−3
【解析】由 2x+6≥0，得 x≥−3，
故答案为 x≥−3．
9. 2x+2+102x+2−102
【解析】2x2+4x−3=0 的解是 x1=−2+102，x2=−−2−102，
所以可分解为 2x2+4x−3=2x−−2+102x−−2−102．
即：2x2+4x−3=2x+2+102x+2−102．
10. 16
【解析】当 x=3 时，f3=3−22×3=16．
故答案为 16．
11. k>−1 且 k≠0
【解析】∵ 一元二次方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=4+4k>0，且 k≠0，
解得：k>−1 且 k≠0．
12. 1801−x2=80
【解析】设 PM2.5 的平均值每年的降低率均为 x，
根据题意可得 1801−x2=80．
13. 52
【解析】A，B 两点的距离为：52+52=52．
14. 8
【解析】因为 △ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点，DE=5，
所以 DE=12AC=5，
所以 AC=10．
在直角 △ACD 中，∠ADC=90∘，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得 CD=AC2−AD2=102−62=8．
故答案是：8．
15. 28
【解析】如图，过点 E 作 EG⊥AD 于 G，作 EH⊥BF 于 H，作 EK⊥AC 于 K，
∵∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点 E，
∴EG=EK，EH=EK，
∴EG=EH，
∴BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×56∘=28∘．
16. 6+23a
【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=30∘，
∴BC=2AB．
∵∠ABC=60∘，AB=AD，
∴△ABD 为等边三角形．
∴CD=AD．
∴∠C=∠DAC=30∘．
又 DE⊥AC，DE=a，
∴AC=2AE=23a．
∴AB=2a，BC=4a．
∴△ABC 周长为 6+23a．
17. 32
【解析】由题意可知点 P1，P2，P3，P4 坐标分别为：1,2，2,1，3,23，4,12，
所以由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2−1×12=1.5．
18. 75
【解析】作 CD⊥AB 于点 D，
在直角 △ABC 中，AB=AC2+BC2=5，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，
∴CD=BC⋅ACAB=125，
∵ 将 △ABC 沿着直线 CD 翻折，点 A 落在直线 AB 上的点 Aʹ 处，
∴AD=AʹD=AC2−CD2=165，
∵BD=BC2−CD2=95，
∴AʹB=AʹD−BD=75，
故答案为 75．
第三部分
19. 原式=2+3+33−22+48÷6−24÷6=2+3+33−22+22−2=43+322.
20. 去括号得：
32x2−4x=3x−4.
去分母得：
3x2−8x=6x−8.
即
3x2−14x+8=0.
分解因式得：
x−43x−2=0.
解得
x1=4,x2=23.
21. （1） 由图象可得，A 地与 B 地之间的距离是 60 千米．
（2） 设甲车由 A 地前往 B 地时所对应的 s 与 t 的函数解析式为 s=kt，60=3k，得 k=20，
∴ 甲车由 A 地前往 B 地时所对应的 s 与 t 的函数解析式是 s=20t0≤t≤3．
（3） 由图象可得，甲车由 A 地前往 B 地比乙车由 A 地前往 B 地多用了：3−2−1=2（小时）．
22. 连接 AE．
∵DE 是 AB 的垂直平分线（已知），
∴AE=BE，∠EDB=90∘（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB=∠EBA=15∘（等边对等角），
∴∠AEC=30∘（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB 中，
∵F 是 BE 的中点（已知），
∴DF=12BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE 中，
∵∠AEC=30∘（已知），
∴AC=12AE（直角三角形 30∘ 角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC=DF（等量代换）．
23. 由题意可设 y1=kx−1，y2=kʹx，
∴y=y1+y2=kx−1+kʹx，
把 x=2，y=5；x=−2，y=−9 代入可得 2−1k+kʹ2=5,−2−1k+kʹ−2=−9,
解得 k=2,kʹ=6,
∴y 关于 x 的函数解析式为 y=2x−1+6x．
24. （1） ∵ 点 A 横坐标为 4，
∴ 当 x=4 时，y=2．
∴ 点 A 的坐标为 4,2．
∵ 点 A 是直线 y=12x 与双曲线 y=kxk>0 的交点，
∴k=4×2=8．
（2） 解法一：如图．
∵ 点 C 在双曲线上，当 y=8 时，x=1，
∴ 点 C 的坐标为 1,8．
过点 A，C 分别做 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 M，N，得矩形 DMON．
S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．
S△AOC=S矩形ONDM−S△ONC−S△CDA−S△OAM=32−4−9−4=15．
【解析】解法二：
如图，过点 C，A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E，F．
∵ 点 C 在双曲线 y=8x 上，当 y=8 时，x=1，
∴ 点 C 的坐标为 1,8．
∵ 点 C，A 都在双曲线 y=8x 上，
∴S△COE=S△AOF=4．
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．
∴S△COA=S梯形CEFA．
∵S梯形CEFA=12×2+8×3=15，
∴S△COA=15．
（3） ∵ 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB．
∴ 四边形 APBQ 是平行四边形．
∴S△POA=14S平行四边形APBQ=14×24=6．
设点 P 横坐标为 m（m>0 且 m≠4），得 Pm,8m．
过点 P，A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E，F，
∵ 点 P，A 在双曲线上，
∴S△PQE=S△AOF=4．
若 0 ∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴122+8m⋅4−m=6，解得 m=2，m=−8（舍去）．
∴P2,4．
若 m>4，如图．
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴122+8m⋅m−4=6，解得 m=8，m=−2（舍去）．
∴P8,1．
∴ 点 P 的坐标是 P2,4 或 P8,1．
25. （1） 如图（1）中，将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到 △ABH．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90∘，
∵∠EAF=45∘，
∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45∘，
∴∠FAH=∠FAE=45∘，
∵AF=AF，AH=AE，
∴△AFH≌△AFESAS，
∴EF=FH，
∵FH=BH+BF=DE+BF，
∴EF=BF+DE．
（2） ∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，
∴EF=x+y，FC=6=−x，EC=6−y．
在 Rt△ECF 中，
∵EF2=CF2+EC2，
∴x+y2=6−x2+6−y2，
∴y=36−6x2x+60≤x≤6．
（3） 如图（2）中，将 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 得到 △ABM．
由（1）可知 △AFM≌△AFH．
∵AB⊥FM，AH⊥EF，
∴AB=AH．
设 AB=BC=CD=AD=x，
∵∠ABF=∠AHF=90∘，
∵AF=AF，AB=AH，
∴Rt△AFB≌Rt△AFHHL，
∴BF=FH=2，同理可证：DE=EH=1，
∴CF=x−2，EC=x−1，
在 Rt△ECF 中，
∵EF2=CF2+EC2，
∴32=x−22+x−12，
∴x=3+172 或 3−172（舍弃）．
∴S△AEF=12⋅EF⋅AH=12×3×3+172=9+3174．