2018_2019学年广东省深圳市罗湖区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年广东省深圳市罗湖区九上期末数学试卷（一模），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 袋中装有 5 个白球，3 个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是
A. 35B. 38C. 58D. 34

2. 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是
A. B.
C. D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 sinA=12，则 ∠A 的度数是
A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 无法确定

5. 若关于 x 的一元二次方程 x2−x−3m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
A. m>12B. m<112C. m>−112D. m<−112

6. 下列命题中，属于假命题的是
A. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 抛物线 y=y2−20x+17 的开口向上
D. 在一次抛掷图钉的试验中，若钉尖朝上的频率为 3/5，则钉尖朝上的概率也为 3/5

7. 由下表估算一元二次方程 x2+12x=15 的一个根的范围，其中正确的是
+
A. 1.0
8. 如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为 1:2，且三角尺一边长为 5 cm，则投影三角形的对应边长为
A. 8 cmB. 20 cmC. 3.2 cmD. 10 cm

9. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的取值范围是
A. −15
C. x<−1 且 x>5D. x<−1 或 x>5

10. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，给出以下四个结论：① abc=0，② a+b+c>0，③ b=3a，④ 4ac−b2<0；其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

11. 如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90∘，OB=2OA，点 A 在反比例函数 y=1x 的图象上，若点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，则 k 的值是
A. −4B. 4C. −2D. 2

12. 在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别在 AB，BC，CD，DA 边上，且满足 EB=FC=GD=HA=1，BD 分别与 HG，HF，EF 相交于 M，O，N．给出以下结论：① HO=OF；② OF2=ON⋅OB；③ HM=2MG；④ S△HOM=56，其中正确的个数有
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为 ．

14. 如图，是一个长方体的主视图、左视图与俯视图（单位：cm），根据图中数据计算这个长方体的体积是 cm3．

15. 随着数系不断扩大，我们引进新数 i，新数 i 满足交换律，结合律，并规定：i2=−1，那么 2+i2−i= （结果用数字表示）．

16. 如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=6，sinC=35，以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧交 AC 于 M，分别以 B，M 为圆心，以大于 12BM 长为半径作弧，两弧相交于 N，射线 AN 与 BC 相交于 D，则 AD 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解方程：x2−2x−3=0．

18. 小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字 2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为 6 的概率；
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗?做出判断，并说明理由．

19. 如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=mxx>0 的图象相交于 A2,3，Ba,1 两点．
（1）求这两个函数表达式；
（2）求证：AB=2BC．

20. 某商场将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售，一天可售出 100 件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件．
（1）若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元?
（2）设后来该商品每件降价 x 元，商场一天可获利润 y 元．求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求当 x 取何值时，商场获利润最大?

21. 随着科技进步，无人机的应用越来越广，如图 1，在某一时刻，无人机上的探测器显示，从无人机 A 处看一栋楼顶部 B 点的仰角和看与顶部 B 在同一铅垂线上高楼的底部 C 的俯角．
（1）如果上述仰角与俯角分别为 30∘ 与 60∘，且该楼的高度为 30 米，求该时刻无人机的竖直高度 CD．
（2）如图 2，如果上述仰角与俯角分别为 α 与 β，且该楼的高度为 m 米．求用 α，β，m 表示该时刻无人机的竖直高度 CD．

22. 如图 1，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上的一动点，连接 CP 并延长交 AD 于 E，交 BA 的延长线于点 F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）如图 2，当菱形 ABCD 变为正方形，且 PC=2，tan∠PFA=12 时，求正方形 ABCD 的边长．

23. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx−3 与 x 轴相交于 A−1,0，B3,0，P 为抛物线上第四象限上的点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）如图 1，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，PD 交 BC 于点 E，当线段 PE 的长度最大时，求点 P 的坐标．
（3）如图 2，当线段 PE 的长度最大时，作 PF⊥BC 于点 F，连接 DF．在射线 PD 上有一点 Q，满足 ∠PQB=∠DFB，问在坐标轴上是否存在一点 R，使得 S△RBE=S△QBE；如果存在，直接写出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】由题知，袋中共有 8 个小球，其中黑球 3 个，
∴P摸到黑球=38．
2. B
3. B
4. C【解析】∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=12，
∴∠A=30∘．
5. C
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−x−3m=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即 −12−4×1×−3m>0，
解得 m>−112．
6. D【解析】A、在两个直角三角形中已经有一个直角对应相等，如它们还有一个锐角对应相等，则这两个三角形相似；A不符合题意；
B、在菱形的基础上添加一个矩形所具有的的特殊性质，对角线相等就能判断出此图形是正方形；B不符合题意；
C、抛物线的开口方向由二次项的系数决定，当 a>0 时，开口向上，此题的 a=1>0，故开口向上是正确的；C不符合题意；
D、在一次抛掷图钉的试验中，若钉尖朝上的频率为 3/5，则钉尖朝上的概率也为 3/5，说法是错的，只能说频率稳定于概率，但不能说频率等于概率；D符合题意．
7. B【解析】∵14.41<15<15.84，
∴ 一元二次方程 x2+12x=15 的一个根的范围为 1.18. D【解析】设投影三角尺的对应边长为 x cm，
∵ 三角尺与投影三角尺相似，
∴5:x=1:2，
解得 x=10．
9. A【解析】由图可知，二次函数图象的对称轴为直线 x=2，
∴ 函数图象与 x 轴的另一交点为 −1,0，
∴ax2+bx+c>0 时 x 的取值范围是 −110. C
【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0，故①正确；
∵x=1 时，y<0，
∴a+b+c<0，故②不正确；
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵ 抛物线的对称轴是 x=−32，
∴−b2a=−32，
∴b=3a，故③正确；
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2−4ac>0,4ac−b2<0，故④正确；
综上，可得正确结论有 3 个：①③④．
11. A【解析】如图，过点 A，B 作 AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为点 C，D．
∵ ∠AOC+∠BOD=90∘，∠BOD+∠OBD=90∘，
∴ ∠OBD=∠AOC．又 ∠BDO=∠OCA=90∘，
∴ △ODB∽△ACO，
∴ ODAC=BDOC=OBOA=2．设点 A 的坐标是 m,n．
∵ 点 A 在反比例函数 y=1x 的图象上，
∴ mn=1．
∵ AC=n，OC=m，
∴ BD=2m，OD=2n，
∴ B 点的坐标是 −2n,2m．
∵ 点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴ 2m=k−2n，即 k=−4mn=−4．
12. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=BC=AB=CD=3，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90∘，∠ADB=∠DBC=45∘，
∵EB=FC=GD=HA=1，
∴AE=CG=BF=DH=2，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH=EF=FG=GH，∠AHE=∠BEF，
∵∠AEH+∠AHE=90∘，
∴∠AEH+∠BEF=90∘，
∴∠HEF=90∘，
∴ 四边形 EFGH 是正方形，
∴∠OFN=45∘，
∴∠OFN=∠OBF=45∘，
又 ∵∠FON=∠BOF，
∴△ONF∽△OFB，
∴ON∶OF=OF∶OB，
∴OF2=ON⋅OB，故②正确；
在 △HOD 与 △FOB 中，
∵∠ADB=∠DBC,∠HOD=∠FOB,HD=BF,
∴△HOD≌△FOB，
∴HO=OF，故①正确；
∵S△HDM∶S△DMG=2∶1，S△HDM∶S△DMG=HM∶MG，
∴HM∶MG=2∶1，
∴HM=2MG，故③正确；
在 Rt△AEH 中，∠A=90∘，AH=1，AE=2，
根据勾股定理 EH=5，
∵S正方形EFGH=5，S△HOG=14S正方形EFGH=54，
又 ∵S△HOM∶S△OMG=HM∶MG=2∶1，
∴S△HOM=54×23=56，故④正确．
第二部分
13. 23
【解析】设第一双鞋为 A 左，A 右；第二双鞋为 B 右，B 左；
则从这四只鞋中随机拿出两只的所有可能为 A左,A右，A左,B右，A左,B左，A右,B左，A右,B右，B右,B左，共 6 种等可能的结果，其中恰好成为一双的有 4 种，
故 P恰好成为一双=46=23．
14. 24
【解析】长方体的体积为：2×3×4=24．
15. 5
【解析】2+i2−i=4−i2=4−−1=5．
16. 2472
【解析】Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=6，sinC=35，sinC=ABBC，BC=10，
根据勾股定理得出 AC=8，
过点 D 做 DE⊥AC 于点 E，DF⊥AB 于点 F，
根据题意知，AD 平分 ∠BAC，∠DAE=∠DAF=45∘，DE=DF，
S△ABC=12AB⋅AC＝24，S△ABC=12DEAB+AC，DE=247，
在 Rt△ADE 中，∠DAE=45∘，AE=DE=247，
根据勾股定理得出 AD=2472．
第三部分
17. 因式分解，得
x−3x+1=0.
解得 x1=3，x2=−1．
18. （1） 根据题意画出树状图如图：
由树状图知：所有等可能结果共有 9 种，其中两数和为 6 的共有 3 种，
故 P两数和为6=39=13．
（2） 游戏不公平，
理由如下：
由树状图知：所有等可能结果共有 9 种，其中两数和为奇数的共有 4 种，两数和为偶数数的共有 5 种，
故 P两数和为奇数=49，P两数和为偶数数=59，59≠49，
故游戏规则不公平．
19. （1） 把 A2,3 代入 y=mx 得 m=6，
故反比例函数的解析式为 y=6x；
把 Ba,1 代入 y=6x 得 1=6a，
解得，a=6，
B6,1，
将 A2,3，B6,1 分别代入 y=kx+b，
得 2a+b=3,6a+b=1,
解得 a=−12,b=4.
所以一次函数的解析式为 y=−12x+4．
（2） 把 y=0 代入 y=−12x+4；
得 0=−12x+4；
解得 x=8，
所以 C8,0，
根据两点间的距离公式得，
BC=12+8−62=5；
AB=6−22+3−12=25，
所以 AB=2BC．
20. （1） 设若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 a 元．
由题意得方程：
100−80−a100+10a=2160.
即：
a2−10a+16=0.
解得：
a1=2,a2=8.
经检验：a1=2，a2=8 都是方程的解，且符合题意．
答：若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价 2 元或 8 元．
（2） 依题意得：y=100−80−x100+10x．
∴y=−10x2+100x+2000=−10x−52+2250．
∵−10<0，
∴ 当 x=5 时，商店所获利润最大．
21. （1） ∵ 在 Rt△ABD 中，∠BAD=30∘，
∴AB=2BD，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠CBA=60∘，
∴∠ACB=30∘，
∴BC=2AB，
又 ∵BC=30 米，
∴AB=15 米，
∴BD=7.5 米，
∴CD=BC−BD=30−7.5=22.5（米），
答：无人机的竖直高度 CD 为 22.5 米．
（2） 设 CD=x，则 BD=m−x，
在 Rt△ABD 中，∠BAD=α，
∴tanα=BDAD=m−xAD；
在 Rt△ADC 中，∠DAC=β，
∴tanβ=CDAD=xAD，
∴tanβtanα=xADm−xAD=xm−x，
tanβ⋅m−x=tanα⋅x，
∴x=tanβmtanα+tanβ．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴DC=DA，∠CDB=∠ADB，
在 △APD 和 △CPD 中，
AD=CD,∠CDB=∠ADB,DP=DP,
∴△APD≌△CPD．
（2） ∵△APD≌△CPD．
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠PFA，
∴∠DAP=∠PFA，
又 ∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴AP:FP=PE:PA，
∴PA2=PE⋅PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC2=PE⋅PF；
∵tan∠PFA=12，∠DCP=∠PFA，
∴tan∠DCP=12=DEDC，
∴DC=2DE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴DC=DA，
∴DA=2DE，
即点 E 是 DA 的中点，
∴DE=EA，
在 △DCE 与 △AFE 中，
∠DCP=∠PFA,∠DEC=∠AEF,DE=AE,
∴△DCE≌△AFE，
∴EC=EF，
设 PE=x，则 EC=EF=x+2，PF=2x+2，22=x⋅2x+2，
解得 x1=−2（舍去），x2=1，
∴CE=3，
在 Rt△DEC 中，设 DE=y，则 DC=2y，
根据勾股定理得 y2+2y2=32，
解得 y=±355，
∴DE=355，
∴DC=655，
即正方形的边长为 655．
23. （1） 将 A−1,0，B3,0 分别代入 y=ax2+bx−3 得 a−b−3=0,9a+3b−3=0,
解得 a=1,b=−2.
∴ 该抛物线的函数关系式为 y=x2−2x−3．
（2） 把 x=0 代入 y=x2−2x−3；得，y=−3，
∴C0,−3，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将 C0,−3 与 B3,0 分别代入得，3k+b=0,b=−3,
解得 k=1,b=−3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=x−3；
设 Pm,m2−2m−3，
∴Em,m−3，
∴PE=m−3−m2−2m−3=−m2+3m=−m−322+94,
故当 m=32 时，PE 最大．此时 P32,−154．
（3） R 点的坐标为 0,334 或 0,−94 或 334,0 或 −94,0．
【解析】当线段 PE 的长度最大时，P32,−154，E32,−32，PE=94，
∴D32,0，
∴BD=32，
∵B3,0，C0,−3，
∴OB=3=OC，
∴△OBC 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45∘，
在 Rt△DBE 中，∠ABC=45∘，DB=32，
∴BE=322，∠DEB=45∘，
∴∠PEF=45∘，
在 Rt△PEF 中，∠PEF=45∘，PE=94，
∴EF=982，
∴BF=2182，
∵∠PQB=∠DFB，∠DBE=∠DEB=45∘，
∴△QBE∽△FDB，
∴DB:BE=BF:QE，
即 32:322=2182:QE，
∴QE=214，
∵S△BQE=12⋅QE⋅DB=12×214×32=6316，
当 R 点在 x 轴上时，设 Rn,0，BR=3−n，
∴S△RBE=12⋅BR⋅DE，
∴6316=12⋅3−n⋅32，
3−n=214，
解得：n1=−94，n2=334．
∴R−94,0或334,0；
当 R 在 y 轴上的时候，设 R0,z，
S△BER=S△BRC−S△REC，
∴6316=12×3×z−3−12×32×z−3
解得：z1=334，z2=−94；
∴R0,−94或0,334．
综上所述，R 点的坐标为 0,334 或 0,−94 或 334,0 或 −94,0．