


2018_2019学年广东省深圳市罗湖区九上期末数学试卷(一模)
展开这是一份2018_2019学年广东省深圳市罗湖区九上期末数学试卷(一模),共13页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 袋中装有 5 个白球,3 个黑球,除颜色外均相同,从中一次任摸出一个球,则摸到黑球的概率是
A. 35B. 38C. 58D. 34
2. 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩,等边三角形木框在地面上的影子不可能是
A. B.
C. D.
3. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
4. 在 Rt△ABC 中,∠C=90∘,若 sinA=12,则 ∠A 的度数是
A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 无法确定
5. 若关于 x 的一元二次方程 x2−x−3m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是
A. m>12B. m<112C. m>−112D. m<−112
6. 下列命题中,属于假命题的是
A. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 抛物线 y=y2−20x+17 的开口向上
D. 在一次抛掷图钉的试验中,若钉尖朝上的频率为 3/5,则钉尖朝上的概率也为 3/5
7. 由下表估算一元二次方程 x2+12x=15 的一个根的范围,其中正确的是
+
A. 1.0
8. 如图,位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成,相似比为 1:2,且三角尺一边长为 5 cm,则投影三角形的对应边长为
A. 8 cmB. 20 cmC. 3.2 cmD. 10 cm
9. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象可知,满足不等式 ax2+bx+c>0 的 x 的取值范围是
A. −1
C. x<−1 且 x>5D. x<−1 或 x>5
10. 如图,已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示,给出以下四个结论:① abc=0,② a+b+c>0,③ b=3a,④ 4ac−b2<0;其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
11. 如图,△AOB 是直角三角形,∠AOB=90∘,OB=2OA,点 A 在反比例函数 y=1x 的图象上,若点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上,则 k 的值是
A. −4B. 4C. −2D. 2
12. 在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别在 AB,BC,CD,DA 边上,且满足 EB=FC=GD=HA=1,BD 分别与 HG,HF,EF 相交于 M,O,N.给出以下结论:① HO=OF;② OF2=ON⋅OB;③ HM=2MG;④ S△HOM=56,其中正确的个数有
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题(共4小题;共20分)
13. 有两双完全相同的鞋,从中任取两只,恰好成为一双的概率为 .
14. 如图,是一个长方体的主视图、左视图与俯视图(单位:cm),根据图中数据计算这个长方体的体积是 cm3.
15. 随着数系不断扩大,我们引进新数 i,新数 i 满足交换律,结合律,并规定:i2=−1,那么 2+i2−i= (结果用数字表示).
16. 如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90∘,AB=6,sinC=35,以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧交 AC 于 M,分别以 B,M 为圆心,以大于 12BM 长为半径作弧,两弧相交于 N,射线 AN 与 BC 相交于 D,则 AD 的长为 .
三、解答题(共7小题;共91分)
17. 解方程:x2−2x−3=0.
18. 小明和小亮玩一个游戏:取三张大小、质地都相同的卡片,上面分别标有数字 2,3,4(背面完全相同),现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求出这两数和为 6 的概率;
(2)如果和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗?做出判断,并说明理由.
19. 如图,一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=mxx>0 的图象相交于 A2,3,Ba,1 两点.
(1)求这两个函数表达式;
(2)求证:AB=2BC.
20. 某商场将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售,一天可售出 100 件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低 1 元,其销量可增加 10 件.
(1)若商场经营该商品一天要获利润 2160 元,则每件商品应降价多少元?
(2)设后来该商品每件降价 x 元,商场一天可获利润 y 元.求出 y 与 x 之间的函数关系式,并求当 x 取何值时,商场获利润最大?
21. 随着科技进步,无人机的应用越来越广,如图 1,在某一时刻,无人机上的探测器显示,从无人机 A 处看一栋楼顶部 B 点的仰角和看与顶部 B 在同一铅垂线上高楼的底部 C 的俯角.
(1)如果上述仰角与俯角分别为 30∘ 与 60∘,且该楼的高度为 30 米,求该时刻无人机的竖直高度 CD.
(2)如图 2,如果上述仰角与俯角分别为 α 与 β,且该楼的高度为 m 米.求用 α,β,m 表示该时刻无人机的竖直高度 CD.
22. 如图 1,点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上的一动点,连接 CP 并延长交 AD 于 E,交 BA 的延长线于点 F.
(1)求证:△APD≌△CPD;
(2)如图 2,当菱形 ABCD 变为正方形,且 PC=2,tan∠PFA=12 时,求正方形 ABCD 的边长.
23. 如图,已知抛物线 y=ax2+bx−3 与 x 轴相交于 A−1,0,B3,0,P 为抛物线上第四象限上的点.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)如图 1,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,PD 交 BC 于点 E,当线段 PE 的长度最大时,求点 P 的坐标.
(3)如图 2,当线段 PE 的长度最大时,作 PF⊥BC 于点 F,连接 DF.在射线 PD 上有一点 Q,满足 ∠PQB=∠DFB,问在坐标轴上是否存在一点 R,使得 S△RBE=S△QBE;如果存在,直接写出 R 点的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
第一部分
1. B【解析】由题知,袋中共有 8 个小球,其中黑球 3 个,
∴P摸到黑球=38.
2. B
3. B
4. C【解析】∵Rt△ABC 中,∠C=90∘,sinA=12,
∴∠A=30∘.
5. C
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−x−3m=0 有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即 −12−4×1×−3m>0,
解得 m>−112.
6. D【解析】A、在两个直角三角形中已经有一个直角对应相等,如它们还有一个锐角对应相等,则这两个三角形相似;A不符合题意;
B、在菱形的基础上添加一个矩形所具有的的特殊性质,对角线相等就能判断出此图形是正方形;B不符合题意;
C、抛物线的开口方向由二次项的系数决定,当 a>0 时,开口向上,此题的 a=1>0,故开口向上是正确的;C不符合题意;
D、在一次抛掷图钉的试验中,若钉尖朝上的频率为 3/5,则钉尖朝上的概率也为 3/5,说法是错的,只能说频率稳定于概率,但不能说频率等于概率;D符合题意.
7. B【解析】∵14.41<15<15.84,
∴ 一元二次方程 x2+12x=15 的一个根的范围为 1.1
∵ 三角尺与投影三角尺相似,
∴5:x=1:2,
解得 x=10.
9. A【解析】由图可知,二次函数图象的对称轴为直线 x=2,
∴ 函数图象与 x 轴的另一交点为 −1,0,
∴ax2+bx+c>0 时 x 的取值范围是 −1
【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 图象经过原点,
∴c=0,
∴abc=0,故①正确;
∵x=1 时,y<0,
∴a+b+c<0,故②不正确;
∵ 抛物线开口向下,
∴a<0,
∵ 抛物线的对称轴是 x=−32,
∴−b2a=−32,
∴b=3a,故③正确;
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有两个交点,
∴△>0,
∴b2−4ac>0,4ac−b2<0,故④正确;
综上,可得正确结论有 3 个:①③④.
11. A【解析】如图,过点 A,B 作 AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为点 C,D.
∵ ∠AOC+∠BOD=90∘,∠BOD+∠OBD=90∘,
∴ ∠OBD=∠AOC.又 ∠BDO=∠OCA=90∘,
∴ △ODB∽△ACO,
∴ ODAC=BDOC=OBOA=2.设点 A 的坐标是 m,n.
∵ 点 A 在反比例函数 y=1x 的图象上,
∴ mn=1.
∵ AC=n,OC=m,
∴ BD=2m,OD=2n,
∴ B 点的坐标是 −2n,2m.
∵ 点 B 在反比例函数 y=kx 的图象上,
∴ 2m=k−2n,即 k=−4mn=−4.
12. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=BC=AB=CD=3,∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90∘,∠ADB=∠DBC=45∘,
∵EB=FC=GD=HA=1,
∴AE=CG=BF=DH=2,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴EH=EF=FG=GH,∠AHE=∠BEF,
∵∠AEH+∠AHE=90∘,
∴∠AEH+∠BEF=90∘,
∴∠HEF=90∘,
∴ 四边形 EFGH 是正方形,
∴∠OFN=45∘,
∴∠OFN=∠OBF=45∘,
又 ∵∠FON=∠BOF,
∴△ONF∽△OFB,
∴ON∶OF=OF∶OB,
∴OF2=ON⋅OB,故②正确;
在 △HOD 与 △FOB 中,
∵∠ADB=∠DBC,∠HOD=∠FOB,HD=BF,
∴△HOD≌△FOB,
∴HO=OF,故①正确;
∵S△HDM∶S△DMG=2∶1,S△HDM∶S△DMG=HM∶MG,
∴HM∶MG=2∶1,
∴HM=2MG,故③正确;
在 Rt△AEH 中,∠A=90∘,AH=1,AE=2,
根据勾股定理 EH=5,
∵S正方形EFGH=5,S△HOG=14S正方形EFGH=54,
又 ∵S△HOM∶S△OMG=HM∶MG=2∶1,
∴S△HOM=54×23=56,故④正确.
第二部分
13. 23
【解析】设第一双鞋为 A 左,A 右;第二双鞋为 B 右,B 左;
则从这四只鞋中随机拿出两只的所有可能为 A左,A右,A左,B右,A左,B左,A右,B左,A右,B右,B右,B左,共 6 种等可能的结果,其中恰好成为一双的有 4 种,
故 P恰好成为一双=46=23.
14. 24
【解析】长方体的体积为:2×3×4=24.
15. 5
【解析】2+i2−i=4−i2=4−−1=5.
16. 2472
【解析】Rt△ABC 中,∠BAC=90∘,AB=6,sinC=35,sinC=ABBC,BC=10,
根据勾股定理得出 AC=8,
过点 D 做 DE⊥AC 于点 E,DF⊥AB 于点 F,
根据题意知,AD 平分 ∠BAC,∠DAE=∠DAF=45∘,DE=DF,
S△ABC=12AB⋅AC=24,S△ABC=12DEAB+AC,DE=247,
在 Rt△ADE 中,∠DAE=45∘,AE=DE=247,
根据勾股定理得出 AD=2472.
第三部分
17. 因式分解,得
x−3x+1=0.
解得 x1=3,x2=−1.
18. (1) 根据题意画出树状图如图:
由树状图知:所有等可能结果共有 9 种,其中两数和为 6 的共有 3 种,
故 P两数和为6=39=13.
(2) 游戏不公平,
理由如下:
由树状图知:所有等可能结果共有 9 种,其中两数和为奇数的共有 4 种,两数和为偶数数的共有 5 种,
故 P两数和为奇数=49,P两数和为偶数数=59,59≠49,
故游戏规则不公平.
19. (1) 把 A2,3 代入 y=mx 得 m=6,
故反比例函数的解析式为 y=6x;
把 Ba,1 代入 y=6x 得 1=6a,
解得,a=6,
B6,1,
将 A2,3,B6,1 分别代入 y=kx+b,
得 2a+b=3,6a+b=1,
解得 a=−12,b=4.
所以一次函数的解析式为 y=−12x+4.
(2) 把 y=0 代入 y=−12x+4;
得 0=−12x+4;
解得 x=8,
所以 C8,0,
根据两点间的距离公式得,
BC=12+8−62=5;
AB=6−22+3−12=25,
所以 AB=2BC.
20. (1) 设若商场经营该商品一天要获利润 2160 元,则每件商品应降价 a 元.
由题意得方程:
100−80−a100+10a=2160.
即:
a2−10a+16=0.
解得:
a1=2,a2=8.
经检验:a1=2,a2=8 都是方程的解,且符合题意.
答:若商场经营该商品一天要获利润 2160 元,则每件商品应降价 2 元或 8 元.
(2) 依题意得:y=100−80−x100+10x.
∴y=−10x2+100x+2000=−10x−52+2250.
∵−10<0,
∴ 当 x=5 时,商店所获利润最大.
21. (1) ∵ 在 Rt△ABD 中,∠BAD=30∘,
∴AB=2BD,
∵ 在 Rt△ABC 中,∠CBA=60∘,
∴∠ACB=30∘,
∴BC=2AB,
又 ∵BC=30 米,
∴AB=15 米,
∴BD=7.5 米,
∴CD=BC−BD=30−7.5=22.5(米),
答:无人机的竖直高度 CD 为 22.5 米.
(2) 设 CD=x,则 BD=m−x,
在 Rt△ABD 中,∠BAD=α,
∴tanα=BDAD=m−xAD;
在 Rt△ADC 中,∠DAC=β,
∴tanβ=CDAD=xAD,
∴tanβtanα=xADm−xAD=xm−x,
tanβ⋅m−x=tanα⋅x,
∴x=tanβmtanα+tanβ.
22. (1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴DC=DA,∠CDB=∠ADB,
在 △APD 和 △CPD 中,
AD=CD,∠CDB=∠ADB,DP=DP,
∴△APD≌△CPD.
(2) ∵△APD≌△CPD.
∴∠DAP=∠DCP,
∵CD∥BF,
∴∠DCP=∠PFA,
∴∠DAP=∠PFA,
又 ∵∠APE=∠FPA,
∴△APE∽△FPA,
∴AP:FP=PE:PA,
∴PA2=PE⋅PF,
∵△APD≌△CPD,
∴PA=PC,
∴PC2=PE⋅PF;
∵tan∠PFA=12,∠DCP=∠PFA,
∴tan∠DCP=12=DEDC,
∴DC=2DE,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴DC=DA,
∴DA=2DE,
即点 E 是 DA 的中点,
∴DE=EA,
在 △DCE 与 △AFE 中,
∠DCP=∠PFA,∠DEC=∠AEF,DE=AE,
∴△DCE≌△AFE,
∴EC=EF,
设 PE=x,则 EC=EF=x+2,PF=2x+2,22=x⋅2x+2,
解得 x1=−2(舍去),x2=1,
∴CE=3,
在 Rt△DEC 中,设 DE=y,则 DC=2y,
根据勾股定理得 y2+2y2=32,
解得 y=±355,
∴DE=355,
∴DC=655,
即正方形的边长为 655.
23. (1) 将 A−1,0,B3,0 分别代入 y=ax2+bx−3 得 a−b−3=0,9a+3b−3=0,
解得 a=1,b=−2.
∴ 该抛物线的函数关系式为 y=x2−2x−3.
(2) 把 x=0 代入 y=x2−2x−3;得,y=−3,
∴C0,−3,
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,将 C0,−3 与 B3,0 分别代入得,3k+b=0,b=−3,
解得 k=1,b=−3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=x−3;
设 Pm,m2−2m−3,
∴Em,m−3,
∴PE=m−3−m2−2m−3=−m2+3m=−m−322+94,
故当 m=32 时,PE 最大.此时 P32,−154.
(3) R 点的坐标为 0,334 或 0,−94 或 334,0 或 −94,0.
【解析】当线段 PE 的长度最大时,P32,−154,E32,−32,PE=94,
∴D32,0,
∴BD=32,
∵B3,0,C0,−3,
∴OB=3=OC,
∴△OBC 为等腰直角三角形,
∴∠OBC=45∘,
在 Rt△DBE 中,∠ABC=45∘,DB=32,
∴BE=322,∠DEB=45∘,
∴∠PEF=45∘,
在 Rt△PEF 中,∠PEF=45∘,PE=94,
∴EF=982,
∴BF=2182,
∵∠PQB=∠DFB,∠DBE=∠DEB=45∘,
∴△QBE∽△FDB,
∴DB:BE=BF:QE,
即 32:322=2182:QE,
∴QE=214,
∵S△BQE=12⋅QE⋅DB=12×214×32=6316,
当 R 点在 x 轴上时,设 Rn,0,BR=3−n,
∴S△RBE=12⋅BR⋅DE,
∴6316=12⋅3−n⋅32,
3−n=214,
解得:n1=−94,n2=334.
∴R−94,0或334,0;
当 R 在 y 轴上的时候,设 R0,z,
S△BER=S△BRC−S△REC,
∴6316=12×3×z−3−12×32×z−3
解得:z1=334,z2=−94;
∴R0,−94或0,334.
综上所述,R 点的坐标为 0,334 或 0,−94 或 334,0 或 −94,0.
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