2018_2019学年山东省济南市历下区八下期末数学试卷

这是一份2018_2019学年山东省济南市历下区八下期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，中心对称图形有
A. B.
C. D.

2. 若 m>n，则下列不等式不一定成立的是
A. m+2>n+2B. 2m>2nC. −m2>−n2D. m2>n2

3. 下列分式中，最简分式是
A. 3x24xyB. x−2x2−4C. x2+y2x+yD. 2−xx2−4x+4

4. 如图，Rt△ABC 沿边 BC 所在的直线向右平移得到 △DEF，下列结论中不一定正确的是
A. ∠DEF=90∘B. BE=CF
C. CE=CFD. S四边形ABEH=S四边形DHCF

5. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠A=40∘，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则 ∠CBE 的度数为
A. 70∘B. 80∘C. 40∘D. 30∘

6. 如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点 O，E，F，G，H 分别是 AD，BD，BC，AC 的中点，要使四边形 EFGH 是矩形，则四边形 ABCD 需要满足的条件是
A. AB=CDB. AB⊥CDC. AB⊥ADD. AC=BD

7. 如图，△ABC 中，AB=AC=16，AD 平分 ∠BAC，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，若 △CDE 的周长为 26，则 BC 的长为
A. 20B. 16C. 10D. 8

8. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，若 AF，BE 分别是 ∠DAB，∠CBA 的平分线，AB=4，BC=3，则 EF 的长是
A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 若关于 x 的分式方程 3x−4+x+m4−x=1 有增根，则 m 的值是
A. 0 或 3B. 3C. 0D. −1

10. 如图，直线 y=x+32 与 y=kx−1 相交于点 P，点 P 的纵坐标为 12，则关于 x 的不等式 x+32>kx−1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

11. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=8，BC=5，AE⊥BC 于点 E，则 AE 的长等于
A. 5B. 125C. 245D. 185

12. 如图，平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，F 是 BC 的中点，作 AE⊥CD，垂足 E 在线段 CD 上，连接 EF，AF，下列结论：① 2∠BAF=∠C；② EF=AF；③ S△ABF=S△AEF；④ ∠BFE=3∠CEF 中，一定成立的是
A. 只有①②B. 只有②③C. 只有①②④D. ①②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分解因式： x2y−4y= ．

14. 如果分式 2xx+3 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

15. 若正多边形的一个内角等于 150∘，则这个正多边形的边数是 条．

16. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共 50 个，购买资金不超过 3000 元．若每个篮球 80 元，每个足球 50 元，则篮球最多可购买 个．

17. 如图，已知点 P 是 ∠AOB 平分线上的一点，∠AOB=60∘，PD⊥OA，M 是 OP 的中点，DM=4 cm，如果点 C 是 OB 上一个动点，则 PC 的最小值为 cm．

18. 如图，已知 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=2，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，连接 CʹB，则 CʹB 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 先化简，再求值：x2x+2−x+2÷4x2−4，其中 x=5．

20. 解不等式组 2x−12<1,5x+2≥3x, 并将它的解集在数轴上表示出来．

21. 如图，已知 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC，AD 上的点，且 BE=DF．
求证：四边形 AECF 是平行四边形．

22. 北京到济南的距离约为 500 km，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车晚出发 3 小时，最后两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度的 2.5 倍．求高铁和特快列车的速度各是多少?（列方程解答）

23. 如图，平面直角坐标系中，已知 A0,3，∠ABO=60∘．若对于平面内一点 C，当 △ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，称点 C 是线段 AB 的“等长点”．
（1）请判断 C11,23，C20,23 是否是线段 AB 的“等长点”，并说明理由；
（2）若 Dm,n 是线段 AB 的“等长点”，且 ∠DAB=60∘，求 m 和 n 的值．

24. 为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共 7000 株用于城市绿化，甲种树苗每株 24 元，乙种树苗每株 30 元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%，90%．
（1）若购买这两种树苗共用去 180000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少株?
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于 88%，则甲种树苗至多购买多少株?
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低?并求出最低费用．

25. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2 cm，BC=4 cm．点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P，Q 的速度都是 1 cm/s，连接 PQ，AQ，CP．设点 P，Q 运动的时间为 t s．
（1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形；
（2）当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形．

26. 问题的提出：如果点 P 是锐角 △ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点 P 到 △ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小?
（1）问题的转化：把 △APC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △APʹCʹ，连接 PPʹ，这样就把确定 PA+PB+PC 的最小值的问题转化成确定 BP+PPʹ+PʹC 的最小值的问题了，请你利用图 1 证明：PA+PB+PC=BP+PPʹ+PʹC；
（2）问题的解决：当点 P 到锐角 △ABC 的三顶点的距离之和 PA+PB+PC 的值为最小时，求 ∠APB 和 ∠APC 的度数；
（3）问题的延伸：如图 2 是有一个锐角为 30∘ 的直角三角形，如果斜边为 2，点 P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

27. 如图，已知菱形 ABCD 边长为 4，BD=4，点 E 从点 A 出发沿着 AD，DC 方向运动，同时点 F 从点 D 出发以相同的速度沿着 DC，CB 的方向运动．
（1）如图 1，当点 E 在 AD 上时，连接 BE，BF，试探究 BE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的前提下，连接 EF，求 EF 的最小值和此时 △BEF 的面积．
（3）当点 E 运动到 DC 边上时，如图 2，连接 BE，DF，交点为点 M，连接 AM，则 ∠AMD 大小是否变化?请说明理由．

四、填空题（共2小题；共10分）
28. 若关于 x 的分式方程 2x−2+mxx2−4=3x+2 无解，则 m= ．

29. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点 C1，E1，E2，C2，E3，E4，⋯ 在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60∘，B1C1∥B2C2∥B3C3∥⋯，则正方形 A2018B2018C2018D2018 的边长是 ．

五、解答题（共1小题；共13分）
30. 如图，△APB 中，AB=2，∠APB=90∘，在 AB 的同侧作正 △ABD 、正 △APE 和正 △BPC，求四边形 PCDE 面积的最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
2. D【解析】A、两边都加 2，不等号的方向不变，故A成立，
B、两边都乘 2，不等号的方向不变，故B成立；
C、两边都除以 −2，不等号的方向改变，故C不成立；
D、当 m>n>1 时，m2>n2 成立，当 03. C【解析】A、 3x24xy=3x4y，不符合题意；
B、 x−2x2−4=x−2x+2x−2=1x+2，不符合题意；
C、 x2+y2x+y 是最简分式，符合题意；
D、 2−xx2−4x+4=2−x2−x2=12−x，不符合题意．
4. C【解析】∵Rt△ABC 沿边 BC 所在的直线向右平移得到 △DEF，
∴∠DEF=∠ABC=90∘，BC=EF，S△ABC=S△DEF，
∴BC−EC=EF−EC，S△ABC−S△HEC=S△DEF−S△HEC，
∴BE=CF，S四边形ABEH=S四边形DHCF，
但不能得出 CE=CF．
5. D
6. B【解析】当 AB⊥CD 时，四边形 EFGH 是矩形，
理由：由题意可知，四边形 EFGH 是平行四边形．
∵AB⊥CD，GH∥AB，EH∥CD，
∴EH⊥GH，即 ∠EHG=90∘，
∴ 四边形 EFGH 是矩形．
7. A【解析】∵AB=AC，AD 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∵ 点 E 为 AC 的中点，
∴DE=CE=12AC=8．
∵△CDE 的周长为 26，
∴CD=10，
∴BC=2CD=20．
8. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，AD=BC=3，
∴∠AFD=∠BAF，∠ABE=∠BEC，
∵AF，BE 分别是 ∠DAB，∠CBA 的平分线，
∴∠DAF=∠BAF，∠CBE=∠ABE，
∴∠DAF=∠AFD，∠CBE=∠BEC，
∴AD=DF=3，CE=BC=3，
∴EF=DF+CE−CD=2．
9. D【解析】去分母得：3−x−m=x−4，
由分式方程有增根，得到 x−4=0，即 x=4，
把 x=4 代入整式方程得：3−4−m=0，解得：m=−1．
10. A
【解析】把 y=12 代入 y=x+32，得 12=x+32，
解得 x=−1．
结合题中所给图象可知：当 x>−1 时，x+32>kx−1，
∴ 关于 x 的不等式 x+32>kx−1 的解集为 x>−1，
用数轴表示如图所示：
11. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，BD=8，
∴BO=DO=4，∠BOC=90∘，
在 Rt△OBC 中，OC=BC2−OB2=52−42=3，
∴AC=2OC=6，
∴AE×BC=BO×AC，
故 5AE=24，
解得：AE=245．
12. C【解析】① ∵F 是 BC 的中点，
∴BF=FC，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，
∴BC=2AB=2CD，
∴BF=FC=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠FAD，
∴2∠BAF=∠BAD，
∵∠BAD=∠C，
∴2∠BAF=∠C，
故①正确；
②延长 EF，交 AB 延长线于 M，如图所示．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF=∠C，
∵F 为 BC 中点，
∴BF=CF，
在 △MBF 和 △ECF 中，
∠MBF=∠C,BF=CF,∠BFM=∠CFE,
∴△MBF≌△ECFASA，
∴FE=MF，∠CEF=∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90∘，
∴∠AEC=∠BAE=90∘，
∵FM=EF，
∴EF=AF，故②正确；
③ ∵EF=FM，
∴S△AEF=S△AFM，
∴S△ABF故③错误；
④设 ∠FEA=x，则 ∠FAE=x，
∴∠BAF=∠AFB=90∘−x，
∴∠EFA=180∘−2x，
∴∠EFB=90∘−x+180∘−2x=270∘−3x，
∵∠CEF=90∘−x，
∴∠BFE=3∠CEF，故④正确．
第二部分
13. yx+2x−2
14. x≠−3
15. 12
【解析】∵ 正多边形的一个内角等于 150∘，
∴ 它的外角是：180∘−150∘=30∘，
∴ 它的边数是：360∘÷30∘=12（条）．
16. 16
【解析】设购买篮球 x 个，则购买足球 50−x 个，
根据题意得：80x+5050−x≤3000，
解得：x≤503．
∵x 为整数，
∴x 最大值为 16．
17. 4
【解析】∵P 是 ∠AOB 平分线上的一点，∠AOB=60∘，
∴∠AOP=12∠AOB=30∘，
∵PD⊥OA，M 是 OP 的中点，DM=4 cm，
∴OP=2DM=8 cm，
∴PD=12OP=4 cm，
∵ 点 C 是 OB 上一个动点，
∴PC 的最小值为 P 到 OB 距离，
∴PC 的最小值 =PD=4 cm．
18. 1+3
【解析】连接 BBʹ，BCʹ 交 ABʹ 于 D，如图，
在 △ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=BC=2，
∴AB=2AC=2×2=2，
∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，
∴∠ACʹBʹ=∠ACB=90∘，ACʹ=AC=BʹCʹ=BC，AB=ABʹ=2，∠BABʹ=60∘，
∴BCʹ 垂直平分 ABʹ，△ABBʹ 为等边三角形，
∴CʹD=12ABʹ=1，BD=32ABʹ=3，
∴CʹB=CʹD+BD=1+3．
第三部分
19. 原式=x2x+2−x−2x+2x+2×x+2x−24=4x+2×x+2x−24=x−2.
当 x=5 时，
原式=5−2=3.
20. 解不等式
2x−12<1,
得
x<32.
解不等式
5x+2≥3x,
得
x≥−1.
所以不等式组的解集为 −1≤x<32．
将不等式组的解集表示在数轴上如图所示：
21. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，且 AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形．
22. 设特快列车的速度为 x 千米/时，则高铁的速度为 2.5x 千米/时，
根据题意得：
500x−5002.5x=3.
解得：
x=100.
经检验，x=100 是原分式方程的解，并且满足题意．
∴2.5x=2.5×100=250．
答：特快列车的速度为 100 千米/时，高铁的速度为 250 千米/时．
23. （1） C1 是等长点，C2 不是等长点．
理由：
∵A0,3，∠ABO=60∘，
∴OA=3，AB=OAsin∠ABO=332=2，OB=AB2−OA2=1，
∴B1,0．
∵C11,23，
∴AC1=12+23−32=2，
∴AC1=AB，
∴C1 是线段 AB 的“等长点”，
∵C20,23，
∴AC2=3，BC2=12+232=13，
∴AC2≠AB，BC2≠AB，
∴C2 不是线段 AB 的“等长点”．
（2） 如图，
在 Rt△AOB 中，AB=2，OB=1，
∴sin∠OAB=OBAB=12，
∴∠OAB=30∘．
分两种情况：
①当点 D 在 y 轴左侧时，
∵∠DAB=60∘，
∴∠DAO=∠DAB−∠BAO=30∘，
∵Dm,n 是线段 AB 的“等长点”，
∴AD=AB，
∴D−1,0，
∴m=−1，n=0；
②当点 D 在 y 轴右侧时，为 Dʹ，
∵∠DʹAB=60∘，
∴∠DʹAO=∠BAO+∠DʹAB=90∘，
∴ADʹ∥x 轴，
∴n=3，
∵Dʹm,n 是线段 AB 的“等长点”，
∴ADʹ=AB=2，
∴m=2．
综上所述，m=−1，n=0 或 m=2，n=3．
24. （1） 设购买甲种树苗 x 株，则购买乙种树苗 7000−x 株，由题意得
24x+307000−x=180000,
解得
x=5000,
则
7000−x=2000.
答：甲、乙两种树苗各购买 5000，2000 株．
（2） 设甲种树苗购买 x 株，
根据题意得
85%x+90%7000−x≥7000×88%,
解得
x≤2800.
则甲种树苗至多购买 2800 株．
（3） 设购买树苗的费用为 W 元．
根据题意得：W=24x+307000−x=−6x+210000，
∵k=−6<0，
∴W 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=2800 时，W 取得最小值，W最小=−6×2800+210000=193200．
答：当购买甲树苗 2800 株，乙树苗 4200 株时费用最低，最低为 193200 元．
25. （1） 由已知可得，BQ=DP=t cm，AP=CQ=4−tcm，
在矩形 ABCD 中，∠B=90∘，AD∥BC，
当 BQ=AP 时，四边形 ABQP 为矩形，
∴t=4−t，得 t=2．
故当 t=2 时，四边形 ABQP 为矩形．
（2） 由（1）可知，四边形 AQCP 为平行四边形，
∴ 当 AQ=CQ 时，四边形 AQCP 为菱形，
即 22+t2=4−t 时，四边形 AQCP 为菱形，解得 t=1.5，
故当 t=1.5 时，四边形 AQCP 为菱形．
26. （1） 由旋转得：∠PAPʹ=60∘，PA=PʹA，
∴△APPʹ 是等边三角形，
∴PPʹ=PA，
∵PC=PʹCʹ，
∴PA+PB+PC=BP+PPʹ+PʹCʹ．
（2） 满足：∠APB=∠APC=120∘ 时，PA+PB+PC 的值为最小；
理由是：如图 1，把 △APC 绕点 A 逆时针旋转 60 度得到 △APʹCʹ，连接 PPʹ，
由“问题的转化”可知：
当 B，P，Pʹ，Cʹ 在同一直线上时，PA+PB+PC 的值为最小，
∵∠APB=120∘，∠APPʹ=60∘，
∴∠APB+∠APPʹ=180∘，
∴B，P，Pʹ 在同一直线上，
由旋转得：∠APʹCʹ=∠APC=120∘，
∵∠APʹP=60∘，
∴∠APʹCʹ+∠APʹP=180∘，
∴P，Pʹ，Cʹ 在同一直线上，
∴B，P，Pʹ，Cʹ 在同一直线上，
∴ 此时 PA+PB+PC 的值为最小．
（3） 如图 2，
在 Rt△ACB 中，
∵AB=2，∠ABC=30∘，
∴AC=1，BC=3，
把 △BPC 绕点 B 逆时针旋转 60 度得到 △BPʹCʹ，连接 PPʹ，
当 A，P，Pʹ，Cʹ 在同一直线上时，PA+PB+PC 的值为最小，
由旋转得：BP=BPʹ，∠PBPʹ=60∘，PC=PʹCʹ，BC=BCʹ，
∴△BPPʹ 是等边三角形，
∴PPʹ=PB，
∵∠ABC=∠ABP+∠CBP=∠ABP+∠CʹBPʹ=30∘，
∴∠ABCʹ=90∘，
由勾股定理得：ACʹ=AB2+CʹB2=22+32=7，
∴PA+PB+PC=PA+PPʹ+PʹCʹ=ACʹ=7，
则点 P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为 7．
27. （1） BE=BF，
证明：
∵E，F 的速度相同，且同时运动，
∴AE=DF，
又 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB=4，
∵BD=4，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD 是等边三角形，
同理 △BDC 也是等边三角形，
∴∠A=∠BDC=60∘，
在 △ABE 和 △DBF 中，
AB=DB,∠A=∠BDF,AE=DF,
∴△ABE≌△DBFSAS，
∴BE=BF．
（2） 由（1）得：△ABE≌△DBF，
∴∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60∘，
∵BE=BF，
∴△BEF 是等边三角形，
∴EF=BE，
如图，
当动点 E 运动到 BE⊥AD，即 E 为 AD 的中点时，BE 的最小，此时 EF 最小，
∵AE=2，AB=4，
∴EF=BE=42−22=23，
∴EF 的最小值是 23，
在 △BEP 中，∠EBP=30∘，∠BEF=60∘，
∴∠BPE=90∘，
∴BP=232−32=3，
∴S△BEF=12EF⋅BP=12×23×3=33．
（3） 当点 E 运动到 DC 边上时，∠AMD 大小不发生变化，
理由：在 △BED 和 △DFC 中，
BD=DC,∠BDE=∠C=60∘,DE=CF,
∴△BED≌△DFCSAS，
∴∠BED=∠DFC，
∵∠BED+∠BEC=180∘，
∴∠BEC+∠DFC=180∘，
∵∠C=60∘，
∴∠FME=∠BMD=120∘，
∴∠BAD+∠BMD=60∘+120∘=180∘，
∴A，B，M，D 四点共圆，
∴∠AMD=∠ABD=60∘．
第四部分
28. −4 或 6 或 1
【解析】（1）x=−2 为原方程的增根，
此时有 2x+2+mx=3x−2，即 2×−2+2−2m=3×−2−2，
解得 m=6．
（2）x=2 为原方程的增根，
此时有 2x+2+mx=3x−2，即 2×2+2+2m=3×2−2，
解得 m=−4．
（3）方程两边都乘 x+2x−2，
得 2x+2+mx=3x−2，
化简得：m−1x=−10．
当 m=1 时，整式方程无解．
综上所述，当 m=−4 或 m=6 或 m=1 时，原方程无解．
29. 332017
【解析】∵ 正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60∘，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30∘，
∴D1E1=C1D1sin30∘=12，则 B2C2=B2E2cs30∘=331，
同理可得：B3C3=13=332，
故正方形 AnBnCnDn 的边长是：33n−1，
则正方形 A2018B2018C2018D2018 的边长为：332017．
第五部分
30. 如图，延长 EP 交 BC 于点 F，
因为 ∠APB=90∘，∠APE=∠BPC=60∘，
所以 ∠EPC=150∘，
所以 ∠CPF=180∘−150∘=30∘．
所以 PF 平分 ∠BPC，
又因为 PB=PC，
所以 PF⊥BC，
设 Rt△ABP 中，AP=a，BP=b，则 CF=12CP=12b，a2+b2=22=4，
因为 △APE 和 △ABD 都是等边三角形，
所以 AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60∘，
所以 ∠EAD=∠PAB，
在 △EAD 和 △PAB 中，
AE=AP,∠EAD=∠PAB,AD=AB.
所以 △EAD≌△PABSAS，
所以 ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCBSAS，
所以 EP=AP=CD，
所以四边形 PCDE 是平行四边形，
所以四边形 PCDE 的面积 =EP×CF=a×12b=12ab，
又因为 a−b2=a2−2ab+b2≥0，
所以 2ab≤a2+b2=4，
所以 12ab≤1，即四边形 PCDE 面积的最大值为 1．