专题15 新定义与创新型综合探究问题-2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

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2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘
专题15 新定义与创新型综合探究问题
【类型综述】
阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.
【方法揭秘】
阅读理解问题在中考中的常考点有新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型；图表信息问题在中考中的常考点有表格类信息题，函数图象信息题，图形语言信息题，统计图表信息题等。
解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有分析法，比较法等．
【典例分析】
例1 定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thi A的值；
（2）若thi A＝，则∠A＝ °；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．
思路点拨
(1) 根据已知找到BC和AB的关系，依据定义计算出答案即可；
(2) 过点B向AC所在直线作垂线，根据thi A＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°.
(3) 根据题意，由thiA＝, sinA＝, sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案．
满分解答
（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．

在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝ ，即AB＝BH．
∴thiA＝＝．
（2）60或120．
（3）在Rt△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
例2定义符号的含义为：当时, ；当时, ．如： ， ．
（1）求;
（2）已知, 求实数的取值范围;
（3）当时， ．直接写出实数的取值范围．
思路点拨
（1）比较x2-1与-2的大小，得到答案；
（2）把x2-2x+k化为（x-1）2+k-1的形式，确定k的取值范围；
（3）根据当-2≤x≤3时，y=x2-2x-15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可．
满分解答
（1）∵x2≥0，∴x2﹣1≥﹣1，∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，
（2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1，∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．
∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2，
（3）对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7，
当x=3时，y=﹣10，
由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的
交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，10），所以m的范围是：﹣3≤m≤7．
例3类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（）如图，四边形中， 平分， ．求证：四边形为等邻边四边形．
（）如图， 中， ， ， ，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离．
（）如图，在等邻边四边形中， ， ， 和为四边形对角线， 为等边三角形，试探究和的数量关系．

思路点拨
（1）由已知条件通过证△ABC≌△ADC可得结论；
（2）由已知易得：平移距离，由， ， ，易得．再分以下四种情况讨论计算即可：①时；②；③时；④时；
（3）如图，把△ABC绕点逆时针转到△ADC′处，连接CC′，通过证△ACC′∽△ABD及证△C′CD是等腰直角三角形即可求得AC与AB间的数量关系.
满分解答
（）∵平分，
∴，
∵， ，
∴≌，
∴， ，
∴是等邻边四边形．
（）由平移可知平移距离，
由， ， ，
∴由勾股定理可得： ．
①时，
∴．
②时，
∴．
③时，如图1，延长C′B′交AB于点H，设B′H=x，
则在Rt△BC′H中，有，
易得， （舍），
∴．
④时，如图1，
则在Rt△BC′H中，有，
易得， （舍），
∴，
∴综上，平移距离可为、、、；

（），理由如下：
将绕旋转至处，连接，
则由旋转的性质和已知可得：∠C′AC=∠DAB，AC′=AC，AD=AB，C′D=BC=DC，
由此可得： ，
∵，∠5=∠2，∠6=∠4，
∴∠1+∠5+∠3+∠6=90°，
∴∠ADC′+∠ADC=180°+180°-90°=270°，
∴∠C′DC=360°-270°=90°.
又∵C′D=BC=DC，
∴△C′DC是等腰直角三角形，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∴．

例4类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1） 概念理解：
如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．
（2） 问题探究：
如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结、．小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？
（3） 应用拓展：
如图3，“等邻边四边形”中，，，、为对角线，．试探究、、的数量关系．

思路点拨
（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
满分解答
解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；

（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，

∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．
例5定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O．[来源:ZXXK]
（1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，），且∠AOB=30°，求OM的长．

思路点拨
（1）由题意可知，“距离坐标”为（1，0）点在直线CD上，所以到直线AB的距离为1的在直线CD上的点有2个；
（2）如图1，过M作MN⊥AB于N,由已知条件可知，∠MON=30°，利用直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，可直接写出p，q的关系式为；
（3）如图2，分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM，可得△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD，过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，由已知条件，可求出FG与EG的长，然后根据勾股定理即可求出EF的长，即OM的长即可．

满分解答
（1）2；
（2）如图1，过M作MN⊥AB于N,
∵直线l⊥CD于O，∠BOD=120°，
∴∠MON=30°．
∵ON=p，OM=q，
∴
（3）如图2，分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM，
∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．
∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，
OM=OE=OF．
∴∠EOF=60°．
∴OM=OE=OF=EF．
∵MD=1，MC=，
∴MF=2，ME=．
∵∠AOB=30°，
∴∠CMD=150°．
过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，
∴∠FMG=30°．
在Rt△FMG中，FG=1，MG=．
在Rt△EFG中，FG=1，EG=．
∴EF2=，
∴EF=．
∴OM=．

考点：一次函数综合题．

【变式训练】
1．定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】C
【解析】试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
2．定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【解析】根据题意可得，又因为a，b是方程的两根，所以，化简得，同理，，代入上式可得，故选A．
3．对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（ ）
A． B． C． D．[来源:Zxxk.Com]
【答案】D
【解析】试题分析：根据变换的计算法则可得：(1，-1)=(0，2)，(1，-1)= (2，-2)，(1，-1)= (0，4)，(1，-1)= (4，-4)，(1，-1)= (0，8)，(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出=.
点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案.
4．将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据定义列出方程得x的值即可.
【详解】
根据定义 =6
整理得：=2，
所以=3=6
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义列出方程是解本题的关键．
5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（　　）

A．或 B．0或2 C．1或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，则x2=1；当0≤x<1时，则x2=0，当-2≤x＜-1时，则x2=-2，然后分别解关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：当1≤x＜2时，x2=1，解得x1=-，x2=；
当x=0，时，x2=0，x=0；
当-1≤x＜0时，x2=-1，方程没有实数解；
当-2≤x＜-1时，x2=-2，方程没有实数解；
所以方程[x]=x2的解为0或．
故正确选项为：A
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较．
6．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a≤b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4，则min{﹣x2+2，﹣x}的最大值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】【分析】在同一坐标系xOy中，画出二次函数y=-x2+2与正比例函数y=-x的图象，设它们交于点A、B．结合函数图象进行分析即可.
【详解】在同一坐标系xOy中，画出二次函数y=-x2+2与正比例函数y=-x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令-x2+2=-x，即x2-x-2=0，解得：x1=2,x2=-1，
∴A（-1，1），B（2，-2）
观察图象可知：
①当x≤-1时，min{-x2+2，-x}=-x2+2，函数值随x的增大而增大，其最大值为1；
②当-1＜x<2时，min{-x2+2，-x}=-x，函数值随x的增大而减小，没有最大值；
③当x≥2时，min{-x2+2，-x}=-x2+2，函数值随x的增大而减小，最大值为-2．
综上所示，min{-x2+2，-x}的最大值是-1.

故选：C
【点睛】本题考核知识点：函数与不等式综合. 解题关键点：画图，数形结合进行分析.
7．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）
A．1 B．4 C．2018 D．42018
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【详解】
若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：，
第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：=1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A．
8．对于实数x，y，定义一种运算“×”如下，x×y＝ax－by2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－2)×()2＝________；
【答案】130
【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出a与b的值，即可确定出原式的值．
【详解】根据题中的新定义得：

解得 ,
所以，
=
=130
故答案为：130
【点睛】本题考核知识点：实数运算. 解题关键点：理解新定义运算规则，根据法则列出方程组，解出a,b的值，再次应用规则，求出式子的值.
9．对于实数，，定义运算“﹡”：﹡．例如﹡，因为，所以﹡．若，是一元二次方程的两个根，则﹡________．
【答案】或
【解析】
【分析】
先解方程求出方程的两个根，再利用题目中规定的运算规则，分类代入求值即可
【详解】
∵x 1 ，x 2 是一元二次方程x 2 -5x+6=0的两个根，
∴（x-3）（x-2）=0，
解得：x=3或2，
①当x 1 =3，x 2 =2时，x 1 ﹡x2 =3 2 -3×2=3；
②当x 1 =2，x 2 =3时，x 1 ﹡x 2 =3×2-3 2 =-3．
故答案为：3或-3．
10．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，
即：当为非负整数时，如果，则．
如：，，，
试解决下列问题：[来源:Zxxk.Com]
①__________；②__________；
③
__________．
【答案】 2 3
【解析】1、；
2、根据题意，先推导出等于什么，
（1）∵，
∴，
（2）再比较与的大小关系，
①当n=0时，；
②当为正整数时，∵ ，
∴，
∴，
综合（1）、（2）可得：，
∴，
∴．
3、∵，
∴



．
故答案为（1）2；（2）3；（3）.
11．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=－1，－1的差倒数是=．已知a1=－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，，以此类推，则a2016=____________ ．
【答案】3
【解析】a1=- ， a2= = ，a3= =3，
a4= = ，a5= = ，a6= =3，
……
∵2016÷3=672，∴a2016=a3=3.
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过计算，从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，本题通过计算发现结果有规律可循，三个一循环，由此可得.
12．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b﹣1）2=0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|=|a﹣b|．
①线段AB的长|AB|=3；
②设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|=2时，x=0.5；
③若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时|PM|+|PN|的值不变；
④在③的条件下，|PN|﹣|PM|的值不变．
以上①②③④结论中正确的是_______（填上所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】【分析】（1）根据非负数的和为0，各项都为0；
（2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；
（3）(4)利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．
【详解】
（1）∵|a+2|+（b-1）2=0，
∴a=-2，b=1，
∴AB=|a-b|=3，即线段AB的长度为3．
（2）当P在点A左侧时，
|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-3≠2．
当P在点B右侧时，
|PA|-|PB|=|AB|=3≠2．
∴上述两种情况的点P不存在．
当P在A、B之间时，-2≤x≤1，
∵|PA|=|x+2|=x+2，|PB|=|x-1|=1-x，
∴由|PA|-|PB|=2，得x+2-（1-x）=2．
∴解得：x=0.5；
（3）由已知可得出：PM=PA，PN=PB，
|PM|+|PN|= （PA+PB）= PA+AB
所以，|PM|+|PN|的值随P的位置变化而变化.
(4) 在（3）条件下，|PN|﹣|PM|=PB-PA=（PB-PA）=AB=
综合上述，①②④说法正确.
故答案为：①②④.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
13．阅读材料：
①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（P，l）；
②两条平行线，，直线上任意一点到直线的距离，叫做这两条平行线，之间的距离，记作d（，）；
③若直线，相交，则定义d（，）=0；
④若直线，重合，我们定义d（，）=0，
对于两点，和两条直线，，定义两点，的“，相关距离”如下：
d（，|，）=d（，）+d（，）+d（，）
设（4，0），（0，3），：y=x，：y=，：y=kx，解决以下问题：
（1）d（，|，）= ；
（2）①若k＞0，则当d（，|，）最大时，k= ；
②若k＜0，试确定k的值，使得d（，|，）最大，请说明理由．

【答案】(1)；(2)①；②.
【解析】
试题分析：（1）首先分别求出d（，）、d（，）、d（，）的值各是多少，再把它们求和，求出d（，|，）的值是多少；然后分别求出d（，）、d（，）、d（，）的值各是多少，再把它们求和，求出d（，|，）的值是多少即可．
（2）①首先作A⊥于点A，B⊥于点B，连接 交于点C，然后根据A+B≤ ，可得当 ⊥时，A+B的值最大，据此求出k的值是多少即可．
②首先作A⊥于点A，B⊥于点B，、关于原点对称，C⊥于点C， 交于点D，然后根据B+C≤ ，可得当 ⊥时，B+C取到最大值，据此求出k的值是多少即可．
试题解析：（1）∵（4，0），（0，3），：y=x，：y=，
∴d（，|，）=d（，）+d（，）+d（，）==；
∴d（，|，）= d（，）+d（，）+d（，）==.
故答案为：；
（2）①如图1，作A⊥于点A，B⊥于点B，连接 交于点C，
d（，|，）=d（，）+d（，）+d（，）=A+B，
∵A≤C，B≤C，
∴A+B≤ ，
∴当 ⊥时，
A+B的最大值是：=5，
此时k=tan∠O ==，
∴若k＞0，当d（，|，）最大时，k=．
故答案为：；

②如图2，作A⊥于点A，B⊥于点B，、关于原点对称，C⊥于点C， 交于点D，
∵、关于原点对称，
∴A=C，
∴d（，|，）=d（，）+d（，）+d（，）=A+B=B+C，
∵B≤D，C≤D，
∴B+C≤ ，
∴当 ⊥时，
B+C的最大值是：==5，
此时k=﹣tan∠O ==，
∴若k＜0，当d（，|，）最大时，k=．

考点：一次函数综合题．
14．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)can30°＝________；
(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．

【答案】（1）；（2）18.
【解析】
试题分析：（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得出BD=AB，结合等腰三角形的性质可得出BC=AB，继而得出canB；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据canB=，设BC=8x，AB=5x，再由S△ABC=24，可得出x的值，继而求出周长．
试题解析：解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，∴cos∠B==，∴BD=AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=AB，故can30°==；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵canB=，则可设BC=8x，AB=5x，∴AE==3x，∵S△ABC=24，∴BC×AE=12x2=24，解得：x=，故AB=AC=，BC=，从而可得△ABC的周长为．

点睛：本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，表示出各个边的长度．
15．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．
定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．
例如：因为，所以；因为，所以．
根据“对数”运算的定义，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）如果，求m的值．
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
【答案】（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.
【解析】试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log66=1，log381=4；
（2）根据定义知m﹣2=23，解之可得；
（3）设ax=M，ay=N，则logaM=x、logaN=y，根据ax•ay=ax+y知ax+y=M•N，继而得logaMN=x+y，据此即可得证．
试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log66=1，log381=4．故答案为：1，4；
（2）∵log2（m﹣2）=3，∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．∵ax•ay=，∴=M•N，∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN．
点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．
16．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，
∴∠ADC=360°﹣3∠A．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．
∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形
17．在平面坐标坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为．
已知点，点，点．
（）点的变换点的坐标是__________．
点的变换点为，连接，，则__________．
（）点的变换点为，随着的变化，点会运动起来，请在备用图（）中画出点的运动路径．
（）若是等腰三角形，请直接写出此时的值：__________．

【答案】（）；．（）点的运动路径见解析．（）见解析．
【解析】
试题分析：
（1）①按照变换点的定义写出A′的坐标即可；②按照变换点的定义根据点B的坐标写出点B′的坐标，如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′E⊥x轴于点E，则由已知易证△BDO≌△OEB′，从而可证得∠BOD=∠OB′E，结合∠OB′E+∠EOB′=90°，即可证得∠BOB′=90°；
（2）①由变换点的定义可得，当n<2时，点C（2，n）的变换点的坐标是（-2，n）；②当时，点C（2，n）的变换点的坐标是（-n，2），由此即可画出点C的运动路线；
（3）由题意可知：，，连接，以为圆心，长度为半径作圆，交点的运动路径于点；以为圆心，长为半径作圆，交点的运动路径于点，；作线段的垂直平分线，交点的运动路径于点，；如图所示，，，，，均为所求点的位置，再根据已知条件计算出对应的n的值即可.
试题解析：
（）∵，，
∴，
∵，，
∴，．

（）点的运动路径如图所示：

（）如图：，，连接，
以为圆心，长度为半径作圆，交点的运动路径于点，
以为圆心，长为半径作圆，交点的运动路径于点，，
作线段的垂直平分线，交点的运动路径于点，，
如图所示，，，，，均为所求点的位置，

∵，，∴，
∵为等腰直角三角形，∴，
∴，，
∵，∴，
∵，，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，∴．
综上所述，的值是，，，，．
点睛：解本题第3小题时，关键是分A′B是等腰△A′BC′的腰和底两种情况通过画图找到所有符合条件的C′点，然后再根据已知条件求出对应的n的值即可.
18．对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为、和，若、、满足，我们定义这个三角形为美好三角形．
（1）△中，若， ，则△ （填“是”或“不是” ）美好三角形；[来源:]
（2）如图，锐角△是⊙O的内接三角形， ， ， ⊙O的直径是， 求证：△是美好三角形;
（3）当△ABC是美好三角形，且，则∠C为 .

【答案】（1）不是；（2）证明见解析；（3）∠C=78°或72°.
【解析】（1）不是
（2）连接OA、OC[来源:Z.xx.k.Com]

∵AC=4,OA=OC= 2
∴△OAC是直角三角形，即∠AOC=90°
∴∠B=45°
∵∠C=60°
∴∠A=75°
∵ 即三个内角满足752=452+ 602 关系
∴△ 是美好三角形
(3)∠C=78°或72°
19.平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．
（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．
①当a=1、d=﹣1时，求k的值；
②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；
（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）①-3；②d＞﹣4；（2）AB∥x轴，理由见解析；（3）线段CD的长随m的值的变化而变化．
当8﹣2m=0时，m=4时，CD=|8﹣2m|=0，即点C与点D重合；当m＞4时，CD=2m﹣8；当m＜4时，CD=8﹣2m．
试题分析：（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），结合已知条件2a﹣m=d，可求得d的取值范围；（2）由d=﹣4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m﹣8），于是可得到CD与m的关系式．

②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），
∴当x=a时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当x=a+2时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），
∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，
∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，
又∵2a﹣m=d，∴d的取值范围为d＞﹣4．
（2）∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，∴m=2a+4．
∴二次函数的关系式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．
把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．
∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．
∵点A、点B的纵坐标相同，∴AB∥x轴．
（3）线段CD的长随m的值的变化而变化．
∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m过点A、点B，
∴当x=a时，y=﹣a2+（m﹣2）a+2m，当x=a+2时，y=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m，

考点：二次函数综合题；阅读理解问题。
20.如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5
【解析】
试题分析：（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；
（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r.

∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四点共圆，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；


设CE=3x，AC=x，
由（1）可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，
x=，
∴BE=CE=3，AC=，
∴AE=AC+CE=4，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，
∴AB=5，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB2=2r2，
∴r=5，
∴⊙O半径的长为5．

考点：圆的综合问题；勾股定理；阅读理解问题