初中数学22.1.1 二次函数课后测评

这是一份初中数学22.1.1 二次函数课后测评，文件包含专题227与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型同步练习原卷版docx、专题227与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型同步练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

【题型1 根据条件确定二次函数的图象】
【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．
【解答过程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=-b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=-22a=-1a＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．
【解答过程】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴直线x=-22a=-1a＜0，
∴对称轴在y轴的左侧，
由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
故选：D．
【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．
【解答过程】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，
当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；
当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；
故选：C．
【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，-12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】当y＞0时，-12＜x＜13，所以可判断a＜0，可知-ba=-12+13=-16，ca=-12×13=-16，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．
【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，-12＜x＜13
所以可判断a＜0，可知-ba=-12+13=-16，ca=-12×13=-16
所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1
则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6
即y＝（x﹣2）（x+3）
则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），
故选：A．
【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】
【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数图象与y轴的交点，可得m＞0，根据二次函数图象当x＝a时，y＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根据一次函数的性质，可得答案．
【解答过程】解：把x＝a代入函数y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，
∵x＝a时，y＜0，即 a（a﹣1）+m＜0．
由图象交y轴的正半轴于点C，得m＞0，
即a（a﹣1）＜0．
x＝a时，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，
∴一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象过一二四象限，
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c的图象，本题得以解决．
【解答过程】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，
a＞0，b＜0，c＞0，
∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=-b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答过程】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=-b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象交点位置，即可判断函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴在交点的位置．
【解答过程】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象的交点在第二象限，
∴两个交点的横坐标都是负数，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，
故选：D．
【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】
【例3】已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=-b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答过程】解：观察函数图象可知：ba＜0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=-b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=-b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（-b2a，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x=-b2a，直线经过点（-b2a，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x=-b2a，直线经过点（-b2a，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x=-b2a，直线经过点（-b2a，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|＞|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝ax2﹣bx与一次函数y2＝ax﹣b的大致图象不大可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣bx与一次函数y＝ax﹣b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【解答过程】解：y=ax2-bxy=ax-b解得x=bay=0或x=1y=a-b．
故二次函数y＝ax2﹣bx与一次函数y＝ax﹣b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（ba，0）或点（1，a﹣b）．
在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，ba＜0，a﹣b＞0，故选项A有可能；
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，ba＞0，由|b|＞|a|，a﹣b＜0，故选项B不可能；
在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，ba＞0，由|b|＞|a|，a﹣b＞0，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，ba＜0，a﹣b＜0，故选项D有可能；
故选：B．
【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据y＝﹣ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y＝ax2+bx+2b的图象即可作出判断．
【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，
故A错误；
B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，
故B错误；
C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，
故C错误；
D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，
故D正确；
故选：D．
【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】
【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3
【解题思路】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
【解题思路】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【解答过程】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7
【解题思路】由对称轴公式得直线x=-b2a=2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用不等式的性质可得结果．
【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴-b2a=2，
b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），
∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
（x﹣7)(x+3)＝0（结合图象，可得﹣3＜x＜7），
∴x1＝7，x2＝﹣3，
∴﹣3＜x＜7，
故选：C．
【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4
B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4
C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2
D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4
【解题思路】联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，进而求解．
【解答过程】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，
由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，
而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，
故选：D．
【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】
【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3
【解题思路】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，所以把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．
【解答过程】解：
∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，
∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，
﹣9+6+k＝0，解得k＝3，
∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0，
∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．
故选：B．
【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解题思路】根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．
【解答过程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，
令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），
∴y1与y2有两个交点，
∴2﹣m＜2，
∴m＞0
∵m是整数，
∴m＝1，
故选：C．
【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n（m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（ ）
A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2
【解题思路】结合函数图象得到两函数图象的交点的横坐标，则当x＝﹣1或x＝2时，两函数的函数值相等，从而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．
【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n（m≠0）的图象的交点A、B的横坐标分别为﹣1，2，
∴当x＝﹣1或x＝2时，ax2+bx+c＝mx+n，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣1，x2＝2．
故选：C．
【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解题思路】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
【解答过程】解：①∵对称轴为直线x=-b2a=1，
则：2a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（4，0），则与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故②正确；
③将抛物线y1=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜4时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，
则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
即y1＝y2，
∴x1、x2关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x=-b2a=1，
故12（x1+x2）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】
【例6】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②a+c＞b；
③4a+c＞0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解题思路】该函数开口方向向上，则a＞0，由对称轴可知，b＝﹣2a＜0，与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可．
【解答过程】解：∵函数开口方向向上，a＞0，
∵对称轴为x＝1，则-b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；
对称轴为x＝1，则-b2a=1，即b＝﹣2a，
由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，
∴4a+c＞a＞0，故③正确；
由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，
∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．
综上，正确的个数有三个．
故选：B．
【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：
小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（ ）
A．100分B．70分C．40分D．10分
【解题思路】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答过程】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-2，
∴4a﹣b＝0，所以②正确；
∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；
由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；
∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，
∴小涛得到了70分，
故选：B．
【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；
④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-b2a=2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由ax12+bx1＝ax22+bx2得出x1，x2关于对称轴x＝2对称，则可对④进行判断．
【解答过程】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＞0，所以①不正确；
②∵顶点M（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=2，
∴4a+b＝0，所以②不正确；
③∵抛物线的顶点M的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵4a+b＝0，
∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，
∵关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，
得ct＞0，
∵c＞0，
∴t＞0，所以③正确；
④∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∵当x＝x1与x＝x2时，y值相同，
∴x1，x2关于对称轴x＝2对称，
则x1+x22=2，即x1+x2＝4，所以④正确．
故选：B．
【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解题思路】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，所以①结论错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴-b2a=-2，4ac-b24a=-9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则x1+x22=-2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则x3+x42=-2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，
故选：A．
【题型7 由几何动点问题确定函数图象】
【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分点Q在线段AD上，点Q在线段CD上，点Q在线段BC上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．
【解答过程】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，
∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CFA＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DC＝EF＝3，
∵AD＝5，DE＝4，
∴AE=AD2-DE2=25-16=3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FCB＝∠ABC＝45°，
∴CF＝BF＝4，
∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，
当点Q在线段AD上时，则0≤x≤3，y=12×x×43x=23x2，
当点Q在线段CD上时，则3＜x≤6，y=12×x×4＝2x，
当点Q在线段BC上，则6＜x≤10，
如图，
∵AP＝t，AB＝10，
∴BP＝10﹣t，
∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，
∴PQ＝PB＝10﹣x，
∴y=12×x×（10﹣x）=-12x2+5x，
故选：B．
【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
【解答过程】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥AB交AB于点E，
则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，
∴BP＝5﹣x，QE=22x，
∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×(5-x)×22x=-24x2+524x（0＜x≤5），
∴此时图象为抛物线开口方向向下；
（2）点P在BC上运动时，5＜x≤52，如右图，
∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作QE⊥BC交BC于点E，
则有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，
∴BP＝x﹣5，QE=22x，
∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×（x﹣5）×22x=24x2-524x（5＜x≤52），
∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：B．
【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝22，
∴△ABC的底边AB边上的高为：AC•sin45°=22×22=2．
①当0＜x≤2时，y=12x2，
故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线，可排除选项A、D；
②当2＜x≤4时，
FB＝x﹣2，AE＝4﹣x，
∴y=12×(22)2-12(x-2)2-12(4-x)2=-x2+6x﹣6，
故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线，可排除选项B；
③当4＜x＜6时，y=12(6-x)2，
故第二段函数图象为开口方向向上的抛物线，故选项C符合题意．
故选：C．
【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF＝1，正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【解答过程】解：①当0≤x≤1时，如图1，
设平移后的正方形交直线a于点G、H，
则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x，
则y＝S△HGC=12×EC•GH=12•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线；
②当1＜x≤2时，如图2，
设平移后的正方形交b于点M、N交a于点GH，
则△A′GH、△MNC′均为等腰直角三角形，
则y＝S正方形ABCD﹣（S△A′GH+S△MNC′）＝（2）2-12[（2﹣x）（2﹣x）×2﹣2×（x﹣1）（x﹣1）]＝﹣2x2+6x﹣3；
该函数为开口向下的抛物线；
③当2＜x≤3时，
同理可得：y＝（3﹣x）×2（3﹣x）×12=x2﹣6x+9，
该函数为开口向上的抛物线；
故选：B．
【题型8 由动点问题的函数图象获取信息】
【例8】（2021春•西城区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A．245B．165C．125D．36
【解题思路】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段AP的长为y，依次解出AB＝x＝6，即点M的横坐标，AD＝AP＝y＝8，即点N的纵坐标，解出BE＝25，▱ABCD的面积＝AD×BE＝8×25=165．
【解答过程】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，8），
当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝8，BE⊥AD，
解得AE＝4，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝4，
BE²+AE²＝AB²，
解得BE＝25，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝8×25=165，
故选：B．
【变式8-1】（2021•花都区三模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A．73B．63+3C．83D．33+6
【解题思路】从图2知，a是y＝PE+PC的最小值，从图1作辅助线知a＝CE2≤CE1＜PE1+PC＝PE+PC；接下来求出a＝CE2＝33，设CE2与BD交于点P2，则求出P2B＝23，BD＝63，最后得b＝P2D＝43，所以a+b＝33+43=73，选A．
【解答过程】解：如下图，在AB边上取点E1，使得BE和BE1关于BD对称，
连接PE1，得PC+PE＝PC+PE1，
连接CE1，作CE2⊥AB，垂足为E2，
由三角形三边关系和垂线段最短知，
PE+PC＝PE1+PC≤CE1≤CE2，
即PE+PC有最小值CE2，
菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，
在Rt△BE2C中，∠E2BC＝60°，
解得CE2＝33，
∵H（a，b）是图象上的最低点
∴b＝y＝PE+PC＝CE2＝33，
此时令CE2与BD交于点P2，
由于BE2＝3，在Rt△BP2E2中，
BP2＝23，又BD＝63，
∴P2D＝43，
又PD的长度为x，图2中H（a，b）是图象上的最低点，
∴a＝P2D＝43，
又b＝33，
∴a+b＝73，
故选：A．
【变式8-2】（2021春•郑州期末）如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（ ）
A．32cm2B．34cm2C．36cm2D．38cm2
【解题思路】由图②可知当x＝12时，点Q到达点C，点P在D、E之间，y＝a=12×BC×AB=12×12×6＝36，即可求解．
【解答过程】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
由三角形面积公式得：y=12×10×AB＝30，
解得AB＝6，
∴AE=BE2-AB2=102-62=8，
由图②可知当x＝12时，点Q到达点C，点P在D、E之间，
∴BC＝12，
∴y＝a=12×BC×AB=12×12×6＝36，
故选：C．
【变式8-3】（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1；利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答过程】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则BA＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即：t2+t﹣12＝0，
∴（t+4）（t﹣3）＝0，
由于t＞0，
∴t+4＞0，
∴t﹣3＝0，
∴t＝3．
∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．
故选：C．
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；