中考数学复习1：实数

这是一份中考数学复习1：实数，共20页。

知识元
有理数
知识讲解
实数的分类及数轴表示
1.按实数的定义分类：
2.按实数的正负分类：
注：正确理解实数的分类，明确同一个数的多重身份的选择.
3.数轴上的点与实数是一一对应的
（1）数轴上的数从左到右逐渐增大；
（2）在原点的左侧，数轴上的数都是负数；在原点的右侧，数轴上的数都是正数.
注：根据数轴上的数的特点可以进行数的大小的比较.
4.实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为，就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0，并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
（4）实数的倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
实数基本概念的认识及应用
1.数轴、相反数、倒数、绝对值的认识及应用
(1)相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．
(2)互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数．
(3)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应．
①数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
②数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
③用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
(4)绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作．表示x与a的距离．
注：数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
2.科学记数法与有效数字
(1)科学记数法：把一个绝对值大于10（或者小于1）的实数表示成的形式（其中，是整数），此种记法叫做科学记数法．
(2)有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．
3.平方根、算术平方根、立方根
(1)平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．也就是说，若，则就叫做的平方根．一个非负数的平方根可用符号表示为“”． 一个正数有两个互为相反数的平方根．
(2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，可用符号表示为“”，0的算术平方根是0；
(3)立方根：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根，也就是说，若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表示为“”．
注意：．
4.初中阶段有三种类型的非负数
(1)绝对值；
(2)偶次方；
(3)偶次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
实数的运算
1.实数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
2.实数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3.实数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．
4.实数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0．
5.实数的混合运算法则：先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．
6.实数的运算律：
加法交换律：(a，b为任意实数)
加法结合律：(a，b，c为任意实数)
乘法交换律：(a，b为任意实数)
乘法结合律：(a, b为任意实数)
乘法分配律：(a,b,c表示任意实数)
7.数字规律推导常用的方法
(1)一些基本数字数列
①自然数列：1、2、3、4……n
②奇数列：1、3、5、7……
③偶数列：2、4、6、8……2n
④平方数列：1、4、9、16……n2
⑤2的乘方数列：2、4、8、16……2n
⑥符号性质数列：
、1、、1……
1、、1、……或
(2)数字数列的变形
①数列的平移：有些数列里，每个数并不直接与它们的序列号形成基本的数字数列关系；比如下面的数列，是2的乘方数列变形而成的．
如：1、2、4、8、16……2n-1 数列中的每个数往右平移了一位，指数n就变成了
②考虑符号性质的数列：有些数列本身就是基本数字数列，但必须考虑符号性质，
如：1、、9、…… 很明显，是自然数的平方数列和符号性质数列的综合
③基本数字数列的拓展：有些数列只是改变了基本数字数列的某个部分，
如：5、25、125、625……5n 这个数列，只是2的乘方数列的拓展；
④综合数列：有些数列看起来很复杂，其实只是多个基本数列的综合，
如：，，，……
(3)特殊数列
①等差数列：数列中的每一个数减去它前面的数的差相等的数列叫等差数列．
②等比数列：数列中的每一个数除以它前面的数的商相等的数列叫等比数列．
(4)在计算中找规律：
如；；……
(5)循环类规律：
如1、4、7、1、4、7……
例题精讲
有理数
例1.
（2019∙舟山）-2019的相反数是（ ）
【答案】A
【解析】
题干解析:
因为a的相反数是-a，
所以-2019的相反数是2019。
例2.
（2019∙益阳）-6的倒数是（ ）
【答案】A
【解析】
题干解析:
-6的倒数是。
例3.
（2019∙哈尔滨）-9的相反数是（ ）
【答案】C
【解析】
题干解析:
-9的相反数是9，
例4.
（2019∙常德）数轴上表示-3的点到原点的距离是___．
【答案】
3
【解析】
题干解析:在数轴上表示-3的点与原点的距离是|-3|=3．
例5.
（2019∙哈尔滨）将数6260000用科学记数法表示为__________．
【答案】
6.26×106
【解析】
题干解析:6260000用科学记数法可表示为6.26×106，
例6.
（2019∙南京）-2的相反数是___；的倒数是___．
【答案】
2，2
【解析】
题干解析:-2的相反数是2；的倒数是2，
例7.
（2019∙河北）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2-6-9；
（2）若1÷2×6□9=-6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12；（2）∵1÷2×6□9=-6，∴16□9=-6，∴3□9=-6，∴□内的符号是“-”；（3）这个最小数是-20，理由：∵在“1□2□6-9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1-2×6=-11，∴1□2□6-9的最小值是-11-9=-20，∴这个最小数是-20。
例8.
（2019∙重庆）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数-“纯数”。
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由：当n=2019时，n+1=2020，n+2=2021，∵个位是9+0+1=10，需要进位，∴2019不是“纯数”；当n=2020时，n+1=2021，n+2=2022，∵个位是0+1+2=3，不需要进位，十位是2+2+2=6，不需要进位，百位为0+0+0=0，不需要进位，千位为2+2+2=6，不需要进位，∴2020是“纯数”；（2）由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，当这个数是三位自然数时，只能是100，由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1=13，即不大于100的“纯数”的有13个。
例9.
（2018∙恩施州）-8的倒数是（ ）
【答案】C
【解析】
题干解析:
根据倒数的定义得：-8×（）=1，
因此-8的倒数是。
例10.
（2018∙杭州）|-3|=（ ）
【答案】A
【解析】
题干解析:
|-3|=3。
无理数与实数
知识讲解
实数的分类及数轴表示
1.按实数的定义分类：
2.按实数的正负分类：
注：正确理解实数的分类，明确同一个数的多重身份的选择.
3.数轴上的点与实数是一一对应的
（1）数轴上的数从左到右逐渐增大；
（2）在原点的左侧，数轴上的数都是负数；在原点的右侧，数轴上的数都是正数.
注：根据数轴上的数的特点可以进行数的大小的比较.
4.实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为，就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0，并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
（4）实数的倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
实数基本概念的认识及应用
1.数轴、相反数、倒数、绝对值的认识及应用
(1)相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．
(2)互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数．
(3)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应．
①数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
②数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
③用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
(4)绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作．表示x与a的距离．
注：数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
2.科学记数法与有效数字
(1)科学记数法：把一个绝对值大于10（或者小于1）的实数表示成的形式（其中，是整数），此种记法叫做科学记数法．
(2)有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．
3.平方根、算术平方根、立方根
(1)平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．也就是说，若，则就叫做的平方根．一个非负数的平方根可用符号表示为“”． 一个正数有两个互为相反数的平方根．
(2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，可用符号表示为“”，0的算术平方根是0；
(3)立方根：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根，也就是说，若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表示为“”．
注意：．
4.初中阶段有三种类型的非负数
(1)绝对值；
(2)偶次方；
(3)偶次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
实数的运算
1.实数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
2.实数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3.实数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0．
4.实数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0．
5.实数的混合运算法则：先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．
6.实数的运算律：
加法交换律：(a，b为任意实数)
加法结合律：(a，b，c为任意实数)
乘法交换律：(a，b为任意实数)
乘法结合律：(a, b为任意实数)
乘法分配律：(a,b,c表示任意实数)
7.数字规律推导常用的方法
(1)一些基本数字数列
①自然数列：1、2、3、4……n
②奇数列：1、3、5、7……
③偶数列：2、4、6、8……2n
④平方数列：1、4、9、16……n2
⑤2的乘方数列：2、4、8、16……2n
⑥符号性质数列：
、1、、1……
1、、1、……或
(2)数字数列的变形
①数列的平移：有些数列里，每个数并不直接与它们的序列号形成基本的数字数列关系；比如下面的数列，是2的乘方数列变形而成的．
如：1、2、4、8、16……2n-1 数列中的每个数往右平移了一位，指数n就变成了
②考虑符号性质的数列：有些数列本身就是基本数字数列，但必须考虑符号性质，
如：1、、9、…… 很明显，是自然数的平方数列和符号性质数列的综合
③基本数字数列的拓展：有些数列只是改变了基本数字数列的某个部分，
如：5、25、125、625……5n 这个数列，只是2的乘方数列的拓展；
④综合数列：有些数列看起来很复杂，其实只是多个基本数列的综合，
如：，，，……
(3)特殊数列
①等差数列：数列中的每一个数减去它前面的数的差相等的数列叫等差数列．
②等比数列：数列中的每一个数除以它前面的数的商相等的数列叫等比数列．
(4)在计算中找规律：
如；；……
(5)循环类规律：
如1、4、7、1、4、7……
例题精讲
无理数与实数
例1.
（2019∙宿迁）计算：（）-1-（π-1）0+|1-|．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=2-1+-1=。
例2.
（2019∙岳阳）计算：（-1）0-2sin30°+（）-1+（-1）2019
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=1-2×+3-1=1-1+3-1=2。
例3.
（2019∙遂宁）计算：（-1）2019+（-2）-2+（3.14-π）0-4cs30°+|2-|
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=-1++1-4×+2-2=-1++1-2+2-2=-。
例4.
（2019∙辽阳）6-的整数部分是___．
【答案】
4
【解析】
题干解析:∵1<<2，∴6-的整数部分是6-2=4．
例5.
（2019∙宁夏）计算：（-）-1+|2-|=____．
【答案】
-；
【解析】
题干解析:（-）-1+|2-|=-2+2-=-；
例6.
（2019∙咸宁）计算：（）0-1=___．
【答案】
0
【解析】
题干解析:原式=1-1=0．
例7.
（2019∙镇江）27的立方根为___．
【答案】
3
【解析】
题干解析:∵33=27，∴27的立方根是3，
例8.
（2019∙桂林）9的平方根是（ ）
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵（±3）2=9，
∴9的平方根为：±3。
例9.
（2019∙烟台）-8的立方根是（ ）
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵-2的立方等于-8，
∴-8的立方根等于-2。
例10.
（2018∙辽阳）在实数-2，3，0，-中，最大的数是（ ）
【答案】B
【解析】
题干解析:
-2<-<0<3，
所以最大的数是3。
例11.
（2019∙南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
【答案】C
【解析】
题干解析:
由勾股定理得，OB==，
∵9<13<16，
∴3<<4，
∴该点位置大致在数轴上3和4之间。
例12.
（2019∙十堰）下列实数中，是无理数的是（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
A、0是有理数，故A错误；
B、-3是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
例13.
（2019∙滨州）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
由8xmy与6x3yn的和是单项式，得
m=3，n=1。
（m+n）3=（3+1）3=64，64的平方根为±8．
例14.
（2019∙重庆）估计（2+6）×的值应在（ ）
【答案】C
【解析】
题干解析:
（2+6）×，
=2+6，
=2+，
=2+，
∵4<5，
∴6<2+<7，
当堂练习
null
单选题
练习1.
（2018∙淮安）-3的相反数是（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
-3的相反数是3。
练习2.
（2019∙遂宁）-|-|的值为（ ）
【答案】B
【解析】
题干解析:
-|-|=-。
练习3.
（2019∙滨州）若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
由8xmy与6x3yn的和是单项式，得
m=3，n=1。
（m+n）3=（3+1）3=64，64的平方根为±8．
填空题
练习1.
（2018∙泰安）一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg，将这个数据用科学记数法表示为___________kg．
【答案】
9.3×10-26
【解析】
题干解析:0.000000000000000000000000093=9.3×10-26，
练习2.
（2019∙宿迁）实数4的算术平方根为___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:∵22=4，∴4的算术平方根是2．
练习3.
（2019∙河南）计算：-2-1=___．
【答案】
1
【解析】
题干解析:-2-1=2-=1．
A．2019
B．-2019
C．
D．
A．
B．
C．-6
D．6
A．-9
B．
C．9
D．
A．-8
B．8
C．
D．
A．3
B．-3
C．
D．
A．3
B．±3
C．-3
D．9
A．2
B．-2
C．±2
D．-2
A．-2
B．3
C．0
D．-
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
A．0
B．-3
C．
D．
A．4
B．8
C．±4
D．±8
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
A．-3
B．
C．
D．3
A．
B．-
C．±
D．2
A．4
B．8
C．±4
D．±8