中考数学复习2：整式与因式分解

这是一份中考数学复习2：整式与因式分解，共19页。

中考数学复习2：整式与因式分解
知识集结
知识元
代数式
知识讲解

代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意：单独一个数或字母也是代数式

代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。

代数式分类：代数式

例题精讲
代数式
例1.
（2019∙张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1=1，a2=3，公差为d=2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为___，第5项是____．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，…．
所以
a2=a1+d
a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=a1+（_____）d．
（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）根据题意得，d=10-5=5；∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25。（2）∵a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴an=a1+（n-1）d故答案为：n-1．（3）根据题意得，等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：an=-5-2（n-1），则-5-2（n-1）=-4041，解之得：n=2019∴-4041是等差数列-5，-7，-9…的项，它是此数列的第2019项．
例2.
（2019∙毕节市）如果3ab2m-1与9abm+1是同类项，那么m等于（　）
A．2
B．1
C．-1
D．0
【答案】A
【解析】
题干解析:
根据题意可得：2m-1=m+1，
解得：m=2，
例3.
（2019∙黔东南州）如果3ab2m-1与9abm+1是同类项，那么m等于（　）
A．2
B．1
C．-1
D．0
【答案】A
【解析】
题干解析:
根据题意，得：2m-1=m+1，
解得：m=2。
例4.
（2019∙天水）已知a+b=，则代数式2a+2b-3的值是（　）
A．2
B．-2
C．-4
D．-3
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵2a+2b-3=2（a+b）-3，
∴将a+b=代入得：2×-3=-2
例5.
（2019∙株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　）
A．2x5
B．3x3y2
C．-x2y3
D．-y5
【答案】C
【解析】
题干解析:
A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
C、-x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；
D、-y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；
例6.
（2019∙台州）计算2a-3a，结果正确的是（　）
A．-1
B．1
C．-a
D．a
【答案】C
【解析】
题干解析:
2a-3a=-a，
例7.
（2019∙枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，
符合此要求的只有

例8.
（2019∙泰州）若2a-3b=-1，则代数式4a2-6ab+3b的值为（　）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】
题干解析:
4a2-6ab+3b，
=2a（2a-3b）+3b，
=-2a+3b，
=-（2a-3b），
=1，
例9.
（2019∙青岛）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．
探究二：
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4=8种不同的放置方法．
探究三：
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有________种不同的放置方法．
探究四：
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到________个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有________种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到__________________个图⑦这样的几何体．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法；故答案为a-1，4a-4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法。故答案为2a-2，8a-8；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）．
例10.
（2019∙安徽）观察以下等式：
第1个等式：=+，
第2个等式：=+，
第3个等式：=+，
第4个等式：=+，
第5个等式：=+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：___；
（2）写出你猜想的第n个等式：___（用含n的等式表示），并证明．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边==左边。∴等式成立，故答案为：．
例11.
（2019∙自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①
则2S=2+22+…+22018+22019②
②-①得2S-S=S=22019-1
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=_______；
（2）3+32+…+310=___；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设S=1+2+22+…+29①则2S=2+22+…+210②②-①得2S-S=S=210-1∴S=1+2+22+…+29=210-1；故答案为：210-1（2）设S=3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②-①得2S=311-3，所以S=，即3+32+33+34+…+310=；故答案为：；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，②-①得：（a-1）S=an+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，即1+a+a2+a3+a4+..+an=，
例12.
（2018∙安徽）观察以下等式：
第1个等式：++×=1，
第2个等式：++×=1，
第3个等式：++×=1，
第4个等式：++×=1，
第5个等式：++×=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：___；
（2）写出你猜想的第n个等式：___（用含n的等式表示），并证明．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n-1故应填：证明：=∴等式成立
例13.
（2019∙贺州）计算++++…+的结果是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
原式=
=
=。
例14.
（2019∙十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n=（　）
A．50
B．60
C．62
D．71
【答案】B
【解析】
题干解析:
，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，
例15.
（2019∙重庆）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（　）

A．m=1，n=1
B．m=1，n=0
C．m=1，n=2
D．m=2，n=1
【答案】D
【解析】
题干解析:
当m=1，n=1时，y=2m+1=2+1=3，
当m=1，n=0时，y=2n-1=-1，
当m=1，n=2时，y=2m+1=3，
当m=2，n=1时，y=2n-1=1，
例16.
（2019∙怀化）当a=-1，b=3时，代数式2a-b的值等于____．
【答案】
-5
【解析】
题干解析:当a=-1，b=3时，2a-b=2×（-1）-3=-5，
例17.
（2019∙怀化）合并同类项：4a2+6a2-a2=_____．
【答案】
9a2
【解析】
题干解析:原式=（4+6-1）a2=9a2，
例18.
（2019∙南充）原价为a元的书包，现按8折出售，则售价为____元．
【答案】
a
【解析】
题干解析:依题意可得，售价为=a，
例19.
（2019∙西藏）观察下列式子
第1个式子：2×4+1=9=32
第2个式子：6×8+1=49=72
第3个式子：14×16+1=225=152
……
请写出第n个式子：___________________________．
【答案】
（2n+1-2）×2n+1+1=（2n+1-1）2
【解析】
题干解析:∵第1个式子：2×4+1=9=32，即（22-2）×22+1=（22-1）2，第2个式子：6×8+1=49=72，即（23-2）×23+1=（23-1）2，第3个式子：14×16+1=225=152，即（24-2）×24+1=（24-1）2，……∴第n个等式为：（2n+1-2）×2n+1+1=（2n+1-1）2．
例20.
（2019∙百色）观察一列数：-3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是____．
【答案】
57
【解析】
题干解析:由题意知，这列数的第n个数为-3+3（n-1）=3n-6，当n=21时，3n-6=3×21-6=57，
例21.
（2019∙海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是___，这2019个数的和是___．
【答案】
0，2
【解析】
题干解析:由题意可得，这列数为：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1，…，∴前6个数的和是：0+1+1+0+（-1）+（-1）=0，∵2019÷6=336…3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）=2，
整式
知识讲解
例题精讲
整式
例1.
（2019∙枣庄）下列运算，正确的是（　）
A．2x+3y=5xy
B．（x-3）2=x2-9
C．（xy2）2=x2y4
D．x6÷x3=x2
【答案】C
【解析】
题干解析:
A、2x+3y，无法计算，故此选项错误；
B、（x-3）2=x2-6x+9，故此选项错误；
C、（xy2）2=x2y4，正确；
D、x6÷x3=x3，故此选项错误；
例2.
（2019∙淮安）计算a∙a2的结果是（　）
A．a3
B．a2
C．3a
D．2a2
【答案】A
【解析】
题干解析:
原式=a1+2=a3。

例3.
（2018∙内江）下列计算正确的是（　）
A．a+a=a2
B．（2a）3=6a3
C．（a-1）2=a2-1
D．a3÷a=a2
【答案】D
【解析】
题干解析:
A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；
B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误
C，（a-1）2=a2-2a+1≠a2-1，故该选项错误；
D，a3÷a=a2，故该选项正确，
例4.
（2019∙长春）先化简，再求值：（2a+1）2-4a（a-1），其中a=．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，当a=时，原式=8a+1=2。
例5.
（2019∙宁波）先化简，再求值：（x-2）（x+2）-x（x-1），其中x=3．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（x-2）（x+2）-x（x-1）=x2-4-x2+x=x-4，当x=3时，原式=x-4=-1。
例6.
（2019∙凉山州）先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a+4），其中a=-．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=a2+6a+9-（a2-1）-4a-8=2a+2将a=-代入原式=2×（-）+2=1
例7.
（2019∙乐山）若3m=9n=2．则3m+2n=___．
【答案】
4
【解析】
题干解析:∵3m=32n=2，∴3m+2n=3m∙32n=2×2=4，
例8.
（2019∙无锡）计算：（a+3）2=_________。
【答案】
a2+6a+9
【解析】
题干解析:（a+3）2=a2+6a+9．
因式分解
知识讲解
因式分解的常用方法：
（1）提公因式法；
（2）公式法；
（3）十字相乘法；
（4）分组分解法
因式分解法是初中的重要知识，也是高中数学的基础技能，因式分解的方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法，其中提公因式法是所有因式分解的首选方法，在进行因式分解时，一定要分解彻底，即每个括号内的代数式不能再次进行因式分解为止.
在实数范围内因式分解与在有理数范围内因式分解的区别在于系数的范围不同，在实数范围内进行因式分解，系数可以取全体实数，而在有理数范围内进行因式分解，则要求系数都是有理数.在实数范围内进行因式分解难度更大一些.
 
例题精讲
因式分解
例1.
（2019∙河池）分解因式：（x-1）2+2（x-5）．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=（x+3）（x-3）。
例2.
（2019∙内江）分解因式：xy2-2xy+x=_________．
【答案】
x（y-1）2
【解析】
题干解析:xy2-2xy+x，=x（y2-2y+1），=x（y-1）2．
例3.
（2019∙无锡）分解因式4x2-y2的结果是（　）
A．（4x+y）（4x-y）
B．4（x+y）（x-y）
C．（2x+y）（2x-y）
D．2（x+y）（x-y）
【答案】C
【解析】
题干解析:
4x2-y2=（2x+y）（2x-y）。
例4.
（2019∙贺州）把多项式4a2-1分解因式，结果正确的是（　）
A．（4a+1）（4a-1）
B．（2a+1）（2a-1）
C．（2a-1）2
D．（2a+1）2
【答案】B
【解析】
题干解析:
4a2-1=（2a+1）（2a-1），

例5.
（2019∙丹东）因式分2x3-8x2+8x=__________．
【答案】
2x（x-2）2
【解析】
题干解析:原式=2x（x2-4x+4）=2x（x-2）2．
例6.
（2019∙临沂）将a3b-ab进行因式分解，正确的是（　）
A．a（a2b-b）
B．ab（a-1）2
C．ab（a+1）（a-1）
D．ab（a2-1）
【答案】C
【解析】
题干解析:
a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1），

当堂练习
单选题
练习1.
（2018∙成都）下列计算正确的是（　）
A．x2+x2=x4
B．（x-y）2=x2-y2
C．（x2y）3=x6y
D．（-x）2∙x3=x5
【答案】D
【解析】
题干解析:
x2+x2=2x2，A错误；
（x-y）2=x2-2xy+y2，B错误；
（x2y）3=x6y3，C错误；
（-x）2∙x3=x2∙x3=x5，D正确；
练习2.
（2018∙内江）下列计算正确的是（　）
A．a+a=a2
B．（2a）3=6a3
C．（a-1）2=a2-1
D．a3÷a=a2
【答案】D
【解析】
题干解析:
A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；
B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误
C，（a-1）2=a2-2a+1≠a2-1，故该选项错误；
D，a3÷a=a2，故该选项正确，
练习3.
（2019∙潍坊）下列因式分解正确的是（　）
A．3ax2-6ax=3（ax2-2ax）
B．x2+y2=（-x+y）（-x-y）
C．a2+2ab-4b2=（a+2b）2
D．-ax2+2ax-a=-a（x-1）2
【答案】D
【解析】
题干解析:
A、3ax2-6ax=3ax（x-2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab-4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、-ax2+2ax-a=-a（x-1）2，正确。
练习4.
（2019∙安徽）已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则（　）
A．b>0，b2-ac≤0
B．b<0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0
D．b<0，b2-ac≥0
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵a-2b+c=0，a+2b+c<0，
∴a+c=2b，b=，
∴a+2b+c=（a+c）+2b=4b<0，
∴b<0，
∴b2-ac==-ac==≥0，
即b<0，b2-ac≥0，
填空题
练习1.
（2019∙潍坊）若2x=3，2y=5，则2x+y=____．
【答案】
15
【解析】
题干解析:∵2x=3，2y=5，∴2x+y=2x∙2y=3×5=15．
练习2.
（2019∙上海）计算：（2a2）2=_____．
【答案】
4a4
【解析】
题干解析:（2a2）2=22a4=4a4．
练习3.
（2019∙丹东）因式分2x3-8x2+8x=__________．
【答案】
2x（x-2）2
【解析】
题干解析:原式=2x（x2-4x+4）=2x（x-2）2．
练习4.
（2019∙台州）分解因式：ax2-ay2=_____________．
【答案】
a（x+y）（x-y）
【解析】
题干解析:ax2-ay2，=a（x2-y2），=a（x+y）（x-y）．