中考数学复习3：分式与二次根式

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中考数学复习3：分式与二次根式
知识集结
知识元
分式
知识讲解
分式的概念及性质
1.分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母.
2.与分式有关的条件
(1)分式有意义：分母不为0（B≠0）
(2)分式无意义：分母为0（B=0）
(3)分式值为0：分子为0且分母不为0
(4)分式值为正或大于0：分子分母同号
(5)分式值为负或小于0：分子分母异号
(6)分式值为1：分子分母值相等（A=B）
(7)分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3.分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变，即.
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0.
4.分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.
【注意】
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.
5.分式的通分
(1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分.
(2)分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.
确定最简公分母的一般步骤：
①取各分母系数的最小公倍数；
②单独出现的字母（或含有字母的式子）连同它的指数作为一个因式；
③相同字母（或含有字母的式子）取指数最大的.
④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）都要取.
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.
分式的运算
1.分式的加减法则：
(1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减
(2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减.
(3)整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分.
2.分式的乘除法法则：
(1)分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
式子表示为：
(2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
式子表示为
3.分式的乘方与整数指数幂：
（1）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.

（2）整数指数幂的运算性质：
aman＝am+n (m，n都是整数)
(am)n＝amn(m，n都是整数)
(a b)m＝ambm(m，n都是整数)
am ÷ an＝am－n (a不等于0，m，n都是正整数)
a0＝1(a不等于0）
(a不等于0，p是正整数）
（3）乘法公式：
（a+b）(a-b)= a2 -b2
（a+b）2= a2 +2ab+b2
（a-b）2= a2 -2ab+b2
4.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算和化简
运算法则：先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活计算，提高解题质量.
【注意】在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因.运算后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）.

例题精讲
分式
例1.
化简（a-）÷的结果是（　）
A．a-b
B．a+b
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
原式=×
=×
=a+b。
例2.
化简：-=（　）
A．a-1
B．a+1
C．
D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
原式=
=
=a-1，
例3.
先化简，再求值（-）÷，其中a满足a2+3a-2=0．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（-）÷=[]=（）===，∵a2+3a-2=0，∴a2+3a=2，∴原式==1。
例4.
先化简，再选一个合适的数代入求值：（-）÷（-1）．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（-）÷（-1）=[]÷[]====，当x=2时，原式==。
例5.
先化简，再求值：（-1）÷，其中x=y+2019．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（-1）÷==-（2y-x-y）=x-y，∵x=y+2019，∴原式=y+2019-y=2019。
例6.
先化简，再求值：（a-9+）÷（a-1-），其中a=．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=（+）÷（-）=÷=∙=，当a=时，原式==1-2。
例7.
要使分式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
x≠-1
【解析】
题干解析:∵分式有意义，∴x+1≠0，即x≠--1
二次根式
知识讲解
二次根式
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
注：根指数必须是2.
2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；被开方数可以是数，也可以是代数式.
3.被开方数为正或0时，其平方根为实数.
二次根式的乘除
1.二次根式的性质与化简：
(1)(a≥0)是一个非负数，即≥0；
(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；
(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|
(4)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
2.二次根式的乘除：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
(1)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0，b≥0）.
(2)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即（a≥0，b>0）.
3.最简二次根式
(1)二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：
①被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
③分母中不含二次根式.
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.如，，就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2.
4.分母有理化：即把二次根式的分母化成有理数，通常运用平方差公式乘以分母的有理化因式化简.
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式.
二次根式的加减
1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
2.二次根式的加减
法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变.
合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．
3.二次根式的混合运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方； 
（2）运算顺序； 
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的；
（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
4.二次根式的化简求值.

例题精讲
二次根式
例1.
计算：（1-π）0+|-|-+（）-1．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=1+。
例2.
计算：（-2）2++6
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=3+4-4+2+6×=3+4-4+2+2=7。
例3.
下列二次根式：中，是最简二次根式的有（　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【解析】
题干解析:
中是最简二次根式的有，，
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
例4.
若有意义，则x的取值范围是（　）
A．x≥2
B．x≥-2
C．x>2
D．x>-2
【答案】A
【解析】
题干解析:
依题意，得
x-2≥0，
解得，x≥2。
例5.
等式成立的条件是（　）
A．x≥1
B．x≥-1
C．-1≤x≤1
D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵，
∴，解得：x≥1。
例6.
将a根号外的因式移到根号内，得（　）
A．
B．-
C．-
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
a=-=-。
例7.
-=___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:原式=3-=2．
例8.
观察下列各式：
=1+=1+（1-），
=1+=1+（-），
=1+=1+（-），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为_______．
【答案】
2018
【解析】
题干解析:+++…+=1+（1-）+1+（-）+…+1+（-）=2018+1-+-+-+…+-=2018，
例9.
（2019∙天津）计算（+1）（-1）的结果等于___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:原式=3-1=2．
例10.
（2019∙盘锦）计算：（2+3）（2-3）=___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:原式=（2）2-（3）2=20-18=2．
分式方程
知识讲解
分式方程的认识
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①是方程；②分母中含有未知数．
在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程．
解分式方程
1.解分式方程的一般步骤：(1)去分母---转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根,把整式方程的根代入最简公分母或原分式方程.
2.换元法解分式方程：用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
分式方程的解
1.分式方程的解：能使分式方程左右两边相等的未知数的值.
2.增根产生的原因: 方程两边同乘以值为零的整式造成的.
解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 .
分式方程的实际应用
1.列分式方程解应用题的一般步骤题为： 
①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； 
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系； 
③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； 
④解方程并检验；
⑤写出答案． 
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．
2.分类：①行程问题；②工程问题；③营销问题；④行船问题.
例题精讲
分式方程
例1.
（2019∙莱芜区）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列方程正确的是（　）
A．=
B．=
C．=
D．=
【答案】A
【解析】
题干解析:
设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x-50）元，
根据题意，得=
例2.
（2019∙广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　）
A．=
B．=
C．=
D．=
【答案】D
【解析】
题干解析:
设甲每小时做x个零件，可得：，
例3.
（2019∙遂宁）关于x的方程-1=的解为正数，则k的取值范围是（　）
A．k>-4
B．k<4
C．k>-4且k≠4
D．k<4且k≠-4
【答案】C
【解析】
题干解析:
分式方程去分母得：k-（2x-4）=2x，
解得：x=，
根据题意得：>0，且≠2，
解得：k>-4，且k≠4。
例4.
（2019∙黄石）分式方程：-=1的解为______．
【答案】
x=-1
【解析】
题干解析:∵x2-4x=x（x-4），∴最简公分母为：x（x-4），去分母得：4-x=x2-4x，即x2-3x-4=0，解得：x=4或x=-1，经检验x=4是增根，分式方程的解为x=-1，
例5.
（2019∙滨州）方程+1=的解是_____。
【答案】
x=1
【解析】
题干解析:去分母，得x-3+x-2=-3，移项、合并，得2x=2，解得x=1，检验：当x=1时，x-2≠0，所以，原方程的解为x=1，
例6.
（2019∙长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：-=5，解得：x=300，经检验，x=300是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套。
例7.
（2019∙自贡）解方程：-=1．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:去分母得：x2-2x+2=x2-x，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解。
例8.
（2019∙本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　）
A．=
B．=
C．+=140
D．-140=
【答案】A
【解析】
题干解析:
设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，
例9.
（2019∙重庆）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程-=-3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　）
A．-3
B．-2
C．-1
D．1
【答案】A
【解析】
题干解析:
由关于x的不等式组得
∵有且仅有三个整数解，
∴ ∴，
∴-≤a<3；
由关于y的分式方程-=-3得1-2y+a=-3（y-1），
∴y=2-a，
∵解为正数，且y=1为增根，
∴a<2，且a≠1，
∴-≤a<2，且a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值为：-2，-1，0，其和为-3．
例10.
（2019∙齐齐哈尔）关于x的分式方程-=3的解为非负数，则a的取值范围为_________．
【答案】
a≤4且a≠3
【解析】
题干解析:-=3，方程两边同乘以x-1，得2x-a+1=3（x-1），去括号，得2x-a+1=3x-3，移项及合并同类项，得x=4-a，∵关于x的分式方程-=3的解为非负数，x-1≠0，∴，解得，a≤4且a≠3，
当堂练习
单选题
练习1.
若有意义，则x的取值范围是（　）
A．x≥2
B．x≥-2
C．x>2
D．x>-2
【答案】A
【解析】
题干解析:
依题意，得
x-2≥0，
解得，x≥2。
练习2.
将a根号外的因式移到根号内，得（　）
A．
B．-
C．-
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
a=-=-。
练习3.
如果m+n=1，那么代数式（+）∙（m2-n2）的值为（　）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
【答案】D
【解析】
题干解析:
原式=∙（m+n）（m-n）=∙（m+n）（m-n）=3（m+n），
当m+n=1时，原式=3。
练习4.
若=≠0，则代数式（+1）÷的值为（　）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
【答案】A
【解析】
题干解析:
（+1）÷
=
=
=，
∵=≠0，
∴2b=3a，
∴原式===2，
练习5.
（2019∙广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　）
A．=
B．=
C．=
D．=
【答案】D
【解析】
题干解析:
设甲每小时做x个零件，可得：，
练习6.
（2019∙本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　）
A．=
B．=
C．+=140
D．-140=
【答案】A
【解析】
题干解析:
设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，
填空题
练习1.
若代数式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
x>2
【解析】
题干解析:由题意得，x-2>0，解得x>2．
练习2.
（2019∙天津）计算（+1）（-1）的结果等于___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:原式=3-1=2．
练习3.
当a=2018时，代数式（-）÷的值是______．
【答案】
2019
【解析】
题干解析:（-）÷==a+1，当a=2018时，原式=2018+1=2019，
练习4.
计算：+=_____．
【答案】
x+1
【解析】
题干解析:原式=-==x+1。
练习5.
（2019∙德州）方程-=1的解为______．
【答案】
x=-4；
【解析】
题干解析:-=1，=1，=1，=1，x+1=-3，x=-4，经检验x=-4是原方程的根；
练习6.
（2019∙滨州）方程+1=的解是_____。
【答案】
x=1
【解析】
题干解析:去分母，得x-3+x-2=-3，移项、合并，得2x=2，解得x=1，检验：当x=1时，x-2≠0，所以，原方程的解为x=1，
解答题
练习1.
（2018∙陕西）计算：（-）×（-）+|-1|+（5-2π）0
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=+-1+1=3+-1+1=4。
练习2.
计算：
（1）（x+y）2-y（2x+y）
（2）（a+）÷
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）（x+y）2-y（2x+y）=x2+2xy+y2-2xy-y2=x2；（2）（a+）÷====。
练习3.
先化简，再求值：（a-9+）÷（a-1-），其中a=．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:原式=（+）÷（-）=÷=∙=，当a=时，原式==1-2。
练习4.
（2019∙巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：=解得x=90经检验，x=90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元。②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55-y）件由题意得：5000≤100y+90（55-y）≤5050解得5≤y≤10∴共有6种选购方案．
练习5.
（2019∙自贡）解方程：-=1．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:去分母得：x2-2x+2=x2-x，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解。