中考数学复习5：一元二次方程

这是一份中考数学复习5：一元二次方程，共10页。教案主要包含了直接开方法，配方法，公式法，因式分解法等内容，欢迎下载使用。
知识元
一元二次方程
知识讲解
一元二次方程的概念
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程.
2.一般形式：任何一元二次方程都可以整理为下面的形式：.
3.一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.
一元二次方程的解法
1.解一元二次方程的基本思想：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.
2.具体方法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.
方法一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如
※对于，等形式均适用直接开方法.
方法二、配方法
基本步骤 :
(1)先将常数c移到方程右边
(2)将二次项系数化为1
(3)方程两边分别加上一次项系数的一半的平方
(4)方程左边成为一个完全平方式.
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或最值之类的问题.
方法三、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根.
(1)条件：⑵公式：,
方法四、因式分解法: 把方程变形为一般形式，把左边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法，
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，
※分解方法:提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法.
3.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式为：
当时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；
当时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；
当时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根；
一元二次方程的实际应用
1.建模思想：学习依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.
2.基本类型:①平均变化率；②几何问题；③销售问题；④握手问题.
例题精讲
一元二次方程
例1.
（2019∙巴中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2-17=0，求m的值．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:①根据题意得：△=（2m+1）2-4（m2-1）>0，解得：m，②根据题意得：x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-1，x12+x22+x1x2-17=-x1x2-17=（2m+1）2-（m2-1）-17=0，解得：m1=，m2=-3（不合题意，舍去），∴m的值为。
例2.
（2019∙徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30-2x）cm，宽为（20-2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30-2x）+（20-2x）]x=200，整理，得：2x2-25x+50=0，解得：x1=，x2=10。当x=10时，20-2x=0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．
例3.
（2019∙贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2=3600，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）。答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1+20%）=4320（元），4320>4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
例4.
（2019∙黄石）已知关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1-x2|=4，求m的值．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2。（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．
例5.
（2019∙东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200-x）]个，依题意，得：（x-100）[300+5（200-x）]=32000，整理，得：x2-360x+32400=0，解得：x1=x2=180。180且a≠0
【解析】
题干解析:由关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根得△=b2-4ac=4+4×3a>0，解得a>则a>且a≠0
例7.
（2019∙泰安）已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是____。
【答案】
k
【解析】
题干解析:∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k-1）2-4（k2+3）=-4k+1-12>0，解得k；
例8.
（2019∙上海）如果关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是_____．
【答案】
m>
【解析】
题干解析:由题意知△=1-4m．故填空
例9.
（2019∙赤峰）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
设月平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2=900。
例10.
（2019∙鄂州）关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2=5，则m的值为（ ）
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
例11.
（2019∙聊城）若关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2。
例12.
（2019∙扬州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是___________．
【答案】
x1=2，x2=1
【解析】
题干解析:x（x-2）=x-2，x（x-2）-（x-2）=0，（x-2）（x-1）=0，x-2=0，x-1=0，x1=2，x2=1，
例13.
（2019∙本溪）如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是_____．
【答案】
k≤4
【解析】
题干解析:根据题意得：△=16-4k≥0，解得：k≤4．
当堂练习
单选题
练习1.
（2018∙菏泽）关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
【答案】D
【解析】
题干解析:
根据题意得k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠-1。
练习2.
（2018∙淮安）若关于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
【答案】B
【解析】
题干解析:
根据题意得△=（-2）2-4（-k+1）=0，
解得k=0。
练习3.
（2018∙眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
【答案】
【解析】
题干解析:
设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
平均每次下调的百分率为10%
练习4.
（2018∙陇南）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
【答案】C
【解析】
题干解析:
根据题意得△=42-4k≥0，
解得k≤4。
填空题
练习1.
（2019∙扬州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是___________．
【答案】
x1=2，x2=1
【解析】
题干解析:x（x-2）=x-2，x（x-2）-（x-2）=0，（x-2）（x-1）=0，x-2=0，x-1=0，x1=2，x2=1，
练习2.
（2018∙怀化）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是___．
【答案】
1
【解析】
题干解析:∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22-4m=0，∴m=1，
解答题
练习1.
（2018∙成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:∵关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，∴△=[-（2a+1）]2-4a2=4a+1>0，解得：a>-。
练习2.
（2018∙齐齐哈尔）解方程：2（x-3）=3x（x-3）。
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:2（x-3）=3x（x-3），移项得：2（x-3）-3x（x-3）=0，整理得：（x-3）（2-3x）=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3或x2=。
练习3.
（2018∙阿坝州）已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:∵方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×1×m=4-4m>0，解得：m