2018_2019学年上海市杨浦区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年上海市杨浦区九上期末数学试卷（一模），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果 5x=6y，那么下列结论正确的是
A. x:6=y:5B. x:5=y:6C. x=5，y=6D. x=6，y=5

2. 下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是
A. 都含有一个 40∘ 的内角B. 都含有一个 50∘ 的内角
C. 都含有一个 60∘ 的内角D. 都含有一个 70∘ 的内角

3. 如果 △ABC∽△DEF，A，B 分别对应 D，E，且 AB:DE=1:2，那么下列等式一定成立的是
A. BC:DE=1:2
B. △ABC的面积:△DEF的面积=1:2
C. ∠A的度数:∠D的度数=1∶2
D. △ABC的周长:△DEF的周长=1:2

4. 如果 a=2b（a，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是
A. a∥bB. a−2b=0
C. b=12aD. a=2b

5. 如果二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，那么下列不等式成立的是
A. a>0B. b<0C. ac<0D. bc<0

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 ∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得 △ADE 和 △BDF 相似的是
A. EABD=EDBFB. EABF=EDBDC. ADBD=AEBFD. BDBF=BABC

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 抛物线 y=x2−3 的顶点坐标是 ．

8. 化简：2a−12b−312a+b= ．

9. 点 A−1,m 和点 B−2,n 都在抛物线 y=x−32+2 上，则 m 与 n 的大小关系为 m n（填“<”或“>”）．

10. 请写出一个开口向下，且与 y 轴的交点坐标为 0,4 的抛物线的表达式： ．

11. 如图，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=2∶3∶4，如果 EG=4，那么 AC= ．

12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，如果 △AEF 的面积是 4，那么 △BCE 的面积是 ．

13. Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 AC=9，csA=13，那么 AB= ．

14. 如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了 130 米的同时，在铅垂方向上下降了 50 米，那么该斜坡的坡度是 1: ．

15. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，M 是 AB 的中点，MH⊥BC，垂足为点 H，CM 与 AH 交于点 O，如果 AB=12，那么 CO= ．

16. 已知抛物线 y=ax2+2ax+c，那么点 P−3,4 关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ．

17. 在平面直角坐标系中，将点 −b,−a 称为点 a,b 的“关联点”（例如点 −2,−1 是点 1,2 的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，将 △ABC 绕点 A 旋转，当点 B 与点 C 重合时，点 C 落在点 D 处，如果 sinB=23，BC=6，那么 BC 的中点 M 和 CD 的中点 N 的距离是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：cs45∘⋅tan45∘−sin60∘⋅ct60∘ct45∘+2sin30∘．

20. 如图，已知点 D 是 △ABC 的边 BC 上一点，且 BD=12CD，设 AB=a，BC=b．
（1）求向量 AD（用向量 a，b 表示）；
（2）求作向量 AC 在 a，b 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

21. 甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A，B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面 1 米的 C 处发出一球，乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球，球飞行过程中的最高点 H 与甲的水平距离 AE 为 4 米，现以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

22. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 BC 的高为 10 米，灯柱 BC 与灯杆 AB 的夹角为 120∘．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 的长为 13.3 米，从 D，E 两处测得路灯 A 的仰角分别为 α 和 45∘，且 tanα=6，求灯杆 AB 的长度．

23. 已知：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，对角线 AC，BD 交于点 E，点 F 在边 BC 上，且 ∠BEF=∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当 EF∥DC 时，求证：AE=DE．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2+2mx−m2−m+1 交 y 轴于点 A，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H．
（1）求顶点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
（2）当抛物线过点 1,−2，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线 y=−x2+2x 的位置，求平移的方向和距离；
（3）当抛物线顶点 D 在第二象限时，如果 ∠ADH=∠AHO，求 m 的值．

25. 已知：矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，直线 MN 交矩形对角线 AC 于点 E，将 △AME 沿直线 MN 翻折，点 A 落在点 P 处，且点 P 在射线 CB 上．
（1）如图 1，当 EP⊥BC 时，求 CN 的长；
（2）如图 2，当 EP⊥AC 时，求 AM 的长；
（3）请写出线段 CP 的长的取值范围，及当 CP 的长最大时 MN 的长．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
【解析】由图象可得：a<0，c>0，−b2a>0，
∴ac<0，b>0，
∴bc>0．
6. C【解析】A．∵∠AED=∠B，EABD=EDBF，
∴△AED∽△DBF，故A不符合题意；
B．∵∠AED=∠B，EABF=EDBD，
∴△AED∽△FBD，故B不符合题意；
D．∵∠B=∠B，BDBF=BABC，
∴△BDF∽△BAC，
∴∠BDF=∠DAE，
又 ∵∠AED=∠B，
∴△AED∽△DBF，故D不符合题意；
C．∵ADBD=AEBF，∠DAE 与 ∠DBF 不一定相等，
∴△AED 与 △DBF 不一定相似，故C符合题意．
第二部分
7. 0,−3
8. 12a−4b
9. <
10. y=−x2+4（答案不唯一）
11. 12
12. 36
13. 27
14. 2.4
15. 4
16. 1,4
17. 二、四
【解析】设这个点和它的“关联点”的坐标分别为 m,n，−n,−m；
则由题意可得：m 与 −n 同号，
即 m⋅n<0，
所以这一点在第二象限或第四象限．
18. 4
【解析】如图，根据题意画出 △ACD，连接 MN，交 AC 于点 O，
根据题意得：MB=MC=12BC，NC=ND=12CD，BC=CD；
∴MC=CN=12BC=3；
又 ∵AB=AC=AD，
∴∠ABC=∠ACB=∠ACD=∠ADC；
在 △MOC 和 △NOC 中，
MC=NC,∠MCO=∠NCO,CO=CO,
∴△MOC≌△NOC；
∴∠MOC=∠NOC=90∘，OM=ON，
∵OMMC=sin∠MCO=sinB，
∴OM=2，
∴MN=4．
第三部分
19. 原式=22×1−32×331+2×12=22−122=2−14.
20. （1） ∵BD=12CD，
∴BD=13BC．
∵BC=b，
∴BD=13b．
∵AD=AB+BD，且 AB=a，
∴AD=a+13b．
（2） 如图，
所以，向量 AB，AE 即为所求的分向量．
21. 由题意得：C0,1，D6,1.5，
抛物线的对称轴为直线 x=4．
设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+1a≠0，
则根据题意得：−b2a=4,1.5=36a+6b+1,
解得：a=−124,b=13.
∴ 羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为 y=−124x2+13x+1，
∵y=−124x−42+53，
∴ 飞行的最高高度为 53 米．
22. 由题意得 ∠ADE=α，∠E=45∘，
过点 A 作 AF⊥CE，交 CE 于点 F，过点 B 作 BG⊥AF，交 AF 于点 G，
∴ 四边形 BCFG 为矩形，
∴FG=BC=10，
设 AF=x 米．
∵∠E=45∘，
∴EF=AF=x．
在 Rt△ADF 中，tan∠ADF=AFDF，
∴DF=AFtan∠ADF=xtanα=x6，
∵DE=13.3，
∴x+x6=13.3，
∴x=11.4，
∴AG=AF−GF=11.4−10=1.4，
∵∠ABC=120∘，
∴∠ABG=∠ABC−∠CBG=120∘−90∘=30∘．
∴AB=2AG=2.8（米）．
答：灯杆 AB 的长度为 2.8 米．
23. （1） 因为 ∠BEC=∠BAC+∠ABD，∠BEC=∠BEF+∠FEC，∠BEF=∠BAC，
所以 ∠ABD=∠FEC，
因为 AD=AB，
所以 ∠ABD=∠ADB，
所以 ∠FEC=∠ADB．
因为 AD∥BC，
所以 ∠DAE=∠ECF，
所以 △AED∽△CFE．
（2） 因为 EF∥DC，
所以 ∠FEC=∠ECD．
因为 ∠ABD=∠FEC，
所以 ∠ABD=∠ECD．
因为 ∠AEB=∠DEC，
所以 △AEB∽△DEC．
所以 AEDE=BECE．
因为 AD∥BC，
所以 AECE=DEBE，
所以 AEDE⋅AECE=BECE⋅DEBE，
即 AE2=DE2，
所以 AE=DE．
24. （1） ∵y=−x2+2mx−m2−m+1=−x−m2−m+1．
∴Dm,1−m．
（2） ∵ 抛物线 y=−x2+2mx−m2−m+1 过点 1,−2，
∴−2=−1+2m−m2−m+1．即 m2−m−2=0．
∴m=2 或 m=−1（舍去）．
∴ 抛物线的顶点是 2,−1．
∵ 抛物线 y=−x2+2x 的顶点是 1,1，
∴ 原抛物线向左平移了 1 个单位，向上平移了 2 个单位．
（3） ∵ 顶点 D 在第二象限，
∴m<0．
情况 1，点 A 在 y 轴的正半轴上，如图（1）．作 AG⊥DH 于点 G，
∵A0,−m2−m+1，Dm,−m+1，
∴Hm,0，Gm,−m2−m+1．
∵∠ADH=∠AHO，
∴tan∠ADH=tan∠AHO．
∴AGDG=AOHO．
∴−m1−m−−m2−m+1=−m2−m+1−m．
整理得：m2+m=0．
∴m=−1 或 m=0（舍）．
情况 2，点 A 在 y 轴的负半轴上，如图（2）．作 AG⊥DH 于点 G，

∵A0,−m2−m+1，Dm,−m+1，
∴Hm,0，Gm,−m2−m+1．
∵∠ADH=∠AHO，
∴tan∠ADH=tan∠AHO，
∴AGDG=AOHO．
∴−m1−m−−m2−m+1=m2+m−1−m．
整理得：m2+m−2=0．
∴m=−2 或 m=1（舍）．
∴m=−1 或 m=−2．
25. （1） ∵△AME 沿直线 MN 翻折，点 A 落在点 P 处，
∴△AME≌△PME．
∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB⊥BC．
∵EP⊥BC，
∴AB∥EP．
∴∠AME=∠PEM．
∴∠AEM=∠AME．
∴AM=AE．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥DC．
∴AMCN=AECE．
∴CN=CE．
设 CN=CE=x，
在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∴PE=AE=5−x．
∵EP⊥BC，
∴EPCE=sin∠ACB=45．
∴5−xx=45．
∴x=259，经检验，x=259 是原方程的解，且符合题意，
∴CN=259．
（2） ∵△AME 沿直线 MN 翻折，点 A 落在点 P 处，
∴△AME≌△PME．
∴AE=PE，AM=PM．
∵EP⊥AC，
∴EPCE=tan∠ACB=43．
∴AECE=43．
∵AC=5，
∴AE=207，CE=157．
∴PE=207．
∵EP⊥AC，
∴PC=PE2+EC2=2072+1572=257．
∴PB=PC−BC=257−3=47．
∵PM2=PB2+MB2，AM=PM．
∴AM2=472+4−AM2．
∴AM=10049．
（3） 0≤CP≤5，当 CP 最大时 MN=325．
【解析】如图 1，
当点 P 与点 C 重合时，CP 的长取得最小值 0，
如图 2，
当点 N 与 C 重合时，CP 的长取得最大值，
此时 CP=AC=5，
∴0≤CP≤5；
如图 2，点 N 与 C 重合时，此时 MN 与 AC 的交点也和点 C 重合；
由题意知，△AMC≌△PMC，
∴AC=PC=5，AM=PM，
∵AB=4，BC=3；
∴BP=PC−BC=2；BM=AB−AM=4−PM，
在 Rt△PMB 中，PM2=BP2+BM2，
∴PM2=22+4−PM2，
∴PM=52；
∴BM=32；
∴MN=MC=BM2+BC2=322+32=325．