2019年黑龙江哈尔滨香坊区九年级上学期人教版五四制数学期末考试试卷

这是一份2019年黑龙江哈尔滨香坊区九年级上学期人教版五四制数学期末考试试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=x2+2 的图象与 y 轴的交点坐标是
A. −2,0B. 2,0C. 0,−2D. 0,2

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 反比例函数 y=m−3x 的图象，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是
A. m<3B. m≤3C. m>3D. m≥3

4. 将二次函数 y=x2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是
A. y=x−12+2B. y=x+12+2
C. y=x−12−2D. y=x+12−2

5. 如图，将一长为 6 米的梯子 CD 斜靠在墙面上，梯子与地面所成的角 ∠BCD=55∘，此时梯子的顶端与地面的距离 BD 的长为 米．
A. 6cs55∘B. 6sin55∘C. 6sin55∘D. 6cs55∘

6. 如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高 1.5 m，测得 AB=2 m，BC=14 m，则棱高 CD 为
A. 10.5 mB. 9.5 mC. 12 mD. 14 m

7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，若 OA=2，∠B=60∘，则 CD 的长
A. 3B. 23C. 25D. 4

8. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，BD⊥AC 于点 D，以点 C 为旋转中心，将 △BCD 顺时针旋转，得到 △ACDʹ，若 ∠ABD=35∘，则 ∠BCDʹ 的大小为
A. 140∘B. 145∘C. 150∘D. 155∘

9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BD 上一点，且 EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是
A. AMBM=DEBEB. AMAB=CNCBC. MEBC=NEABD. BEBD=NECB

10. 甲、乙两车分别从相距 480 km 的 A，B 两地相向而行，乙车比甲车先出发 1 小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C 地，甲车到达 C 地停留 1 小时，因有事按原路原速返回 A 地，乙车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地．甲、乙两车距各自出发地的路程 y（千米）与甲车出发所用的时间 x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是 60 千米/时；
②甲车从 C 返回 A 的速度为 120 千米/时；
③ t=3；
④当两车相距 120 千米，乙车行驶的时间是 4 小时，
其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 函数 y=1x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 一个扇形面积是 36π cm2，半径是 12 cm，则这个扇形的弧长是 cm．

13. 如图，A，B 两点在双曲线 y=6x 上，经过 A，B 两点分别向坐标轴作垂线段，已知 S阴影=1，则 S1+S2= ．

14. 二次函数 y=2x2−3x+k 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ．

15. 如图，正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O，则 ∠CAD= 度．

16. 在平行四边形 ABCD 中，M 是 AB 延长线上一点，E 是 BC 的中点，连接 ME 并延长，交 CD 于 F，交 AD 延长线于点 N，若 BMCD=25，BC=4，则 AN= ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，O 是 AB 上一点，⊙O 与 BC 相切于点 E，交 AB 于点 F，连接 AE，若 AF=2BF，则 ∠CAE 的度数是 ．

18. 在 △ABC 中，tan∠B=23，AB=13，AC=5，则线段 BC 的长为 ．

19. 如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 B，过点 B 作 BC⊥x轴 于点 C，连接 AC，若 tan∠ACO=2，则此反比函数解析式为 ．

20. 如图，在 △ABC 中，D 是 BC 上一点，且 AB=BD=3CD，若 cs∠DAC=78，AD=6，则 AC= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求值：a−ba÷a−2ab−b2a，其中 a=6sin30∘+cs45∘，b=3tan60∘．

22. 如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 AB，点 A，B 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段 AB 绕 A 点旋转，得到线段 AC，点 C 落在小正方形的顶点上，连接 BC，且 △ABC 的面积为 10；
（2）在方格纸中画，以 AC 所在直线为对称轴，作 △ACB 的轴对称图形 △ACD，连接 BD．直接写出 ∠BDC 的正弦值．

23. 如图，AB，CD 为 ⊙O 的弦，且 AB∥CD，连接 CO 并延长交 AB 于点 F，连接 DO 并延长交 AB 于点 E，求证：AE=BF．

24. 在 △ABC 中，AB=AC，以点 B 为旋转中心，将 △ABC 顺时针旋转得到 △DBE（点 A 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E）．
（1）如图 1，若 BD∥AC，连接 CD，求证：四边形 ABDC 是菱形；
（2）如图 2，当点 D 落在 BC 上时，若 tan∠C=43，AB=5，连接 CE，求 CE 的长．

25. 如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求
（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯 P1，P2 之间的水平距离．

26. 如图，在 △ABC 中，以 AB 为直径的 ⊙O，交 BC 于点 D，且 BD=CD，交直线 AC 于点 E，连接 BE．
（1）如图 1，求证：∠CAB=2∠CBE；
（2）如图 2，过 D 作 DF⊥AB 于 F，求证：BE=2DF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，在 ∠BDF 的内部作 ∠BDM，使 ∠BDM=∠ABE，DM 分别交 AB，BE 于点 N，G，交 ⊙O 于点 M，若 DF=2BN=23，求 MG 的长．

27. 已知抛物线 y=−x2+2kx+3k 与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=13OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 P 为抛物线上第一象限内一点，连接 BP，将线段 BP 绕点 B 逆时针旋转 90∘，得到 BQ，连接 PQ，过 A 作直线 PQ 的垂线，垂足为 E，过 B 作直线 PQ 的垂线，垂足为 F，作线段 EF 的垂直平分线交 x 轴于点 H，过点 H 作 HD∥y 轴，交抛物线于点 D，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长 BP 交 HD 延长线于点 M，连接 AP 交 HD 于点 N，当 MD=NH 时，求 ∠QPA 的正切值．
答案
第一部分
1. D
2. B【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误．
3. A
4. A
5. C
6. C
7. B
8. A
9. D
10. C
第二部分
11. x≠2
12. 6π
13. 10
14. k≤98
15. 36
16. 7
17. 30∘
18. 4 或 2
19. y=4xx>0
20. 8
第三部分
21. 原式=a−ba÷a2−2ab+b2a=a−ba⋅aa−b2=1a−b,
∵a=6sin30∘+cs45∘=6×12+22=3+22,
b=3tan60∘=3×3=3，
∴原式=13+22−3=2.
22. （1） 如图，△ABC 为所作；
（2） 如图，△ACD 为所求作，sin∠BDC=845=255．
23. 过 O 作 OH⊥AB 于 H，如图所示：
则 AH=BH，
∵ OC=OD，
∴ ∠C=∠D，
∵ CD∥AB，
∴ ∠C=∠OFE，∠D=∠OEF，
∴ ∠OFE=∠OEF，
∴ OE=OF，
∵ OH⊥AB，
∴ EH=FH，
∴ AH−EH=BH−FH，
∴ AE=BF．
24. （1） ∵ 由旋转的性质可知：AB=BD，AB=AC，
∴ AC=BD．
又 ∵ AC∥BD，
∴ 四边形 ABDC 为平行四边形．
又 ∵ AB=AC，
∴ 四边形 ABDC 为菱形．
（2） 如图所示：过 A 作 AF⊥BC 于 F，过 E 作 EH⊥BC 于 H，连接 CE .
∵ AC=AB=5，
∴ ∠ACB=∠ABC，
∵ AF⊥BC，
∴ CF=BF．
在 Rt△AFC 中，tan∠ACF=AFCF=43．
设 AF=4a，CF=3a，
∴ 在 Rt△AFC 中，AC=DF2+EF2=5a=5．
∴ a=1．
∴ AF=4，CF=BF=3a=3，
∴ BC=BF+CF=6．
在 Rt△AFC 中，sin∠ACB=AFAC=45，cs∠ACB=CFAC=35．
由旋转性质得，BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．
∴ sin∠DBE=45，cs∠DBE=35．
∵ EH⊥BC，
∴ 在 Rt△BHE 中，EH=BE⋅sin∠DBE=6×45=245，BH=BE⋅cs∠DBE=6×35=185．
∴ CH=BC−BH=125．
∴ 在 Rt△CHE 中，CE=EH2+CH2=1255．
25. （1） 抛物线的顶点坐标为 5,5，与 y 轴交点坐标是 0,1．
设抛物线的解析式是 y=ax−52+5．
把 0,1 代入 y=ax−52+5 得 a=−425，
∴y=−425x−52+5（0≤x≤10）．
∴y=−425x2+85x+1．
（2） 由已知得两景观灯的纵坐标都是 4，
∴4=−425x−52+5，
∴425x−52=1，
解得 x1=152，x2=52，
152−52=5．
∴ 两景观灯间的距离为 5 米．
26. （1） 连接 AD，如图 1，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴AD⊥BC，
又 ∵BD=CD，
∴AD 垂直平分 BC，AB=AC，
∴AD 平分 ∠BAC，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE．
（2） 延长 DF 交 ⊙O 于 K，连接 DE，连接 BK，如图 2，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∵BD=CD，
∴DE=12BC，
∴DE=BD=CD，
∴DE=DB，
∵AB⊥DK，且 AB 为 ⊙O 的直径，
∴DF=FK，BK=BD，
∴DK=2DF，BK=DE，
∴BK+EK=DE+EK，
∴DK=BE，
∴BE=2DF．
（3） 连接 AD，连接 ED，如图 3，
∵BE=2DF，DF=23，
∴BE=43，
∵2BN=23，
∴BN=6，
∵∠BDM=∠ABE，∠ADE=∠ABE，
∴∠ADE=∠BDM，
在 △DAE 与 △DNB 中，
∠ADE=∠BDN,DE=DB,∠AED=∠NBD,
∴△DAE≌△DNB，
∴AE=NB=6，
在 Rt△AEB 中，AB=AE2+BE2=36，
tan∠ABE=AEBE=643=24，
∴AC=AB=36，tan∠BDG=24，
∴CE=AC+AE=46，
在 Rt△CEB 中，tan∠CBE=CEBE=4643=2，
过 G 作 GH⊥BD 于 H，
则在 Rt△GHD 中，tan∠GDH=GHDH=24，
设 GH=2a，DH=4a，
∴ 在 Rt△GHB 中，tan∠GBH=GHBH=2aBH=2，
∴BH=a，
∴BD=BH+DH=a+4a=6，
∴a=65，
∴DH=245，GH=652，
在 Rt△DHG 中，
DG=DH2+GH2=2452+6252=1852,
连接 BM，
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∵∠DEB=∠M，
∴∠DBG=∠M，
∵∠GDB=∠BDM，
∴△GDB∽△BDM，
∴BDDM=DGDB，即 6DM=18526，
∴DM=52，
∴MG=DM−DG=752．
27. （1） 当 x=0 时，y=−02+2k×0+3k，
解得 y=3k，
∴ C0,3k，
∴ OC=3k．
∵ OA=13OC，
∴ OA=k，
∴ A−k,0．
∵ 点 A 在抛物线上，
∴ 0=−−k2+2k×−k+3k，
解得 k1=0（舍去），k2=1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 如图 1，
∵ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3，
∴ 当 y=0 时，0=−x2+2x+3，
解得 x1=−1，x2=3，
∴ A−1,0，B3,0，
∴ OA=1，OB=3，
∴ AB=OA+OB=4．
∵ AE⊥PQ，BF⊥PQ，
∴ ∠AEP=∠BFQ=90∘，
∴ AE∥BF．
∵ GH 垂直平分 EF，
∴ EG=FG，∠HGQ=90∘，
∴ ∠HGQ=∠BFQ，
∴ GH∥BF，
∴ AE∥GH∥BF，
∴ AHBH=EGFG=1，
∴ AH=BH=12AB=2，
∴ OH=OB−BH=1，
∴ H1,0．
∵ DH∥y 轴，
∴ 点 D 的横坐标为 1．
∵ 点 D 在抛物线上，
∴ 当 x=1 时，y=−12+2×1+3=4，
∴ D1,4．
（3） ∵ 点 P 在抛物线 y=−x2+2x+3 上，
设 Pm,−m2+2m+3，
由（2）知 A−1,0，B3,0，
设直线 PA 的解析式为 y=k1x+b1，
点 A−1,0，Pm,−m2+2m+3 在直线 PA 上，
则 0=−1×k1+b1,−m2+2m+3=m×k1+b1,
解得 k1=3−m,b1=3−m,
∴ 直线 PA 的解析式为 y=3−mx+3−m，
∵ N 的横坐标为 1，
∴ 当 x=1 时，y=3−m×1+3−m=6−2m，
∴ NH=6−2m．
设直线 PB 的解析式为 y=k2x+b2k2≠0．
点 B3,0，Pm,−m2+2m+3 在直线 PB 上，
则 0=3×k2+b2,−m2+2m+3=m×k2+k2,
解得 k2=−m−1,b2=3m+3,
∴ 直线 PB 的解析式为 y=−m−1x+3m+3．
∵ M 的横坐标为 1，
∴ 当 x=1 时，y=−m−1×1+3m+3=2m+2，
∴ MH=2m+2，
∵ D1,4，
∴ DH=4，
∴ MD=MH−DH=2m−2．
∵ MD=NH，
∴ 2m−2=6−2m，
解得 m=2，
∴ P2,3．
如图 2，过 P 作 PK⊥AB 于 K，
∴ OK=2，PK=3，
∴ AK=OA+OK=3，BK=OB−OK=1，
∴ AK=PK=3．
∵ PK⊥AB，
∴ ∠PKA=90∘，
∴ ∠PAK=∠APK=45∘．
∵ BP=BQ，∠PBQ=90∘，
∴ ∠BPQ=∠BQP=45∘，
∴ ∠APK−∠QPK=∠QPB−∠QPK，即 ∠QPA=∠BPK，
在 Rt△PKB 中，tan∠BPK=BKPK=13，
∴ tan∠QPA=13．