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初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册第一章 三角形1 认识三角形学案
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这是一份初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册第一章 三角形1 认识三角形学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类
【学习重难点】
重点：概括三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。
难点：会画三角形的高。
【学习过程】
一、基础知识回顾
三角形基本要素及基本性质
1． 三角形概念及表示
（1）由 的三条 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图中三角形，可以记作 ，它有三边 ； 三个角 ；三个顶点 。
2． 与三角形有关的三边、角性质
（1）三边关系：三角形的任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边。
（2）三角形的内角之和为 。直角三角形两锐角 。
（3）三角形的三边关系决定了三角形具有 性。
3． 三角形的分类
（1）按三角形角的大小分，有
（2）按边的相等关系分，有
4． 三角形重要的特殊线段
（1）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个顶
点和交点之间的线段叫做 。如图AD是∠BAC的角平分线，
（D在BC所在直线上），那么∠BAD= = 。
三角形的三条角平分线一定在三角形的内部，且它们都交于 。
（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做 。
如图，AE是BC边上的中线（E在BC所在直线上），
那么BE= = BC．
三角形的三条中线一定在三角形的内部，且它们
都交于 。
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的 叫做
三角形的高。三角形的三条高都交于 。其中，锐角三角形的三条高在 交于一点；
直角三角形的三条高在 交于一点；钝角三角形的三条高在 交于一点。
二、图形全等概念、特征、图案设计
能够 图形称为全等图形；全等图形的 都相等。
三角形是特殊的图形，全等三角形的概念与全等图形的概念是一致的。
全等三角形的对应边 ，对应角 。
三、探索三角形全等的条件
根据全等三角形的定义说明两个三角形全等，要求各边、各角都要对应相等。要使两
个三角形全等，至少需要 个条件（其中须有边的条件）。探索三角形全等的条件可以
归纳为：
1． 对应相等（简记为“SSS”）； 2． 对应相等（简记为“SAS”）；
3． 对应相等（简记为“ASA”）； 4． 对应相等（简记为“AAS”）；
四、探索直角三角形全等的条件
直角三角形全等的条件除了上述的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”之外，还可以
利用“HL”来判断，即 和 对应相等的两个三角形全等。 特别说明：全等条件
“HL”不能用于非直角三角形使用。
五、三角形全等的应用
（1）会用尺规作三角形，以及与全等三角形有关的图形；
（2）会利用全等三角形测量距离。复习时注意理解尺规作三角形的依据就是全等三角形，还要关尺规作与全等三角形有关的图形；掌握用全等三角形进行实际测量的基本方法。
二、主要思想方法
转化思想
例1 如图1，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他没有量角器，只有一把刻度尺，他是这样操作的：（1）分别在BA和CA上取BE、CG，使BE=CG；（2）在BC上取BD=CF；（3）量出DE的长为a米，FG的长为b米，若a=b，则说明∠B=∠C．他的这种做法合理吗？为什么？
分析：判断这种做法是否合理，关键要看这种
做法是否能检测出∠B=∠C，这就要利用三角形全等
的知识，通过转化的思想方法可以解决。
解：这种做法合理。因为若a=b，则由题意可得△BDE≌△CFG（SSS），故∠B=∠C．
评注：本题贴近生活，说明数学在实际生活中具有重要作用，在这里往往把实际问题转化为三角形全等的数学问题，构造出全等三角形是利用三角形全等的知识解决实际问题的关键。
二、分类讨论思想
例2 五条线段长分别为1．2．3．4．5，以其中三条线段为边长可以构成三角形有（ ）。
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
分析：五条线段中，由三条线段组成一组，共有10组，用分类讨论的思路一一列出来，再用三角形三边关系得以解决。
解：这五个数中，三个一组可写出为：①1．2．3；②1．2．4；③1．2．5；④1．3．4；⑤1．3．5；⑥1．4．5；⑦2．3．4；⑧2．3．5；⑨2．4．5；⑩3．4．5．根据三角形三边之间的关系判断，其中能组成三角形的线段组有⑦2．3．4；⑨2．4．5；⑩3．4．5共3组。
故选A．
评注：分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。对问题进行分类讨论时，必须按同一标准分类，且做到不重不漏。
三、易错点突破
1．运用三角形三边的关系性质时不严谨
例1 若一等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边的长为5cm，则它的周长为 。
错解：因为三角形是等腰三角形，当2cm为腰长时，底边为5cm，所以周长为9cm；当5cm为腰长时，底边为2cm，所以周长为12cm；故答案为5cm或12cm。
分析：上述解题的病症在于忽略了三角形三边关系性质的准确运用，分类作了讨论是很好的，其中假设当当2cm为腰长时，底边为5cm，这种情形是不能构成三角形的，因为2+2<5，
本问题错误就体现在这里。
正解：本题只能把5cm作为腰，2cm长作为底，这样此等腰三角形的周长应为12cm。
2． 三角形全等条件的误用
例2 如图2，∠CAB=∠DBA， ∠C=∠D，E为AC和BD的交点， △BCA与△BCA全等吗？为什么？
错解： △BCA≌△BCA．
因为∠C=∠D， ∠CAB=∠DBA，
∠DAB=∠CBA，所以△BCA≌△BCA（AAA）。
分析：两个三角形全等是正确的，但说明的理由是错误的，三个角对应相等不能作为识别两个三角形全等的方法。因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
正解： △BCA≌△BCA． 因为∠C=∠D， ∠CAB=∠DBA，AB=BA（公共边），所以△BCA≌△BCA（AAS）。
四 、重难点析解
1． 与三角形有关的概念
例1一个三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）。
（A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）锐角三角形 （D）钝角三角形
分析：已知三个内角的度数比，根据三角形内角和定理求出三个内角各自的度数，即可判断三角形形状。
解：因为三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，所以设三个内角度数分别为2x°、
3x°、7x°，则2x°+3x°+7x°=180°，解得x=15．所以7x=105．故选D．
评注：本题考查了三角形的内角和定理，是与三角形有关的角的重要性质。
例2．能把三角形分成面积的两个三角形的线段是（ ）。
（A）角平分线 （B）中线 （C）高 （D）三角形的边
分析：此题考查了与三角形有关的特殊线段的性质，结合三角形面积计算即可解决。
解：因为三角形的中线分出的两个三角形中，相等两边上的高相等，根据三角形面积计算这两个三角形的面积相等。故选B．
2． 全等三角形条件与性质
例3如图3，，=30°，则的度数为（ ）。
（A）20° （B）30°
（C）35° （D）40°
解：因为，
根据全等三角形的对应角相等的性质可知，∠ACB=∠，
∠ACB，所以==30°，故选B．
A
C
E
B
D
图4
例4如图4，已知，，要使 ≌，可补充的条件是 （写出一个即可）。
分析：此题是一道开放性试题，考查了全等三角形
的条件，关键是找出题目中隐含的条件，结合题目灵活运
用全等条件就得以解题。
解：要使 ≌，已知，，所以∠BAC=
∠DAE，即题目有了已知一边一角，还差一个条件，这时可以填：如∠B=∠D或AC=AE
或∠C=∠D等。
3． 三角形全等的应用
例5．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，
两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）。
（A）SAS （B）ASA （C）AAS （D）SSS
析解：利用尺规作与三角形有关作图，往往涉及到
三角形全等条件应用，这里作角的平分线，由作图过程
得，，主要是根据“边边边（SSS）”条件
进行的。故选D．
评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，同时也是作图、测量现实生活中距
离等问题的依据，充分体现了出数学知识与现实生活密切联系，其思路是通过建立数学模型，
把实际问题转化为数学问题。
例6 某地质勘测队要河两岸相对两点A、B之间距离，如图5，可先AB的垂线AF上取两点C．D，使AC=CD，再过点D作AD的垂线DE，使B、C．E三点在一条直线上，这时DE的长就是AB的长，你能说明其中的道理吗？
分析：此问题要解决无法直接测量的距离时，可利
用全等三角形进行解决，只不过要利用全等三角形进行
方案设计。
解：由题意，知AB⊥AD，DE⊥AD，
所以∠BAC=∠EDC=90°，在△BAC和△EDC中，
所以△BAC≌△EDC．
即DE的长就是AB的长。
【学习目标】
认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类
【学习重难点】
重点：概括三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。
难点：会画三角形的高。
【学习过程】
一、基础知识回顾
三角形基本要素及基本性质
1． 三角形概念及表示
（1）由 的三条 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图中三角形，可以记作 ，它有三边 ； 三个角 ；三个顶点 。
2． 与三角形有关的三边、角性质
（1）三边关系：三角形的任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边。
（2）三角形的内角之和为 。直角三角形两锐角 。
（3）三角形的三边关系决定了三角形具有 性。
3． 三角形的分类
（1）按三角形角的大小分，有
（2）按边的相等关系分，有
4． 三角形重要的特殊线段
（1）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个顶
点和交点之间的线段叫做 。如图AD是∠BAC的角平分线，
（D在BC所在直线上），那么∠BAD= = 。
三角形的三条角平分线一定在三角形的内部，且它们都交于 。
（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做 。
如图，AE是BC边上的中线（E在BC所在直线上），
那么BE= = BC．
三角形的三条中线一定在三角形的内部，且它们
都交于 。
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的 叫做
三角形的高。三角形的三条高都交于 。其中，锐角三角形的三条高在 交于一点；
直角三角形的三条高在 交于一点；钝角三角形的三条高在 交于一点。
二、图形全等概念、特征、图案设计
能够 图形称为全等图形；全等图形的 都相等。
三角形是特殊的图形，全等三角形的概念与全等图形的概念是一致的。
全等三角形的对应边 ，对应角 。
三、探索三角形全等的条件
根据全等三角形的定义说明两个三角形全等，要求各边、各角都要对应相等。要使两
个三角形全等，至少需要 个条件（其中须有边的条件）。探索三角形全等的条件可以
归纳为：
1． 对应相等（简记为“SSS”）； 2． 对应相等（简记为“SAS”）；
3． 对应相等（简记为“ASA”）； 4． 对应相等（简记为“AAS”）；
四、探索直角三角形全等的条件
直角三角形全等的条件除了上述的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”之外，还可以
利用“HL”来判断，即 和 对应相等的两个三角形全等。 特别说明：全等条件
“HL”不能用于非直角三角形使用。
五、三角形全等的应用
（1）会用尺规作三角形，以及与全等三角形有关的图形；
（2）会利用全等三角形测量距离。复习时注意理解尺规作三角形的依据就是全等三角形，还要关尺规作与全等三角形有关的图形；掌握用全等三角形进行实际测量的基本方法。
二、主要思想方法
转化思想
例1 如图1，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他没有量角器，只有一把刻度尺，他是这样操作的：（1）分别在BA和CA上取BE、CG，使BE=CG；（2）在BC上取BD=CF；（3）量出DE的长为a米，FG的长为b米，若a=b，则说明∠B=∠C．他的这种做法合理吗？为什么？
分析：判断这种做法是否合理，关键要看这种
做法是否能检测出∠B=∠C，这就要利用三角形全等
的知识，通过转化的思想方法可以解决。
解：这种做法合理。因为若a=b，则由题意可得△BDE≌△CFG（SSS），故∠B=∠C．
评注：本题贴近生活，说明数学在实际生活中具有重要作用，在这里往往把实际问题转化为三角形全等的数学问题，构造出全等三角形是利用三角形全等的知识解决实际问题的关键。
二、分类讨论思想
例2 五条线段长分别为1．2．3．4．5，以其中三条线段为边长可以构成三角形有（ ）。
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
分析：五条线段中，由三条线段组成一组，共有10组，用分类讨论的思路一一列出来，再用三角形三边关系得以解决。
解：这五个数中，三个一组可写出为：①1．2．3；②1．2．4；③1．2．5；④1．3．4；⑤1．3．5；⑥1．4．5；⑦2．3．4；⑧2．3．5；⑨2．4．5；⑩3．4．5．根据三角形三边之间的关系判断，其中能组成三角形的线段组有⑦2．3．4；⑨2．4．5；⑩3．4．5共3组。
故选A．
评注：分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。对问题进行分类讨论时，必须按同一标准分类，且做到不重不漏。
三、易错点突破
1．运用三角形三边的关系性质时不严谨
例1 若一等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边的长为5cm，则它的周长为 。
错解：因为三角形是等腰三角形，当2cm为腰长时，底边为5cm，所以周长为9cm；当5cm为腰长时，底边为2cm，所以周长为12cm；故答案为5cm或12cm。
分析：上述解题的病症在于忽略了三角形三边关系性质的准确运用，分类作了讨论是很好的，其中假设当当2cm为腰长时，底边为5cm，这种情形是不能构成三角形的，因为2+2<5，
本问题错误就体现在这里。
正解：本题只能把5cm作为腰，2cm长作为底，这样此等腰三角形的周长应为12cm。
2． 三角形全等条件的误用
例2 如图2，∠CAB=∠DBA， ∠C=∠D，E为AC和BD的交点， △BCA与△BCA全等吗？为什么？
错解： △BCA≌△BCA．
因为∠C=∠D， ∠CAB=∠DBA，
∠DAB=∠CBA，所以△BCA≌△BCA（AAA）。
分析：两个三角形全等是正确的，但说明的理由是错误的，三个角对应相等不能作为识别两个三角形全等的方法。因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
正解： △BCA≌△BCA． 因为∠C=∠D， ∠CAB=∠DBA，AB=BA（公共边），所以△BCA≌△BCA（AAS）。
四 、重难点析解
1． 与三角形有关的概念
例1一个三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）。
（A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）锐角三角形 （D）钝角三角形
分析：已知三个内角的度数比，根据三角形内角和定理求出三个内角各自的度数，即可判断三角形形状。
解：因为三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，所以设三个内角度数分别为2x°、
3x°、7x°，则2x°+3x°+7x°=180°，解得x=15．所以7x=105．故选D．
评注：本题考查了三角形的内角和定理，是与三角形有关的角的重要性质。
例2．能把三角形分成面积的两个三角形的线段是（ ）。
（A）角平分线 （B）中线 （C）高 （D）三角形的边
分析：此题考查了与三角形有关的特殊线段的性质，结合三角形面积计算即可解决。
解：因为三角形的中线分出的两个三角形中，相等两边上的高相等，根据三角形面积计算这两个三角形的面积相等。故选B．
2． 全等三角形条件与性质
例3如图3，，=30°，则的度数为（ ）。
（A）20° （B）30°
（C）35° （D）40°
解：因为，
根据全等三角形的对应角相等的性质可知，∠ACB=∠，
∠ACB，所以==30°，故选B．
A
C
E
B
D
图4
例4如图4，已知，，要使 ≌，可补充的条件是 （写出一个即可）。
分析：此题是一道开放性试题，考查了全等三角形
的条件，关键是找出题目中隐含的条件，结合题目灵活运
用全等条件就得以解题。
解：要使 ≌，已知，，所以∠BAC=
∠DAE，即题目有了已知一边一角，还差一个条件，这时可以填：如∠B=∠D或AC=AE
或∠C=∠D等。
3． 三角形全等的应用
例5．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，
两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）。
（A）SAS （B）ASA （C）AAS （D）SSS
析解：利用尺规作与三角形有关作图，往往涉及到
三角形全等条件应用，这里作角的平分线，由作图过程
得，，主要是根据“边边边（SSS）”条件
进行的。故选D．
评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，同时也是作图、测量现实生活中距
离等问题的依据，充分体现了出数学知识与现实生活密切联系，其思路是通过建立数学模型，
把实际问题转化为数学问题。
例6 某地质勘测队要河两岸相对两点A、B之间距离，如图5，可先AB的垂线AF上取两点C．D，使AC=CD，再过点D作AD的垂线DE，使B、C．E三点在一条直线上，这时DE的长就是AB的长，你能说明其中的道理吗？
分析：此问题要解决无法直接测量的距离时，可利
用全等三角形进行解决，只不过要利用全等三角形进行
方案设计。
解：由题意，知AB⊥AD，DE⊥AD，
所以∠BAC=∠EDC=90°，在△BAC和△EDC中，
所以△BAC≌△EDC．
即DE的长就是AB的长。
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