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2021学年第三章 勾股定理1 探索勾股定理教案
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这是一份2021学年第三章 勾股定理1 探索勾股定理教案，共8页。教案主要包含了课时安排，第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，作业布置，第二课时，教学重点等内容，欢迎下载使用。
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【教学重难点】
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【教学过程】
一、第一环节：创设情境，引入新课。
内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图作为与“外星人”联系的信号。今天我们就来一同探索勾股定理。
意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育。
二、第二环节：探索发现勾股定理。
（一）探究活动一：
1．内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边。通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫。
（二）探究活动二：
1．内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流。（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定。）
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，。
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，。
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，。
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：
结论2：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
（三）议一议：
内容：
（1）你能用直角三角形的边长、、来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度。在（2）中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方称为毕达哥拉斯定理）
意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理。
三、第三环节：勾股定理的简单应用。
（一）练习：1．基础巩固练习。
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2．生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
四、第四环节：课堂小结。
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流。
【作业布置】
1．教科书习题3.1；
2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足。
【第二课时】
【教学目标】
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2．运用勾股解决一些实际问题。
【教学重点】
勾股定理的证明及其应用。
【教学难点】
勾股定理的证明。
【教学过程】
一、创设问题情景，引入新课。
［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式；完全平方公式是非常重要的内容。谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边。例如，所以平方差公式是成立的。
［生］还可以用拼图的方法来推出。例如：。我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为；又可以表示为。所以。
［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观。上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理。同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确。因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系。
二、合作学习，探索新知。
（一）拼一拼。
1．在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形。并把它们剪下来。
2．用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？
（对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来。鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系的拼图推证方法说明勾股定理）。
［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形。观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是。要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可。
大正方形面积可以表示为：，又可以表示为：。
对比这两种表示方法，可得出。化简、整理得。因此我们得到了勾股定理。
［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为，利用这个图形也可以说明勾股定理。因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为，又可以表示为。对比两种表示方法可得，。化简得。同样得到了勾股定理。
［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理。利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献。在后面的课题学习中，我们还要继续研究它。
在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了。有人做过统计，说有五百余种。1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书。其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步。
［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？
［师］是的。1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明。据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”。由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话。
［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？
［师］可以。如下图所示。这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系。
［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半。
［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理。
［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形。所以它的面积有两种表示方法。既可以表示为，又可以表示为。对比两种表示方法可得
。化简，可得。
［师］很好。同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法。
（二）议一议。
［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系。那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？
［师］上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形。
［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形。谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子。
［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积。
a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．
［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？
［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积。由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积。在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2
［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有，a2+b2=c2（其中A、B是直角边，c为斜边）这样的关系。
［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2．它们恒成立吗？
［师］这位同学很善于思考，的确如此。同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小。
三、回顾反思，提炼升华。
这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题。A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
左图
右图
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学目标】
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【教学重难点】
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
【教学过程】
一、第一环节：创设情境，引入新课。
内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图作为与“外星人”联系的信号。今天我们就来一同探索勾股定理。
意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育。
二、第二环节：探索发现勾股定理。
（一）探究活动一：
1．内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边。通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫。
（二）探究活动二：
1．内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流。（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定。）
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，。
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，。
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，。
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：
结论2：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
（三）议一议：
内容：
（1）你能用直角三角形的边长、、来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度。在（2）中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方称为毕达哥拉斯定理）
意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理。
三、第三环节：勾股定理的简单应用。
（一）练习：1．基础巩固练习。
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2．生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
四、第四环节：课堂小结。
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流。
【作业布置】
1．教科书习题3.1；
2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足。
【第二课时】
【教学目标】
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2．运用勾股解决一些实际问题。
【教学重点】
勾股定理的证明及其应用。
【教学难点】
勾股定理的证明。
【教学过程】
一、创设问题情景，引入新课。
［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式；完全平方公式是非常重要的内容。谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边。例如，所以平方差公式是成立的。
［生］还可以用拼图的方法来推出。例如：。我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为；又可以表示为。所以。
［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观。上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理。同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确。因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系。
二、合作学习，探索新知。
（一）拼一拼。
1．在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形。并把它们剪下来。
2．用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？
（对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来。鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系的拼图推证方法说明勾股定理）。
［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形。观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是。要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可。
大正方形面积可以表示为：，又可以表示为：。
对比这两种表示方法，可得出。化简、整理得。因此我们得到了勾股定理。
［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为，利用这个图形也可以说明勾股定理。因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为，又可以表示为。对比两种表示方法可得，。化简得。同样得到了勾股定理。
［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理。利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献。在后面的课题学习中，我们还要继续研究它。
在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了。有人做过统计，说有五百余种。1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书。其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步。
［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？
［师］是的。1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明。据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”。由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话。
［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？
［师］可以。如下图所示。这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系。
［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半。
［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理。
［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形。所以它的面积有两种表示方法。既可以表示为，又可以表示为。对比两种表示方法可得
。化简，可得。
［师］很好。同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法。
（二）议一议。
［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系。那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？
［师］上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形。
［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形。谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子。
［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积。
a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．
［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？
［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积。由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积。在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2
［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有，a2+b2=c2（其中A、B是直角边，c为斜边）这样的关系。
［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2．它们恒成立吗？
［师］这位同学很善于思考，的确如此。同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小。
三、回顾反思，提炼升华。
这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题。A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
左图
右图
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．
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