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初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册1 无理数教学设计
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这是一份初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册1 无理数教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学准备，教学过程，第二课时，教学方法，作业布置等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
（一）教学知识点。
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。
2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。
（二）能力训练要求。
1．让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神。
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。
（三）情感与价值观要求。
1．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神。
【教学重点】
1．让学生经历无理数发现的过程。感知生活中确实存在着不同于有理数的数。
2．会判断一个数是否为有理数。
【教学难点】
1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。
2．判断一个数是否为有理数。
【教学准备】
两个边长为1的正方形，剪刀。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课：
［师］同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？
［生］在小学我们学过自然数、小数、分数。
［生］在初一我们还学过负数。
［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题。
二、讲授新课。
（一）问题的提出
［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？
［生］好。
［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下。
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师。
［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：
下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？
［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数。
［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2．
［生丙］由a2=2可判断a应是1点几。
［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答。
［生甲］我们组的结论是：因为=1，=4，=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数。
［生乙］因为，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。
［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了。
（二）做一做：
1．在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
2．设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
3．b是有理数吗？
［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容。
［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2。
［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答。
［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数。
［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数。
［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数。
［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数。关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的。早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述。后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现。也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数。
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神。
三、课堂练习。
（一）课本随堂练习。
如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3，h不可能是整数，也不可能是分数。
四、课时小结。
（一）通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性。
（二）能判断一个数是否为有理数。
五、补充作业。
边长分别为2、3的长方形，它的对角线长可能是整数吗？可能是分数吗？若边长分别为1、5、2呢？
解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a，得=+，=13。
a不可能是整数，也不可能是分数；
边长分别为1、5、2时，根据勾股定理可知，对角线长=2.5，是分数，也是无理数。
六、活动与探究。
习题4.1，问题解决2。
下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段。
解：如图，AB=2，BE=1，AB，BE是有理数。
AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2。
AE2=AB2+BE2=22+12=5。
AC，AD，AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数。
【第二课时】
【教学目标】
（一）知识与技能目标。
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。
2．会对所学的数进行分类，并说明理由。
3．探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数。
（二）过程与方法目标。
1．通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力。
2．通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类。
3．进一步让学生将有理数和无理数结合实际问题进行分析推理，培养学生解决问题的能力。
（三）情感与态度目标。
1．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作用。
2．充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神。
【教学重点】
1．无理数概念的建立过程。
2．了解无理数与有理数的区别，并能正确判断。
【教学难点】
1．无理数概念的建立及估算。
2．会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别。
【教学方法】
引导、探究、发现与合作交流相结合。
【教学过程】
一、第一环节：新课引入。
（一）想一想：
1．有理数如何分类的？
整数（如-1，0，2，3，……）：都可看成有限小数。
有理数
分数（如-，，，……）：可不可能都化成有限小数或无限小数？
2．上节课了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目。
二、第二个环节：活动与探究。
（一）探索无理数的小数表示。
内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计。
归纳总结：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b一定不是有理数。如果写成小数形式，它们是无限不循环小数。
意图：借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想。
（二）探索有理数的小数表示，明确无理数的概念。
内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数。
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，但是又不是循环的，是无限不循环小数。
故无限不循环小数叫无理数。（圆周率π=3014159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数）。
意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念。
三、第三个环节：知识分类整理。
内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
意图：培养学生总结归纳的能力，进一步发展学生的思维判断能力。
四、第四个环节：知识运用与巩固。
内容：认识一个数是无理数还是有理数。
例：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，-，0.5757575757…，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）
（一）练习。
1．判断下列说法是否正确：
（1）有限小数是有理数；（ ）
（2）无限小数都是无理数；（ ）
（3）无理数都是无限小数；（ ）
（4）有理数是有限数。（ ）
2．以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A面积为25的正方形；B面积为的正方形；
3
5
a
C面积为8的正方形；D面积为1.44的正方形。
3．一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗？
解：由勾股定理得：a2=32+52，即a2=34．因为34不是完全平方数，所以a不是有理数。
（二）强调：
1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
2．任何一个有理数都可以化成分数形式（p，q为整数且互质），而无理数则不能。
3．练一练：课本随堂练习。
意图：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类。
五、第五个环节：课时小结。
1．什么叫无理数？
2．数的分类？
3．如何判定一个数是无理数还是有理数。
意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力。
【作业布置】
习题4.2。
【教学目标】
（一）教学知识点。
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。
2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。
（二）能力训练要求。
1．让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神。
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。
（三）情感与价值观要求。
1．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神。
【教学重点】
1．让学生经历无理数发现的过程。感知生活中确实存在着不同于有理数的数。
2．会判断一个数是否为有理数。
【教学难点】
1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。
2．判断一个数是否为有理数。
【教学准备】
两个边长为1的正方形，剪刀。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课：
［师］同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？
［生］在小学我们学过自然数、小数、分数。
［生］在初一我们还学过负数。
［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题。
二、讲授新课。
（一）问题的提出
［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？
［生］好。
［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下。
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师。
［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：
下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？
［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数。
［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2．
［生丙］由a2=2可判断a应是1点几。
［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答。
［生甲］我们组的结论是：因为=1，=4，=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数。
［生乙］因为，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。
［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了。
（二）做一做：
1．在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
2．设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
3．b是有理数吗？
［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容。
［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2。
［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答。
［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数。
［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数。
［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数。
［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数。关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的。早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述。后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现。也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数。
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神。
三、课堂练习。
（一）课本随堂练习。
如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3，h不可能是整数，也不可能是分数。
四、课时小结。
（一）通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性。
（二）能判断一个数是否为有理数。
五、补充作业。
边长分别为2、3的长方形，它的对角线长可能是整数吗？可能是分数吗？若边长分别为1、5、2呢？
解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a，得=+，=13。
a不可能是整数，也不可能是分数；
边长分别为1、5、2时，根据勾股定理可知，对角线长=2.5，是分数，也是无理数。
六、活动与探究。
习题4.1，问题解决2。
下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段。
解：如图，AB=2，BE=1，AB，BE是有理数。
AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2。
AE2=AB2+BE2=22+12=5。
AC，AD，AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数。
【第二课时】
【教学目标】
（一）知识与技能目标。
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。
2．会对所学的数进行分类，并说明理由。
3．探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数。
（二）过程与方法目标。
1．通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力。
2．通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类。
3．进一步让学生将有理数和无理数结合实际问题进行分析推理，培养学生解决问题的能力。
（三）情感与态度目标。
1．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作用。
2．充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神。
【教学重点】
1．无理数概念的建立过程。
2．了解无理数与有理数的区别，并能正确判断。
【教学难点】
1．无理数概念的建立及估算。
2．会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别。
【教学方法】
引导、探究、发现与合作交流相结合。
【教学过程】
一、第一环节：新课引入。
（一）想一想：
1．有理数如何分类的？
整数（如-1，0，2，3，……）：都可看成有限小数。
有理数
分数（如-，，，……）：可不可能都化成有限小数或无限小数？
2．上节课了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目。
二、第二个环节：活动与探究。
（一）探索无理数的小数表示。
内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计。
归纳总结：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b一定不是有理数。如果写成小数形式，它们是无限不循环小数。
意图：借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想。
（二）探索有理数的小数表示，明确无理数的概念。
内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数。
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，但是又不是循环的，是无限不循环小数。
故无限不循环小数叫无理数。（圆周率π=3014159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数）。
意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念。
三、第三个环节：知识分类整理。
内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
意图：培养学生总结归纳的能力，进一步发展学生的思维判断能力。
四、第四个环节：知识运用与巩固。
内容：认识一个数是无理数还是有理数。
例：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，-，0.5757575757…，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）
（一）练习。
1．判断下列说法是否正确：
（1）有限小数是有理数；（ ）
（2）无限小数都是无理数；（ ）
（3）无理数都是无限小数；（ ）
（4）有理数是有限数。（ ）
2．以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A面积为25的正方形；B面积为的正方形；
3
5
a
C面积为8的正方形；D面积为1.44的正方形。
3．一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗？
解：由勾股定理得：a2=32+52，即a2=34．因为34不是完全平方数，所以a不是有理数。
（二）强调：
1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
2．任何一个有理数都可以化成分数形式（p，q为整数且互质），而无理数则不能。
3．练一练：课本随堂练习。
意图：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类。
五、第五个环节：课时小结。
1．什么叫无理数？
2．数的分类？
3．如何判定一个数是无理数还是有理数。
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