2019年山东青岛市南区七年级下学期北师版数学期末考试试卷

这是一份2019年山东青岛市南区七年级下学期北师版数学期末考试试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列计算中，正确的是
A. 3a2=6a2B. a2⋅a5=a10C. x43=x12D. a6÷a2=a3

2. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的一组是
A. 5 cm，3 cm，4 cmB. 1 cm，1 cm，2 cm
C. 1 cm，2 cm，3 cmD. 6 cm，10 cm，3 cm

3. 下面有 4 个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 2015年4 月，生物学家发现一种病毒的长度约为 0.0000043 米，利用科学记数法表示为
A. 4.3×106 米B. 4.3×10−5 米C. 4.3×10−6 米D. 43×107 米

5. 如图，下列条件中能判定直线 l1∥l2 的是
A. ∠1=∠2B. ∠1=∠5C. ∠1+∠3=180∘D. ∠3=∠5

6. 小明把如图所示的 3×3 的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域（四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上）的概率是
A. 12B. 23C. 49D. 59

7. 如图，边长为 a+2 的正方形纸片剪出一个边长为 a 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 2，则另一边长是
A. 2B. a+4C. 2a+2D. 2a+4

8. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于 E，则下列结论：① DE=CD；② AD 平分 ∠CDE；③ ∠BAC=∠BDE；④ BE+AC=AB，其中正确的是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 计算：12−1+−20= ．

10. 一不透明的口袋里装有白球和红球共 20 个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次模拟试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在 0.2 左右，则口袋中红色球可能有 个．

11. 如图，在 △ABC 中，边 BC 长为 10，BC 边上的高 ADʹ 为 6，点 D 在 BC 上运动，设 BD 长为 x0
12. 如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 M，若 CM=3 cm，BC=5 cm，AM=4 cm．则 △MBC 的周长为 cm．

13. 若 2x+a3x−4=bx2−2x+6，则 a+b= ．

14. 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面 AE 于点 A，CD 平行于地面 AE，则 ∠ABC+∠BCD= 度．

15. 如图，用边长为 4 cm 的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，则图中阴影部分的面积为 cm2．

16. 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如，任意找一个 3 的倍数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和 ⋯ 重复运算下去，就能得到一个固定的数字 t，我们称它为数字“黑洞”．你能找到数字 t 吗?数字 t= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段 a 和 ∠α，如图．
求作：△ABC，使得 AB=a，BC=2a，∠ABC=∠α．

18. 计算与化简：
（1）2xy⋅3x2y2；
（2）x+y2x−y−2x−y2x+y；
（3）用简便方法计算：20162−2017×2015；
（4）先化简，再求值：x−y2−yy−2x−3x÷13x，其中 x=2，y=−1．

19. 在括号内填写理由．
如图，已知 ∠B+∠BCD=180∘，∠B=∠D．求证：∠E=∠DFE．
证明：∵∠B+∠BCD=180∘（ ）．
∴AB∥CD（ ），
∴∠B=∠DCE（ ），
又 ∵∠B=∠D（ ），
∴∠DCE=∠D（ ），
∴AD∥BE（ ）．
∴∠E=∠DFE（ ）．

20. 甲、乙两人玩赢卡片游戏，工具是一个如图所示的转盘（等分成 8 份），游戏规定：自由转动的转盘，当转盘停止后指针指向字母“A”，则甲输给乙 2 张卡片，若指针指向字母“B”，则乙输给甲 3 张卡片；若指针指向字母“C”，则乙输给甲 1 张卡片（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）转动一次转盘，求甲赢取 1 张卡片的概率；
（2）转动一次转盘，求乙赢取 2 张卡片的概率；
（3）转动一次转盘，求甲赢取卡片的概率．

21. 如图，已知 AE=CF，∠AFD=∠CEB．
（1）若运用 ASA 判定 △ADF≌△CBE，则需添加条件 ；
（2）若运用 SAS 判定 △ADF≌△CBE，则需添加条件 ；
（3）若添加条件 ∠D=∠B，则 AD∥BC 吗?请说明理由．

22. “龟兔赛跑”的故事同学们非常熟悉，图中的线段 OD 和折线 OABC 表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系．请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）折线 OABC 表示赛跑过程中 （填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全程是 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米?乌龟每分钟爬多少米?
（3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子?
（4）兔子醒来，以 400 米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了 0.5 分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟?

23. 数学问题：如图 1，在 △ABC，∠A=α，∠ABC，∠ACB 的 n 等分线分别交于点 O1，O2，⋯，On−1，求 ∠BOn−1C 的度数?
（1）问题探究：我们从较为简单的情形入手．
探究一：如图 2，在 △ABC 中，∠A=α，∠ABC，∠ACB 的角平分线分别交于点 O1，求 ∠BO1C 的度数?
（2）探究二：如图3，∠A=α，∠ABC，∠ACB 三等分线分别交于点 O1，O2，求 ∠BO2C 的度数．
（3）探究三：如图4，∠A=α，∠ABC，∠ACB 四等分线分别交于点 O1，O2，O3，求 ∠BO3C 的度数．
（仿照上述方法，写出探究过程）
问题解决：如图 1，在 △ABC 中，∠A=α，∠ABC，∠ACB 的 n 等分线分别交于点 O1，O2，⋯，On−1，求 ∠BOn−1C 的度数．
问题拓广：
如图2，在 △ABC 中，∠A=α，∠ABC，∠ACB 的角平分线交于点 O1，两条角平分线构成一角 ∠BO1C．
得到 ∠BO1C=90∘+12α．
探究四：如图 3，∠A=α，∠ABC，∠ACB 三等分线分别交于点 O1，O2，四条等分线构成两个角 ∠BO1C，∠BO2C，则 ∠BO2C+∠BO1C= ．
探究五：如图 4，∠A=α，∠ABC，∠ACB 四等分线分别交于点 O1，O2，O3，六等分线构成两个角 ∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则 ∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．
探究六：如图1，在 △ABC 中，∠A=α，∠ABC，∠ACB 的 n 等分线分别交于点 O1，O2，⋯，On−1，2n−2 等分线构成 n−1 个角 ∠BOn−1C⋯∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则 ∠BOn−1C+⋯∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，AB=AC=4 cm，∠BAC=90∘，O 为边 BC 上一点，OA=OB=OC，点 M，N 分别在边 AB，AC 上运动，在运动过程中始终保持 AN=BM．
（1）在运动过程中，OM 与 ON 相等吗?请说明理由；
（2）在运动过程中，OM 与 ON 垂直吗?请说明理由；
（3）在运动过程中，四边形 AMON 的面积是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出四边形 AMON 的面积．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C
4. C
5. C
6. C
7. C
8. D
第二部分
9. 3
10. 16
11. y=30−3x
12. 12
13. 8
14. 270
15. 9
16. 153
第三部分
17. 如图所示：
△ABC 即为所求．
18. （1） 2xy⋅3x2y2=2xy⋅9x4y2=18x5y3.
（2） x+y2x−y−2x−y2x+y=2x2−xy+2xy−y2−4x2+y2=−2x2+xy.
（3） 20162−2017×2015=20162−2016+1×2016−1=20162−20162+1=1.
（4） x−y2−yy−2x−3x÷13x=x2−2xy+y2−y2+2xy−9=x2−9.
当 x=2，y=−1 时，
原式=−5．
19. 已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】∵∠B+∠BCD=180∘（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等），
又 ∵∠B=∠D（已知），
∴∠DCE=∠D（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠DFE（两直线平行，内错角相等）．
20. （1） 共有 8 种等可能的结果，甲赢取卡片有 4 种结果，乙赢取卡 2 张片有 4 种结果，甲赢取卡 1 张片有 3 种结果，
甲赢取 1 张卡片的概率是：P甲赢取一张卡片=38；
（2） 乙赢取 2 张卡片的概率是：P乙赢取2张卡片=48=12；
（3） 甲赢取卡片的概率是：P甲赢取卡片=48=12．
21. （1） ∠A=∠C
【解析】∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠A=∠C,AF=CE,∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBEASA．
（2） DF=BE
【解析】∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在 △ADF 和 △CBE 中，
DF=BE,∠AFD=∠CEB,AF=CE,
∴△ADF≌△CBESAS．
（3） AD∥BC，理由如下：
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠D=∠B,∠AFD=∠CEB,AF=CE,
∴△ADF≌△CBEAAS，
∴∠A=∠C，
∴AD∥BC．
22. （1） 兔子；1500
【解析】∵ 乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；
∴ 折线 OABC 表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的路程为 1500 米；
（2） 结合图象得出：兔子在起初每分钟跑 700 米．
1500÷30=50（米）
∴ 乌龟每分钟爬 50 米．
（3） 700÷50=14（分钟）
∴ 乌龟用了 14 分钟追上了正在睡觉的兔子．
（4） 30+0.5−1−1500−700÷400=27.5（分钟），
∴ 兔子中间停下睡觉用了 27.5 分钟．
23. （1） 由题意可得 ∠O1BC=12∠ABC，∠O1CB=12∠ACB，
所以 ∠O1BC+∠O1CB=12∠ABC+∠ACB=12180∘−α，
所以 ∠BO1C=180∘−12180∘−α=90∘+12α．
（2） 由题意可得 ∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，
所以 ∠O2BC+∠O2CB=23∠ABC+∠ACB=23180∘−α，
所以 ∠BO2C=180∘−23180∘−α=60∘+23α．
（3） 180∘+α；270∘+32α；n−190∘+12α
【解析】探究三：由题意可得 ∠O3BC=34∠ABC，∠O3CB=34∠ACB，
所以 ∠O3BC+∠O3CB=34∠ABC+∠ACB=34180∘−α，
所以 ∠BO3C=180∘−34180∘−α=45∘+34α．
问题解决：由题意可得 ∠On−1BC=n−1n∠ABC，∠On−1CB=n−1n∠ACB，
所以 ∠On−1BC+∠On−1CB=n−1n∠ABC+∠ACB=n−1n180∘−α，
所以 ∠BOn−1C=180∘−n−1n180∘−α=180∘n+n−1nα．
探究四：由题意可得 ∠O1BC=13∠ABC，∠O1CB=13∠ACB，
所以 ∠O1BC+∠O1CB=13∠ABC+∠ACB=13180∘−α，
所以 ∠BO1C=180∘−13180∘−α=120∘+13α．
由探究二得，∠BO2C=60∘+23α．
所以 ∠BO2C+∠BO1C=60∘+23α+120∘+13α=180∘+α．
探究五：由题意可得 ∠O1BC=14∠ABC，∠O1CB=14∠ACB，
所以 ∠O1BC+∠O1CB=14∠ABC+∠ACB=14180∘−α，
所以 ∠BO1C=180∘−14180∘−α=135∘+14α．
由题意可得 ∠O2BC=12∠ABC，∠O2CB=12∠ACB，
所以 ∠O2BC+∠O2CB=12∠ABC+∠ACB=12180∘−α，
所以 ∠BO2C=180∘−12180∘−α=90∘+12α．
由题意可得 ∠O3BC=34∠ABC，∠O3CB=34∠ACB，
所以 ∠O3BC+∠O3CB=34∠ABC+∠ACB=34180∘−α，
所以 ∠BO3C=180∘−34180∘−α=45∘+34α．
所以
∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C=45∘+34α+90∘+12α+135∘+14α=270∘+32α.
探究六：由题意可得 ∠O1BC=1n∠ABC，∠O1CB=1n∠ACB，
所以 ∠O1BC+∠O1CB=1n∠ABC+∠ACB=1n180∘−α，
所以 ∠BO1C=180∘−1n180∘−α=n−1n⋅180∘+1nα．
由题意可得 ∠O2BC=2n∠ABC，∠O2CB=2n∠ACB，
所以 ∠O2BC+∠O2CB=2n∠ABC+∠ACB=2n180−α，
所以 ∠BO2C=180∘−2n180∘−α=n−2n⋅180∘+2nα．
由题意可得 ∠O3BC=3n∠ABC，∠O3CB=3n∠ACB，
所以 ∠O3BC+∠O3CB=3n∠ABC+∠ACB=3n180∘−α，
所以 ∠BO3C=180∘−3n180∘−α=n−3n⋅180∘+3nα．
⋯
由问题解决得，∠BOn−1C=180∘n+n−1nα．
所以
∠BOn−1C+⋯∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C=180∘n+n−1nα+⋯+n−3n⋅180∘+3nα+n−2n⋅180∘+2nα+n−1n⋅180∘+1nα=1n+2n+⋯n−3n+n−2n+n−1n⋅180∘+n−1n+n−2n+⋯+3n+2n+1n⋅α=1n+2n+⋯n−3n+n−2n+n−1n⋅180∘+α=12n−1⋅180∘+α=n−190∘+12α.
24. （1） 相等，
∵AC=AB，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠C=45∘，
∵OA=OB=OC，
∴∠BAO=∠CAO=45∘，∠AOB=∠AOC=90∘，
∴∠B=∠BAO=∠CAO，
在 △AON 和 △BOM 中，
OB=OA,∠B=∠CAO,BM=AN,
∴△AON≌△BOMSAS，
∴ON=OM．
（2） 垂直，
由（1）知，△AON≌△BOM，
∴∠NOA=∠MOB，
∵∠MOB+∠AOM=90∘，
∴∠NOA+∠AOM=90∘，
∴ON⊥OM．
（3） 不变，
由（1）知，△AON≌△BOM，
∴S△AON=S△BOM，
∴S△AON+S△AOM=S△BOM+S△AOM，
∴S四边形AMON=S△AOB，
∴S四边形AMON=12S△ABC=12×12×4×4=4 cm2．