2019年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列图形中，一定相似的是
A. 两个正方形B. 两个菱形
C. 两个直角三角形D. 两个等腰三角形

2. 如图，已知 AB∥CD∥EF，它们依次交直线 l1，l2 于点 A，D，F 和点 B，C，E，如果 AD:DF=3:1，BE=10，那么 CE 等于
A. 103B. 203C. 52D. 152

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 ∠A=α，BC=a，那么 AC 等于
A. a⋅tanαB. a⋅ctαC. a⋅sinαD. a⋅csα

4. 下列判断错误的是
A. 0⋅a=0
B. 如果 a+b=2c，a−b=3c，其中 c≠0，那么 a∥b
C. 设 e 为单位向量，那么 e=1
D. 如果 a=2b，那么 a=2b 或 a=−2b

5. 如图，已知 △ABC，D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中，不能确定 △ADE∽△ACB 的是
A. ∠AED=∠BB. ∠BDE+∠C=180∘
C. AD⋅BC=AC⋅DED. AD⋅AB=AE⋅AC

6. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是
A. ac>0B. b>0C. a+c<0D. a+b+c=0

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 xx+y=25，那么 xy= ．

8. 计算：3a−2b−2a−3b= ．

9. 两个相似三角形的相似比为 1:3，则它们周长的比为 ．

10. 抛物线 y=x2−4x−1 的顶点坐标是 ．

11. 抛物线 y=−x2+mx−3m 的对称轴是直线 x=1，那么 m= ．

12. 抛物线 y=x2−2 在 y 轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）

13. 如果 α 是锐角，且 sinα=cs20∘，那么 α= 度．

14. 如图，某水库大坝的橫断面是梯形 ABCD，坝高为 15 米，迎水坡 CD 的坡度为 1:2.4，那么该水库迎水坡 CD 的长度为 米．

15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在这些小正方形的顶点上，则 tan∠ABC 的值为 ．

16. 在 △ABC 中，AB=AC，高 AH 与中线 BD 相交于点 E，如果 BC=2，BD=3，那么 AE= ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，tan∠CAB=2，将 △ABC 绕点 A 旋转后，点 B 落在 AC 的延长线上的点 D，点 C 落在点 E，DE 与直线 BC 相交于点 F，那么 CF= ．

18. 对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点 S 到图形上的任意一点 P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点 S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形 ABCDE，S1 是“亮点”，S2 不是“亮点”，如果 AB∥DE，AE∥DC，AB=2，AE=1，∠B=∠C=60∘，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin30∘−1+1−ct30∘+3tan30∘−1cs245∘．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，CE=2BE，AC，DE 相交于点 F．
（1）求 DF:EF 的值；
（2）如果 CB=a，CD=b，试用 a，b 表示向量 EF．

21. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AE2=AD⋅AB，∠ABE=∠ACB．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果 S△ADE:S四边形DBCE=1:8，求 S△ADE:S△BDE 的值．

22. 如图，在港口 A 的南偏东 37∘ 方向的海面上，有一巡逻艇 B，A，B 相距 20 海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口 A 的北偏东 67∘ 方向上，有一渔船 C 发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以 25 海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在 1 小时内到达渔船 C 处?（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin67∘≈1213，cs67∘≈513，tan67∘≈125）

23. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，点 F 在 DE 的延长线上，AD=AF，AE⋅CE=DE⋅EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果 AE⋅BD=EF⋅AF，求证：AB=AC．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y=−x2 平移后经过点 A−1,0，B4,0，且平移后的抛物线与 y 轴交于点 C（如图）．
（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点 D 在线段 CB 上，且 CD=2，求 ∠CAD 的正弦值；
（3）点 E 在 y 轴上且位于点 C 的上方，点 P 在直线 BC 上，点 Q 在平移后的抛物线上，如果四边形 ECPQ 是菱形，求点 Q 的坐标．

25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=18，DB=DC=15，点 E，F 分别在线段 BD，CD 上，DE=DF=5．AE 的延长线交边 BC 于点 G，AF 交 BD 于点 N 、其延长线交 BC 的延长线于点 H．
（1）求证：BG=CH；
（2）设 AD=x，△ADN 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接 FG，当 △HFG 与 △ADN 相似时，求 AD 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】A．两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B．两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C．两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D．两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
2. C【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE=3，
∴BC=3CE，
∵BC+CE=BE，
∴3CE+CE=10，
∴CE=52．
3. B【解析】ctα=ACBC，
∴AC=BC⋅ctα=a⋅ctα．
4. D【解析】A、 0⋅a=0，故本选项不符合题意．
B、由 a+b=2c，a−b=3c 得到：a=52c，b=−12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．
C、 e 为单位向量，那么 e=1，故本选项不符合题意．
D、由 a=2b 只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．
5. C
【解析】A．由 ∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断 △ADE∽△ACB；
B．由 ∠BDE+∠C=180∘，∠ADE+∠BDE=180∘ 得 ∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断 △ADE∽△ACB；
C．由 AD⋅BC=AC⋅DE 得 ADAC=DEBC，不能判断 △ADE∽△ACB；
D．由 AD⋅AB=AE⋅AC 得 ADAC=AEAB，∠A=∠A，故能确定 △ADE∽△ACB．
6. D【解析】（A）由图象可知：a<0，c>0，
∴ac<0，故A错误；
（B）由对称轴可知：x=−b2a<0，
∴b<0，故B错误；
（C）由对称轴可知：x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∵x=1 时，y=0，
∴a+b+c=0，
∴c=−3a，
∴a+c=a−3a=−2a>0，故C错误．
第二部分
7. 23
【解析】∵xx+y=25，
∴x+yx=52，1+yx=52，yx=32，
∴xy=23．
8. a
【解析】3a−2b−2a−3b=3a−3b−2a+3b=3−2a+−3+3b=a.
9. 1:3
【解析】∵ 两个相似三角形的相似比为 1:3，
∴ 它们的周长比为：1:3．
10. 2,−5
【解析】∵y=x2−4x−1=x2−4x+4−4−1=x−22−5，
∴ 抛物线 y=x2−4x−1 的顶点坐标是 2,−5．
11. 2
【解析】∵ 抛物线 y=−x2+mx−3m 的对称轴是直线 x=1，
∴−m2×−1=1，
∴m=2．
12. 上升
【解析】∵y=x2−2，
∴ 其对称轴为 y 轴，且开口向上，
∴ 在 y 轴右侧，y 随 x 增大而增大，
∴ 其图象在 y 轴右侧部分是上升．
13. 70
【解析】∵sinα=cs20∘，
∴α=90∘−20∘=70∘．
14. 39
【解析】过点 D 作 DE⊥BC 于点 E．
∵ 坝高为 15 米，迎水坡 CD 的坡度为 1:2.4，
∴DE=15 m，则 DEEC=12.4，故 EC=2.4×15=36m，
则在 Rt△DEC 中，DC=ED2+EC2=39m．
15. 12
【解析】连接 CD，如图所示，
设每个小正方形的边长为 a，则 CD=2a，BD=22a，BC=10a，
∵22a2+2a2=10a2，
∴△BCD 是直角三角形，
∴tan∠ABC=tan∠DBC=CDBD=2a22a=12．
16. 23
【解析】如图所示，连接 DH．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴H 为 BC 的中点，
又 ∵D 为 AC 的中点，
∴DH 为 △ABC 的中位线，
∴DH∥AB，DH=12AB，
∴△DEH∽△BEA，
∴EDEB=DHBA=12=EHEA，
又 ∵BD=3，
∴BE=2，
∴Rt△BEH 中，EH=BE2−BH2=3，
∴AE=2EH=23．
17. 5−12
【解析】如图，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，tan∠CAB=2，
∴BC=AC⋅tan∠CAB=2，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵ 将 △ABC 绕点 A 旋转后，点 B 落在 AC 的延长线上的点 D，
∴AD=AB=5，∠D=∠B，
∵AC=1，
∴CD=5−1，
∵∠FCD=∠ACB=90∘，
∴tanD=tan∠CAB=CDCF=2，
∴CF=5−12．
18. 34
【解析】如图，延长 DE 交 BC 于点 M，延长 AE 交 BC 于点 N．
由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是 △EMN，
∵AB∥DE，AE∥DC，
∴∠EMN=∠B=60∘，∠ENM=∠C=60∘，
∴△EMN，△ABN 是等边三角形，
∴AN=AB=2，
∵AE=1，
∴EN=1，
∴S△EMN=34×12=34．
第三部分
19. sin30∘−1+1−ct30∘+3tan30∘−1cs245∘=12−1+1−3+3×33−1222=2+3−1+1−2=3.
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DFEF=ADEC，
∵CE=2BE，
∴BCEC=32，
∴DFEF=32．
（2） ∵CE=2BE，
∴CE=23CB，
∴CE=23CB=23a，
∵ED=CD−CE，
∴ED=b−23a，
∵DFEF=32，
∴EF=25ED，
∴EF=25ED=25b−23a=25b−415a．
21. （1） ∵AE2=AD⋅AB，
∴AEAD=ABAE，
又 ∵∠EAD=∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴∠AED=∠ABE，
∵∠ABE=∠ACB，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE∥BC．
（2） ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2，
∵S△ADES四边形DBCE=18，
∴S△ADES△ABC=19，
∴ADAB2=19，
∴ADAB=13，
∴ADDB=12，
∴S△ADES△BDE=12．
22. 过点 A 作 AH⊥BC，垂足为点 H．
由题意，得 ∠ACH=67∘，∠B=37∘，AB=20．
在 Rt△ABH 中，
∵sinB=AHAB，
∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37∘≈12，
∵csB=BHAB，
∴BH=AB⋅cs∠B=20×cs37∘≈16，
在 Rt△ACH 中，
∵tan∠ACH=AHCH，
∴CH=AHtan∠ACH=12tan67∘≈5，
∵BC=BH+CH，
∴BC≈16+5=21．
∵21÷25<1，
∴ 巡逻艇能在 1 小时内到达渔船 C 处．
23. （1） ∵AD=AF，
∴∠ADF=∠F，
∵AE⋅CE=DE⋅EF，
∴AEDE=EFCE，
又 ∵∠AEF=∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴∠F=∠C，
∴∠ADF=∠C，
又 ∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
（2） ∵AE⋅BD=EF⋅AF，
∴AEAF=EFBD，
∵AD=AF，
∴AEAD=EFBD，
∵∠AEF=∠EAD+∠ADE，∠ADB=∠EAD+∠C，
∴∠AEF=∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，
∴∠F=∠B，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC．
24. （1） 设平移后的抛物线的解析式为 y=−x2+bx+c．将 A−1,0，B4,0，代入得 −1−b+c=0,−16+4b+c=0,
解得：b=3,c=4.
∴y=−x2+3x+4．
（2） 如图 1，
∵y=−x2+3x+4，
∴ 点 C 的坐标为 0,4．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+4，将 B4,0，代入得 kx+4=0，解得 k=−1 ，
∴y=−x+4．
设点 D 的坐标为 m,4−m．
∵CD=2，
∴2=2m2．
解得 m=1 或 m=−1（舍去），
∴ 点 D 的坐标为 1,3．
过点 D 作 DM⊥AC，过点 B 作 BN⊥AC，垂足分别为点 M，N．
∵12AC⋅BN=12AB⋅OC，
∴17⋅BN=5×4．
∴BN=2017=201717．
∵DM∥BN，
∴DMBN=CDCB．
∴DMBN=242．
∴DM=51717．
∴sin∠CAD=DMAD=51717×113=5221221．
（3） 如图 2，
设点 Q 的坐标为 n,−n2+3n+4．
如果四边形 ECPQ 是菱形，则 n>0，PQ∥y轴，PQ=PC，点 P 的坐标为 n,−n+4．
∵PQ=−n2+3n+4+n−4=4n−n2，PC=2n，
∴4n−n2=2n．
解得 n=4−2 或 n=0（舍）．
∴ 点 Q 的坐标为 4−2,52−2．
25. （1） ∵AD∥BC，
∴ADBG=DEEB，ADCH=DFFC．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴DEEB=DFFC=12，
∴ADBG=ADCH．
∴BG=CH．
（2） 过点 D 作 DP⊥BC，过点 N 作 NQ⊥AD，垂足分别为点 P，Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵ADBG=DEEB=12，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴ADBH=DNNB，
∴x18+2x=DNNB，
∴x18+2x+x=DNNB+DN=DN15，
∴DN=5xx+6．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴NQDN=PDBD，
∴NQ=4xx+6．
∴y=12AD⋅NQ=12x⋅4x6+x=2x2x+60 （3） ∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（ⅰ）当 ∠ADN=∠FGH 时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴BGBC=DFDC，
∴BG18=515，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ⅱ）当 ∠ADN=∠GFH 时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又 ∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴ADDN=FCCG，
∴x⋅18−2x=5xx+6⋅10，
整理得 x2−3x−29=0，
解得 x=3+552 或 x=3−552（舍去）．
综上所述，当 △HFG 与 △ADN 相似时，AD 的长为 3 或 3+552．