2018年青岛市市南区中考一模数学试卷

这是一份2018年青岛市市南区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2−5 的相反数是
A. −2−5B. 2−5C. 5−2D. 2+5

2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

3. 肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记数法表示为
A. 7.1×107B. 0.71×10−6C. 7.1×10−7D. 71×10−8

4. 如图，在 △ABC 中，∠B=32∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，若 DE 垂直平分 AB，则 ∠C 的度数为
A. 90∘B. 84∘C. 64∘D. 58∘

5. 计算 2a3b22÷ab2 的结果为
A. 2a2B. 2a5b2C. 4a4b2D. 4a5b2

6. 若一次函数 y=kx+b 图象经过第一、三、四象限，则关于 x 的方程 x2−2x+kb+1=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A2,4，B4,1，以原点 O 为位似中心，将 △OAB 缩小为原来的 12，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是
A. 2,12B. 1,2
C. 4,8 或 −4,−8D. 1,2 或 −1,−2

8. 如图，二次函数 y=ax2+c 的图象与反比例函数 y=cx 的图象相交于 A−32,1，则关于 x 的不等式 ax2+c>cx 的解集为
A. x<−32B. x>−32
C. x<−32 或 x>0D. −32
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：24+123−−12−2= ．

10. 据统计，2017 年国庆假日期间，我市共接待游客 600 万人次．其中各景区接待游客人次占总接待游客人次比例如图所示．预计今年国庆假日期间我市总接待游客人次将比去年增长 20%，则预计今年国庆假日期间崂山景区将接待游客约为 万人次．

11. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠A=26∘，∠AOB=100∘，则 ∠B 的度数为 ∘．

12. 某学校要新购置一批课桌椅，现有甲、乙两种规格的课桌椅可供选择．已知购买甲种课桌椅 3 套比购买乙种 2 套共多 60 元；购买甲种 5 套和乙种 3 套，共需 1620 元．求甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是多少元?若设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是 x 和 y 元，根据题意，可列方程组为 ．

13. 用硬纸壳做一个如图所示的几何体，其底面是圆心角为 300∘ 的扇形，则该几何体的表面积为 cm2．

14. 如图，点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 和 BD 的交点，点 E 是 BD 上一点，过点 D 作 DF⊥CE 于点 F，交 OC 于点 G，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，已知正方形 ABCD 的边长为 2，∠ECH=30∘，则线段 CG 的长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，△ABC 是一块三角形木料，现要在该木料中切割出一个圆形模板，要求圆形模板经过木料边缘 AB 上的点 P，且与边缘 AB，AC 都相切，请在图中画出符合条件的圆形模板．

16. （1）化简：a−2ab−b2a×a2+aba2−b2；
（2）已知 −5，2x+1，2−12x 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求 x 的取值范围．

17. 甲乙两人用两张黑桃和两张红心共四张扑克牌做游戏，规则如下：把四张扑克牌背面朝上，充分洗匀后，随机从中抽取两张，若这两张牌的花色相同，则甲获胜，否则乙获胜．这个游戏对双方公平吗?请说明理由．

18. 如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD 是两条拉索，其中拉索 CD 与水平桥面 BE 的夹角为 72∘，其底端与立柱 AB 底端的距离 BD 为 4 米，两条拉索顶端距离 AC 为 2 米，若要使拉索 AE 与水平桥面的夹角为 35∘，请计算拉索 AE 的长．（结果精确到 0.1 米）
（参考数据：sin35∘≈1425，cs35∘≈45，tan35∘≈710，sin72∘≈1920，cs72∘≈310，tan72∘≈196）

19. 某市为了解学生数学学业水平，对八年级学生进行质量监测．甲、乙两个学校八年级各有 300 名学生参加了质量监测，分别从这两所学校各随机抽取了 20 名学生的本次测试成绩如下（满分 100 分）
甲：75 86 74 81 76 75 70 95 70 79 81 74 70 80 86 69 83 75 86 75
乙：73 93 88 81 40 72 81 94 83 77 83 80 70 81 73 78 82 80 70 81
将收集的数据进行整理，制成如下条形统计图：
注：60 分以下为不及格，60∼69 分为及格，70∼79 分为良好，80 分及以上为优秀．
通过对两组数据的分析制成下面的统计表，请根据以上信息回答下列问题：
学校平均数中位数众数方差甲7875.5b43.3乙78a81109.25
（1）补全条形统计图，并估计本次监测乙校达到优秀的学生总共约有多少人?
（2）求出统计表中的 a，b 的值；
（3）请判断哪个学校的数学学业水平较好，说说你的理由．

20. 某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克 15 元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）的关系如表
每千克售价x元253040每周销售量y千克240200150
（1）写出每周销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）的函数关系式；
（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于 300 千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元?
（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利 1200 元?说明理由．

21. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长 BC 到点 F，使得 AE=CF，连接 EF，分别交 AB，CD 于点 H，G，连接 DH，BG．
（1）求证：△AEH≌△CFG；
（2）连接 BE，若 BE=DE，则四边形 BGDH 是什么特殊四边形?请说明理由．

22. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数 y=ax2+bx 来表示．已知大棚在地面上的宽度 OA 为 8 米，距离 O 点 2 米处的棚高 BC 为 94 米．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米?
（3）若借助横梁 DE 建一个门，要求门的高度不低于 1.5 米，则横梁 DE 的宽度最多是多少米?

23. 【问题提出】：
将一个边长为 nn≥2 的正三角形的三条边 n 等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少呢?
（1）【问题探究】：
要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为 2 的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?
如图 1，连接边长为 2 的正三角形三条边的中点，从上往下：共有 1+2+3=6 个结点．边长为 1 的正三角形，第一层有 1 个，第二层有 2 个，共有 1+2=3 个，线段数为 3×3=9 条；边长为 2 的正三角形有 1 个，线段数为 3 条，总共有 3×1+2+1=2×1+2+3=12 条线段．
探究二：将一个边长为 3 的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?
如图 2，连接边长为 3 的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下：共有 1+2+3+4=10 个结点．边长为 1 的正三角形，第一层有 1 个，第二层有 2 个，第三层有 3 个，共有 1+2+3=6 个，线段数为 3×6=18 条；边长为 2 的正三角形有 1+2=3 个，线段数为 3×3=9 条，边长为 3 的正三角形有 1 个，线段数为 3 条，总共有 3×1+2+3+1+2+1=3×1+2+3+4=30 条线段．
探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为 4 的正三角形的三条边四等分（图 3），连接各边对应的等分点，该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?（画出示意图，并写出探究过程）
（2）【问题解决】：
请你仿照上面的方法，探究将一个边长为 nn≥2 的正三角形的三条边 n 等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?（写出探究过程）
（3）【实际应用】：
将一个边长为 30 的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?

24. 如图 1，矩形 ABCD 中，AB=8 cm，AD=10 cm，点 E 是 AD 上一点，AE=6 cm，连接 BE，CE．点 P 从点 E 出发，沿 EB 方向向点 B 匀速运动，同时点 Q 从点 C 出发，在 BC 的延长线上匀速运动，P，Q 的运动速度均为 1 cm/s．连接 DQ，PQ，PQ 交 CE 于点 F，设点 P，Q 的运动时间为 ts0（1）当 t 为何值时，PQ⊥BE?
（2）设四边形 PQDE 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻 t，使得 S四边形PQDE:S矩形ABCD=7:10?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图 2，过点 P 作 PG⊥CE 于点 G，在 P，Q 运动过程中，线段 FG 的长度是否发生变化?若变化，说明理由：若不变化，求出线段 FG 的长度．
答案
第一部分
1. C【解析】依题意得：2−5 的相反数是 −2−5=−2+5．
2. A【解析】第 1 个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
第 2 个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
第 3 个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项错误；
第 4 个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确．
3. C
4. B【解析】∵DE 垂直平分 AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32∘，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=32∘，
∴∠C=180∘−32∘−32∘−32∘=84∘．
5. D
【解析】原式=4a6b4÷ab2=4a5b2．
6. A【解析】∵ 一次函数 y=kx+b 图象经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0，
∴kb<0，
∴Δ=−22−4kb+1=4−4kb−4=−4kb>0，
∴ 关于 x 的方程 x2−2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根．
7. D【解析】以 O 为位似中心，把 △OAB 缩小为原来的 12，
则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标为 2×12,4×12 或 2×−12,4×−12，
即 1,2 或 −1,−2．
8. C【解析】∵ 点 A 横坐标为 −32，
∴ 不等式 ax2+c>cx 的解集是 x<−32 或 x>0．
第二部分
9. 22−2
【解析】原式=243+123−4=22+2−4=22−2.
10. 108
【解析】今年国庆假日期间我市总接待游客人次为 600×1+20%=720（万人次），
所以预计今年国庆假日期间崂山景区将接待游客约为 720×1−8%−11%−66%=108（万人次）．
11. 76
【解析】如图，设 OB 与 AC 交于点 D，
∵ 在 △AOD 中，∠A=26∘，∠AOD=100∘，
∴∠ADO=180∘−26∘−100∘=54∘，
∴∠CDB=∠ADO=54∘．
又 ∵∠DCB=12∠AOB=50∘，
∴ 在 △CBD 中，∠B=180∘−50∘−54∘=76∘．
12. 3x=2y+60,5x+3y=1620
【解析】设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是 x 和 y 元，
根据题意可得：3x=2y+60,5x+3y=1620.
13. 60+65π
【解析】侧面积为 10×6+300×π×3180=60+50π，
底面积之和为：2×300×π×32360=15π，
∴ 该几何体的表面积为 60+50π+15π=60+65πcm2．
14. 6−2
【解析】四边形 ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，OD=OC，
∴∠DOG=∠COE=90∘，
∴∠OEC+∠OCE=90∘，
∵DF⊥CE，
∴∠OEC+∠ODG=90∘，
∴∠ODG=∠OCE，
在 △DOG 和 △COE 中，
∠ODG=∠OCE,DO=CO,∠DOG=∠COE,
∴△DOG≌△COE，
∴OE=OG，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴OB=OC，
∴CG=BE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠OBC=45∘，
∵EH⊥BC，
∴∠BHE=∠CHE=90∘，
∴BH=HE，
设 BH=HE=x，
∵∠ECH=30∘，
∴CH=3EH=3x，
∵BC=2，
∴x+3x=2，
解得：x=3−1，
即 BH=EH=3−1，
在 Rt△BHE 中，由勾股定理得：BE=3−12+3−12=6−2，
∴CG=BE=6−2．
第三部分
15. 如图，作 ∠BAC 的角平分线 AM，过点 P 作 AB 的垂线 PN 交 AM 于点 O，以 O 为圆心，PO 的长为半径的 ⊙O 即为所求．
16. （1） a−2ab−b2a×a2+aba2−b2=a2−2ab+b2a⋅aa+ba+ba−b=a−b2a⋅aa−b=a−b.
（2） 因为 −5，2x+1，2−12x 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，
所以 −5<2x+1,2x+1<2−12x,
解得 −3即 x 的取值范围是 −317. 根据题意画图如下：
共有 12 种情况，从 4 张牌中任意摸出 2 张牌花色相同的有 4 种可能，花色不同的有 8 种可能，
所以甲获胜的概率为 412=13，乙获胜的概率为 812=23，
由于 13≠23，
所以这个游戏对双方不公平．
18. 由题意可得：tan72∘=BCBD=BC4≈196，
解得：BC≈383，
则 AB=BC+AC=383+2=443m，
故 sin35∘=ABEB=443AE≈1425，
解得：AE≈26.2，
答：拉索 AE 的长为 26.2 m．
19. （1） 补全条形统计图：
本次监测乙校达到优秀的学生总共约有 300×1220=180（人）．
（2） 乙班的中位数 a=1280+81=80.5；甲班的众数 b 为 75．
（3） 两组数据的平均数相同，而两组数据良好以上的人数相同，但是乙组数据优秀的人数较多，故乙校的数学学业水平较好．（答案不唯一）
20. （1） 设销售总额为 k 元，由表格中数据可得：y=kx，
把 30,200 代入得：y=6000x；
（2） 当 y=300 时，300=6000x，
解得：x=20，即该种水果每千克售价最多定为 20 元；
（3） 由题意可得：w=yx−15=6000xx−15=1200，
解得：x=754，
经检验：x=754 是原方程的根，
答：超市销售该种水果能到达每周获利 1200 元．
21. （1） 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAH=∠FCG，
又 ∵AD∥BC，
∴∠E=∠F．
在 △AEH 与 △CFG 中，
∠EAH=∠FCG,AE=CF,∠E=∠F,
∴△AEH≌△CFG．
（2） 如图，连接 BE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD 且 AB=CD，
又由（1）得 AH=CG，∠AEH=∠F，AE=CF，
∴BH∥DG 且 BH=DG，
∴ 四边形 BHDG 是平行四边形，
∵AE=CF，AD=BC，
∴DE=BF，
∵BE=DE，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠F，
∵∠AEH=∠F，
∴∠BEF=∠DEF，
在 △BEH 和 △DEH 中，
BE=DE,∠BEH=∠DEH,EH=EH,
∴△BEH≌△DEH，
∴BH=DH，
∵ 四边形 BHDG 是平行四边形，
∴ 四边形 BHDG 是菱形．
22. （1） 由题意可得，抛物线经过 2,94，8,0，
故 64a+8b=0,4a+2b=94,
解得：a=−316,b=32,
故抛物线解析式为：y=−316x2+32x．
（2） y=−316x2+32x=−316x−42+3，
故蔬菜大棚离地面的最大高度是 3 米．
（3） 由题意可得：当 y=1.5 时，1.5=−316x2+32x，
解得：x1=4+22，x2=4−22，
故 DE=x1−x2=4+22−4−22=42（米）．
23. （1） 如图 3 中，连接边长为 4 的正三角形三条边的对应四等分点，
从上往下：共有 1+2+3+4+5=15 个结点．边长为 1 的正三角形，第一层有 1 个，第二层有 2 个，第三层有 3 个，第四层有 4 个，共有 1+2+3+4=10 个结点个数，线段数为 3×10=30 条；边长为 2 的正三角形有 1+2+3=6 个，线段数为 3×6=18 条，边长为 3 的正三角形有 3 个，线段数为 3×3=9 条，边长为 4 的正三角形有 1 个，线段数为 3 条，总共有 3×1+2+3+4+1+2+3+3+1=4×1+2+3+4+5=60 条线段．
（2） 探究将一个边长为 nn≥2 的正三角形的三条边 n 等分，连接各边对应的等分点，从上往下：共有 1+2+3+4+5=15 个结点．边长为 1 的正三角形，第一层有 1 个，第二层有 2 个，第三层有 3 个，第四层有 4 个，⋯ 第 n 层有 n 个，共有 1+2+3+4+⋯+n 个结点个数，线段数为 3×1+2+3=4+⋯+n 条；边长为 2 的正三角形有 1+2+3=6 个，线段数为 3×6=18 条，边长为 3 的正三角形有 3 个，线段数为 3×3=9 条，边长为 4 的正三角形有 1 个，线段数为 3 条，⋯ 边长为 n 的三角形 1 个，线段数为 3 条，线段的个数为 n1+2+3+⋯+n+1 个．
（3） 将一个边长为 30 的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数为 1+2+⋯+30=465 个结点个数，线段数 =301+2+3+⋯+31=14880 条．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=10，∠A=90∘，AE∥BC，
∴∠AEB=∠PBQ，
∵PQ⊥BE，
∴∠A=∠QPB=90∘，
∴△AEB∽△PBQ，
∴AEPB=BEBQ，
在 Rt△ABE 中，BE=62+82=10，
∴610−t=1010+t，解得 t=52，
∴t=52s 时，PQ⊥BE．
（2） 如图 1 中，作 PH⊥BC 于 H．
由 sin∠PBH=sin∠AEB，可得 PHPB=ABBE，
∴PH10−t=810，
∴PH=4510−t，
∴S四边形PQDE=S梯形EBQD−S△BQP=12⋅4+10+t×8−1210+t⋅4510−t=25t2+4t+16.
（3） 由题意：25t2+4t+16:80=7:10，整理得：t2+10t−100=0，
解得 t=−5+55或−5−55（舍弃），
∴t=−5+55 时，S四边形PQDE:S矩形ABCD=7:10．
（4） 如图 2 中，作 PM∥BC 交 AC 于点 M．
∵BE=BC=10，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠PME=∠BCE，
∴∠BEC=∠PME，
∴PE=PM=CQ，
∵PG⊥EM，
∴EG=GM，
∵∠MPF=∠FQC，∠PFM=∠CFQ，
∴△PMF≌△QCF，
∴CF=FM，
∴GF=MG+FM=12EM+12CM=12EM+CM=12EC，
在 Rt△CDE 中，EC=DE2+CD2=42+82=45，
∴FG=12EC=25．