人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例学案

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

及三角函数模型的简单应用

知识点一：模型

1.函数模型的有关概念

2．用五点法画一个周期内的简图

用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3. 由的图象求其函数式：

已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

4.利用图象变换求解析式：

由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.

【方法规律技巧】

1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；

(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；

(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；

(4) 求，常用的方法有：

①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.

2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

知识点二：图像的变换

1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）

平移变换：左加右减，上加下减

把函数向左平移个单位，得到函数的图像;

把函数向右平移个单位，得到函数的图像;+网】

把函数向上平移个单位，得到函数的图像;

把函数向下平移个单位，得到函数的图像.

伸缩变换:

把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;

把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;

把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;

把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.

2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.

注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.

知识点三：性质

1. 的递增区间是，递减区间是.

2．对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．

3. )若为偶函数，则有;若为奇函数则有.

4. 的最小正周期都是.

【重难点例题启发与方法总结】

考点1求三角函数解析式

1、函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．  B.   C.       D.

2、函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（    ）[来源:学#

A．            B．    C．      D．

3、如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，， 则的值为(    )

A．   B．        C．8    D．16

4、已知函数的最小正周期为2，且，则函数的图象向左平移个单位所得图象的解析式为（    ）

（A）  （B）   （C)     (D)

5、如图所示，是函数图象的一部分．则的值为（   ）

A．      B．      C．       D．

综合点评：这些题都是求函数解析式，求解这些题的关键是确定的值，或平移方法，在确定的值时，注意抓住关键点，主要用图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解；利用图象变换求解析式，注意变换方法，具体是由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.

考点2三角函数图象的变换

1、为了得到函数的图像,可以将函数的图像(      )

A.向右平移个单位长度   B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度   D.向左平移个单位长度

2、函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象(      )

A. 向右平移个单位长度                   B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度                   D. 向左平移个单位长度

3、函数的图像与函数的图像关于点对称，则函数可由经过（   ）的变换得到

A．向上平移2个单位，向右平移个单位　　　B．向上平移2个单位，向左平移个单位

C．向下平移2个单位，向右平移个单位　    D．向下平移2个单位，向左平移个单位

4、函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象   （      ）

A. 向右平移个长度单位             B. 向左平移个长度单位

C. 向右平移个长度单位                D. 向左平移个长度单位

5、 已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像                     (   )

A.向左平移个单位   B. 向右平移个单位  C. 向左平移个单位   D. 向右平移个单位

综合点评：这些题目都是图象变换的应用,解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的变换”的原则即可,值得注意点是, 要得到函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到,而不是平行移动个单位.

【方法规律技巧】

1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．

2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．

4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.

考点3  函数的图像与性质的综合应用

1、函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（　　）

　A．     B．       C．            D．

2、设的最小正周期为，且对任意实数都有，则(    )

A.在上单调递减          B.在上单调递减

C. 在上单调递增         D.在上单调递增

3、将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）

 A． B．

 C． D．

4、若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

5、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是   （    ）

6、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ）

A．向左平行移动1个单位长度       B．向右平行移动1个单位长度

C．向左平行移动个单位长度       D．向右平行移动个单位长度

综合点评：这些题都是三角函数的性质的综合运用,解这一类问题关键是将函数化为,然后利用的性质进行解题,值得注意的是, 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.

【重难点关联练习巩固与方法总结】

1、已知是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，为轴上的点，为图像上的最低点，为该函数图像的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则的值为（   ）

Ａ．    B．    

Ｃ．     D．

2、函数＞＞0，＜的导函数部分图象如图所示，则等于    ．

3、函数y =的图象可由函数的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：

A. 图象上所有点向右平移个单位；

B. 图象上所有点向右平移个单位；

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；

D. 图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.

请按顺序写出两次变换的代表字母：         ．

4、将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为                 (    )

A.    B.     C.       D.

5、把曲线：向右平移个单位后得到曲线，若曲线的所有对称中心与曲线的所有对称中心重合，则的最小值为    （    ）

A．1      B．3      C．4      D．6

6、将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是(   )

A.      B.        C.     D.

温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量,如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.

【课后强化巩固练习与方法总结】

1.如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．则和的值（    ）．

Ａ．，   Ｂ．，  

Ｃ．，   Ｄ．，

2. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（    ）

1. 向右平移个单位      B.向左平移个单位  

C.向右平移个单位     D.向左平移个单位

3.已知函数的图像如右图所示，则       ．

4.为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（   ）

A．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）

B．向左平行移动个单位长度，再将纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）

C．向左平行移动个单位长度 ，再将纵坐标扩大为原来的4倍（横坐标不变）

D．向右平行移动个单位长度，再将纵坐标扩大为原来的4倍（横坐标不变）

5.若将函数的图像向右平移个单位，所得函数为偶函数， 则的最小正值是________.

6．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x)，x∈R.

(1)若函数f(x)＝1－，且x∈，求x的值；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.

7．已知向量a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)，函数f(x)＝a·b－cos2x.

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若f(θ)＝，θ∈，求sin2θ的值．

8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中x∈R，A>0，ω>0，－<φ<的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知函数f(x)的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为－1,1,5，求sin∠MNP的值．